1、1 1.3 3.2 2“杨辉三角”与二项式系数的性质1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数.2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.1231.杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:上面的二项式系数表称为杨辉三角.归纳总结归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.123【做一做1】如图,满足第n行首尾两数均为n;表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n2)的第2个数是.123名师点拨名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞
2、清楚n是奇数还是偶数.123【做一做2-1】在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=()A.6B.7C.8D.9解析:由已知 可知n=1+5=6.答案:A【做一做2-2】在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是()A.第n项和第n+1项B.第n-1项和第n项C.第n+1项和第n+2项D.第n+2项和第n+3项答案:C1233.各二项式系数的和(1)(1+x)n的展开式为名师点拨名师点拨由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项式中的应用.名师点拨名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子由二项式定理,令a=1,b=-1及第
3、一个式子得到.123答案:46 121212题型一题型二题型三【例1】如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,记其前n项和为Sn,求S19的值.分析本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中的位置,把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数求解.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.题型一题型二题型三【变式训练1】如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14个与第15个数的比为23.答案:34 题型一题型二题型三【例2】若(3x-1)7=a7x7
4、+a6x6+a1x+a0,求:(1)a7+a6+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+|a1|.分析所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题.题型一题型二题型三题型一题型二题型三(4)(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,|a7|+|a6|+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8 256-(-8 128)+(-1)=16 383.反思反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求
5、,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.题型一题型二题型三题型一题型二题型三易错点:混淆系数最大和二项式系数最大而致错【例3】在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56,则展开式中系数最大的项为第项.解得n=10或n=-11(舍去),所以展开式共11项,从而系数最大的项为第6项.题型一题型二题型三答案:8 题型一题型二题型三反思反思求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,An,且第r+1项最大,应用
