1、22最大值、最小值问题最大值、最小值问题(一一)第四章第四章 导数应用导数应用学习导航学习导航 第四章第四章 导数应用导数应用学习学习目标目标1.了解函数最大值、最小值的概念了解函数最大值、最小值的概念2理解函数最值与极值的联系与区别理解函数最值与极值的联系与区别(重点重点)3掌握利用导数求函数最值掌握利用导数求函数最值(难点难点)学法学法指导指导1.借助函数的图像直观认识函数的最值借助函数的图像直观认识函数的最值2借助函数的图像认识极值与最值的区别，认识极借助函数的图像认识极值与最值的区别，认识极值的相对性和最值的整体性值的相对性和最值的整体性.1.最大值点与最小值点最大值点与最小值点函数函
2、数yf(x)在区间在区间a，b上的最大值点上的最大值点x0指的是：函数在这指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都个区间上所有点的函数值都_f(x0)函数函数yf(x)在区间在区间a，b上的最小值点上的最小值点x0指的是：函数在这指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都个区间上所有点的函数值都_f(x0)不超过不超过不低于不低于2.最大值与最小值最大值与最小值最大最大(小小)值或者在极大值或者在极大(小小)值点取得值点取得,或者在区间的端点取或者在区间的端点取 得得.因此，要想求函数的最大因此，要想求函数的最大(小小)值，应首先求出函数的极大值，应首先求出函数的极大(小小)值点，然后将所有极大
3、值点，然后将所有极大(小小)值点与区间端点的函数值进值点与区间端点的函数值进 行行 比比较，其中最大较，其中最大(小小)的值即为函数的最大的值即为函数的最大(小小)值函数的最大值值函数的最大值和最小值统称为和最小值统称为_最值最值3.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上的图像是一条连续不间断的曲线上的图像是一条连续不间断的曲线,则该函数在则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得的最值必在端点处或极值点处取得注意：注意：在开区间在开区间(a，b)上连续函数上连续函数yf(x)的最
4、值有如下几的最值有如下几种情况：种情况：图图中的函数中的函数yf(x)在开区间在开区间(a，b)上有最大值无最小值上有最大值无最小值;图图中的函数中的函数yf(x)在开区间在开区间(a，b)上有最小值无最大值上有最小值无最大值;图图中的函数中的函数yf(x)在开区间在开区间(a，b)上既无最大值也无最上既无最大值也无最小值小值;图中的函数图中的函数yf(x)在开区间在开区间(a，b)上既有最大值也有最上既有最大值也有最小值小值.4函数的最值与极值的区别和联系函数的最值与极值的区别和联系(1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上 对对函数值
5、的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数 在在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可 能能多于一个，也可能没有，例如：常数函数既没有极大值也多于一个，也可能没有，例如：常数函数既没有极大值也 没没有极小值有极小值(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极极值只能在区间
6、内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有 可能可能 成成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值1判断正误判断正误(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1)函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值()(2)函数的最大值大于最小值，函数的极大值大于极小值函数的最大值大于最小值，函数的极大值大于极小值()(3)单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值()(4)若函数存在最大若函数存
7、在最大(小小)值，则最大值，则最大(小小)值唯一值唯一()A求函数在闭区间上的最值求函数在闭区间上的最值 求函数求函数f(x)x42x23，x3，2的最值的最值解解法一：法一：f(x)4x34x，令令f(x)4x(x1)(x1)0，得得x1，x0，x1.当当x变化时，变化时，f(x)及及f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x3(3,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60 极极大大值值4 极小极小值值3 极大极大值值4 5当当x3时，时，f(x)取最小值取最小值60；当当x1或或x1时，时，f(x)取最大值取最大值4.法二：法二：f(x)x42x23，f(x
8、)4x34x，令令f(x)0，即，即4x34x0.解得：解得：x1或或x0或或x1.又又f(3)60，f(1)4，f(0)3，f(1)4，f(2)5.所以当所以当x3时，时，f(x)有最小值有最小值60.当当x1时，时，f(x)有最大值有最大值4.方法归纳方法归纳求一个函数在闭区间求一个函数在闭区间a，b上的最值上的最值,一般是先求出一般是先求出f(x)在在(a,b)内所有极值和两个端点值内所有极值和两个端点值f(a),f(b)，再比较各极值与端点，再比较各极值与端点值即可得到函数在值即可得到函数在a，b上的最值上的最值求含参数函数的最值求含参数函数的最值 (2013高考浙江卷改编高考浙江卷改
9、编)函数函数f(x)2x33(a1)x26ax(|a|1)，求，求f(x)在闭区间在闭区间0，2|a|上的最小值上的最小值解解记记g(a)为为f(x)在闭区间在闭区间0，2|a|上的最小值上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令令f(x)0，得，得x11，x2a.当当a1时，时，x0(0，1)1(1，a)a(a，2a)2af(x)00f(x)0单调单调递增递增极大值极大值3a1单调单调递减递减极小值极小值a2(3a)单调单调递增递增4a3x0(0，1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减单调递减极小值极小值3a1单调递增单调递增28a324a2方法归纳方法归纳求含
10、参数函数最值的步骤是：先求导，令导数等求含参数函数最值的步骤是：先求导，令导数等 于于0,求求 得得 方程的根，方程的根都是含有参数的，然后对参数进行分类方程的根，方程的根都是含有参数的，然后对参数进行分类 讨论，参数的取值范围不同时，函数的最值也可能有所不同讨论，参数的取值范围不同时，函数的最值也可能有所不同.数学思想数学思想方程思想在由函数的最值求参数问题方程思想在由函数的最值求参数问题中的应用中的应用 已知函数已知函数f(x)ax36ax2b，x1，2的最大的最大值为值为3，最小值为，最小值为29，求，求a，b的值的值解解由题设知由题设知a0，否则，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾为常
11、函数，与题设矛盾.根据导数公式表和求导法则可得，根据导数公式表和求导法则可得，f(x)3ax212ax3ax(x4)令令f(x)0，得，得x10，x24(舍去舍去)当当a0时，列表如下：时，列表如下：x1(1，0)0(0，2)2f(x)15a012af(x)7ab b 16ab感悟提高感悟提高此类问题关键在于确定最值，然后列方程此类问题关键在于确定最值，然后列方程(组组)求出参数，但参数的值往往对最值点有影响，故常需求出参数，但参数的值往往对最值点有影响，故常需 分分 类类讨论讨论数学思想数学思想分类讨论思想在含参数函数最值中的应用分类讨论思想在含参数函数最值中的应用感悟提高感悟提高本例由于本
12、例由于f(x)的解析式中含绝对值，首的解析式中含绝对值，首 先对先对 x 进进行分类讨论，以去掉绝对值号行分类讨论，以去掉绝对值号,然后再对参数然后再对参数a进行分类讨论进行分类讨论,两次分类讨论的对象和出发点不同两次分类讨论的对象和出发点不同技法导学技法导学导数的综合应用导数的综合应用 已知函数已知函数f(x)x33ax22bx在在x1处有极小值处有极小值1.(1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求函数求函数f(x)在闭区间在闭区间2，2上的最大值和最小值上的最大值和最小值(2)由由(1)知，当知，当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：由表中数据知，函数由表中数据知，函数f(x)在在x2时时,取得最大值取得最大值2；在；在x2时时,取得最小值取得最小值10.感悟提高感悟提高本题结合函数极值的求法，用待定系数法本题结合函数极值的求法，用待定系数法 求求 出出函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区间在函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区间在求最值时切忌不要简单地在极值中找出最值作为结果，一定求最值时切忌不要简单地在极值中找出最值作为结果，一定要考虑函数在端点处取得的函数值的大小要考虑函数在端点处取得的函数值的大小
