1、直线与平面的夹角直线与平面的夹角A AB BnAnABAB n 思思考考：如如上上图图所所示示，向向量量 为为平平面面 的的一一个个法法向向量量，则则平平面面 的的斜斜线线与与其其射射影影所所成成的的夹夹角角 与与，两两者者满满足足怎怎样样的的关关系系？1.1.掌握直线和平面所成的角的定义掌握直线和平面所成的角的定义.2.2.能够求直线和平面所成的角能够求直线和平面所成的角.（重点、难点）（重点、难点）探究点探究点1 1 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 1221,.,.,?OAOABBOBOAOMOOAOBOBOMOAOM 内如如图图，已已知知是是平平面面 的的斜斜线线段段，是是斜斜足足
2、，线线段段垂垂直直于于为为垂垂足足，则则直直线线是是斜斜线线在在平平面面的的正正射射影影设设是是 内内通通过过点点 的的任任一一条条直直线线，与与所所成成的的角角为为与与所所成成的的角角为为与与所所成成的的角角为为 则则三三者者满满足足怎怎样样1 1 最最小小角角定定理理的的关关系系12OMBA221,0.,coscos,coscos.cos,OMmBAmBA mOAOBBAOA mOB mBA mOA mOB mOAOBOBOBOAOA 在直线上取单位向量则即因为，所以因此即又因为【】所以解解析析12mOMBA12coscoscos.21110cos1,coscos.由在在上上述述公公式式中
3、中，因因为为所所以以因因为为 和和 都都是是锐锐角角或或直直角角，所所以以此此我我们们得得到到：.线内线这个内线斜斜和和它它在在平平面面的的射射影影所所成成的的角角，是是斜斜和和平平面面所所有有直直所所成成角角中中最最小小的的角角斜线与平面所成的角的范斜线与平面所成的角的范围为（围为（0 0，90 90）.线内线线夹斜斜和和平平面面所所成成的的角角（斜斜和和它它在在平平面面的的射射影影所所成成的的角角或或斜斜和和平平面面的的叫叫角角）做做 2 直直线线与与平平面面的的夹夹角角90,0,当当直直线线与与平平面面垂垂直直时时，可可以以认认为为直直线线与与平平面面所所成成的的角角为为当当直直线线与与
4、平平面面平平行行或或在在平平面面内内时时，可可以以认认为为直直线线与与平平面面所所成成的的角角为为综综上上可可得得直直线线与与平平面面所所成成角角 的的范范围围是是090,.BACAAPPABPACAPBAC例例1 1在在平平面面 内内，过过该该角角的的顶顶点点 引引平平面面 的的斜斜线线，且且使使求求证证斜斜线线在在平平面面 内内的的射射影影平平分分及及其其对对顶顶角角ABPCijAMBPC,.,0,0.+,PMAMAPABACijPMMPi MPjMP iMP jAPAM MPAP iAM i AP jAMj图设点内为点则为内线别单则即证为，如如，在在的的射射影影在在平平面面的的射射影影沿
5、沿射射，的的方方向向分分取取位位向向量量，由由平平面面，得得因因所所以以明明：coscos,coscos.coscos,cos=cos.APPABAMBAMAPPACAMCAMPABPACBAMCAMBAMCAMAMBAC较两为，因此线分对顶即即比比以以上上式式，因因所所以以，即即直直平平及及其其角角ijAMBPC探究点探究点2 2 直线与平面所成的角的求法直线与平面所成的角的求法A AB BnAsinc,osABnnAABB 图线为时应由由下下可可以以看看出出，直直与与平平面面 所所成成的的角角，而而与与 是是互互余余的的，故故此此有有.l们线骤线为因因此此，我我可可以以得得到到用用向向量量
6、法法求求面面角角的的步步（以以直直和和平平面面 所所成成的的角角例例）当间标建建立立适适的的空空直直角角坐坐系系；,;llmnl将线标来 设为为线为斜斜的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量用用坐坐表表示示出出的的方方向向向向量量平平面面 的的法法向向量量直直与与平平面面 所所成成的的角角cos m nmnmnm n利利用用公公式式或或求求得得角角sin=，cos=sin.线结线总直直与与平平面面所所成成角角，主主要要是是求求斜斜与与平平面面所所成成的的角角,方,方法法有有以以【提提升升】下下几几种种：1.义线义须线这条线内锐定定法法：根根据据斜斜与与平平面面所所成成角角的的定定，必
7、必先先作作出出斜斜和和斜斜在在平平面面的的射射影影所所成成的的角角，利利用用解解三三角角形形的的方方法法求求解解 121212coscoscos,.线须公公式式法法：利利用用公公式式其其中中是是斜斜与与平平面面所所成成角角，因因此此只只知知道道 与与即即可可求求得得 3:,cos.lmnlm nmnmn向向量量法法的的方方向向向向量量平平面面法法向向量量直直与与平平面面 的的所所成成的的角角，设为的为，线为则sin=，11111112-,.ABCD ABC DABABCD例例如如图图，正正方方体体求求与与平平面面所所成成角角的的大大小小1111111111111111111111111111,
8、.,.122,2212sin.2230,30BCBCOAOBCBC ABBC ABBCBABABCDAOOABABABCDRt AOBABBOBOOABABOABABABCD图连设点连因为所以内为所以设长为所以所解：方法为一以如如，接接与与交交于于，接接在在平平面面的的射射影影就就是是与与平平面面所所成成的的角角正正方方体体的的棱棱，在在中中，即即与与平平面面所所成成的的角角：.O111111,11,0,1,0,1,0.1,0,1,0,1,0.,00-11.001,0,1.1,1,DDADCDDx y zACDADCABCDnx y zn DAxzzxyn DCnB 为点线别为轴图间设长为则所
9、以设个，则.所以又方以以原原，所所在在直直分分，建建立立如如所所示示的的空空直直角角坐坐系系，正正方方体体的的棱棱，平平面面的的一一法法令令得得法法向向量量二二：111111110,0,1,1.11cos,.222,60.30.ABAB nn ABABnn ABABABCD 所以所以为即即与与平平面面所所成成的的角角【变式练习变式练习】A90 B60C45 D30D D1111112.-3163A.B.C.D.3262正正方方体体中中，为为侧侧面面的的中中心心，则则与与平平面面所所成成角角的的正正弦弦值值为为 ABCD ABC DOBCC BAOABCDC C3.-2,3,1,4,0,1,_l
10、anl若若直直线线 的的方方向向向向量量平平面面 的的一一个个法法向向量量则则直直线线 与与平平面面 所所成成角角的的正正弦弦值值等等于于238344 4如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，是正方形，PDPD平面平面ABCD.PDABCD.PDDCDC，E E是是PCPC的中点求的中点求EBEB与平与平面面ABCDABCD夹角的余弦值夹角的余弦值解：解：取取CDCD的中点的中点M M，则，则EMPD.EMPD.又因为又因为PDPD平面平面ABCDABCD，所以，所以EMEM平面平面ABCDABCD，所以所以BEBE在平面在平面ABCDA
11、BCD上的射影为上的射影为BMBM，所以所以MBEMBE为为BEBE与平面与平面ABCDABCD的夹角的夹角.如图建立空间直角坐标系，设如图建立空间直角坐标系，设PDPDDCDC1 1，则则P(0,0,1)P(0,0,1)，C(0,1,0)C(0,1,0)，B(1,1,0).B(1,1,0).1 1直线与平面所成的角直线与平面所成的角90900 0射影射影回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？2 2最小角定理最小角定理coscos1cos2射影射影最小的角最小的角3.:直直线线与与平平面面所所成成角角的的求求法法(2)公(2)公式式法法;义(1)定(1)定法法;(3)向(3)向量量法法.心中装满着自己的看法与想法的人，永远听不见别人的心声.
