1、 考点 7 三角函数定义和化简 玩前必备 1角的概念 (1)任意角： 角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始的 射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点； 角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条 射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角 (2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S|k 360 ，kZ 注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差 360 的整数倍. (3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x
2、轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为 轴线角 2弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做 弧度制弧度的单位符号是“rad” ，读作“弧度” （用弧度制表示角时，rad 常常省略不写） 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么角 的弧度数的绝对值是|l r.正角的弧度数是正数， 负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 180 rad，1 rad 180 . (3)扇形的弧长公
3、式：l| r，扇形的面积公式：S1 2lr 1 2| r 2. 3任意角的三角函数 （1）单位圆定义：任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin y，cos x，tan y x(x0) （2）比值式定义：设 P(x，y)是角 终边上任意一点，且|OP|r(r0)，则 sin y r，cos x r，tan y x.它 们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 注意：三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan y x，但若不是单位圆 时，设|OP|r，则 sin y r，cos x r，tan y x. （3）三角函数值在各象限的符号： 记忆
4、口诀： “一全正，二正弦，三正切，四余弦” ，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为 正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值. 4同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan . 5.诱导公式 角 函数 2k (kZ) 2 2 正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 对于角“k 2 ”(kZ
5、)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时，正 弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符号” 6两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()sin cos cos sin (S() sin()sin cos cos sin (S() cos()cos cos sin sin (C() cos()cos cos sin sin (C() tan() tan tan 1tan tan (T( ) tan() tan tan 1tan tan (T( ) 7二倍角公式 sin
6、22sin cos (S2) cos 2cos2sin22cos2112sin2 (C2) tan 2 2tan 1tan2 (T2) 8公式的变形和逆用 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等常见变形 如下： 降幂公式：cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 ， 9辅助角公式 asin bcos a2b2sin()，其中 tan b a. 玩转典例 题型题型一一 三角函数的定义三角函数的定义 例例 1 (2020 威海模拟)已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30 )，且 cos 4 5，则 m 的值为( ) A1 2 B. 1
7、2 C 3 2 D. 3 2 例例 2 (2020 青岛模拟)已知角 的终边与单位圆的交点为 P 1 2，y ，则 sin tan 等于( ) A 3 3 B 3 3 C3 2 D 3 2 例例 3 (2020 日照模拟)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 题型题型二二 同角三角函数关系应用同角三角函数关系应用 例例 4（2018全国）已知为第二象限的角，且 3 tan 4 ，则sincos( ) A 7 5 B 3 4 C 1 5 D 1 5 例例 5（2016新课标）若 3 tan 4 ，则 2 cos2si
8、n2( ) A 64 25 B 48 25 C1 D 16 25 例例 6（2019全国）已知tan2A ，则 2 sin2 ( 1cos2 Acos A A ) A 3 2 B 5 2 C3 D5 题型三题型三 三角函数诱导公式的应用三角函数诱导公式的应用 例例 7（2020桥东区校级模拟）已知角 终边上一点 P(4,3)，则 cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 的值为_ 例例 8（2020涪城区校级模拟）已知 cos 6 3 3 ，求 cos 5 6 _ 例例 9 化简： ()(2) 3 2 ()() . 题型题型四四 两角和与差公式两角和与差公式 例例 10（2017全
9、国）cos20 cos25sin20 sin25( ) A 2 2 B 1 2 C0 D 2 2 例例 11（(2020 青岛调研)已知 tan()2 5，tan 4 1 4，那么 tan 4 等于( ) A. 13 18 B. 13 22 C. 3 22 D. 1 6 例例 12（2018新课标）已知sincos1，cossin0，则sin() 题型题型五五 二倍角公式二倍角公式 例例 13（2019新课标）已知(0,) 2 ，2sin2cos21，则sin( ) A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 例例 14（2016新课标）若 3 cos() 45 ，则sin2( ) A
10、 7 25 B 1 5 C 1 5 D 7 25 例例 15（2017新课标）已知 4 sincos 3 ，则sin2( ) A 7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 题型题型六六 三角函数化简综合三角函数化简综合 例例 16（2019江苏）已知 tan2 3 tan() 4 ，则sin(2) 4 的值是 玩转练习 1.（2020五华区校级模拟）若(,) 4 2 ， 4 2 sin2 9 ，则cos( ) A 1 3 B 2 3 C 2 2 3 D 8 9 2 （2020番禺区模拟）已知(0,),2sin21cos2 2 ，则cos( ) A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5
11、5 3.（2020石家庄一模）已知 13 tan4( ,) tan2 ，则sincos( ) A 6 2 B 6 2 C 6 3 D 6 3 4 （2020武汉模拟）已知tan()7 4 ，且 3 2 ，则sin( ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 5.（2020湖南模拟）已知角，(0, )， 1 tan() 2 ， 7 2 cos 10 ，则角2( ) A 9 4 B 3 4 C 5 4 D 4 6.（2020漳州一模）若 3 tan2 4 ，则 2 2 sin2cos ( 12sin ) A 1 4 或 1 4 B 3 4 或 1 4 C 3 4 D 1 4 7 （202
12、0岳阳一模）已知 5 cos 5 ， 10 sin() 10 ，均为锐角，则sin( ) A 3 2 B 1 2 C 3 5 D 2 2 8 （2020宜宾模拟）已知(0,) 2 ，且 22 3sin5cossin20，则sin2cos2( ) A1 B 23 17 C 23 17 或 1 D1 9.(2018 全国卷)若 1 sin 3 ，则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 10.(2015 重庆，6)若 tan 1 3，tan() 1 2，则 tan ( ) A.1 7 B.1 6 C.5 7 D.5 6 11.（2017 江苏）若 1 tan() 46 ，则tan
13、= 12.(2015 广东，16)已知 tan 2. (1)求 tan 4 的值； (2)求 sin 2 sin2sin cos cos 21的值 13.（2018 江苏）已知, 为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 (1)求cos2的值； (2)求tan()的值 14. （2018 浙江） 已知角的顶点与原点O重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点 34 (,) 55 P (1)求sin()的值； (2)若角满足 5 sin() 13 ，求cos的值 考点 8 三角函数图像和性质 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x
14、 图象 定义域 R R x|xR 且 x 2 k，kZ 值域 1，1 1，1 R 单调性 22k， 2 2k(kZ)上递增； 22k， 3 2 2k(kZ)上递减 2k，2k (kZ)上递增； 2k，2k (kZ)上递减 ( 2k， 2k) (kZ)上递增 最值 x 22k(kZ)时， ymax1； x 22k(kZ) 时，ymin1 x2k(kZ)时， ymax1； x2k(kZ)时， ymin1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k，0)(kZ) ( 2k，0) (kZ) (k 2 ，0)(kZ) 对称轴 方程 x 2k (kZ) xk(kZ) 周期 2 2 2五点法作 yAsi
15、n(x)一个周期内的简图 用“五点法”作图，就是令 x 取下列 5 个特殊值：0, 2, , 3 2 , 2，通过列表，计算五点的坐标，描点 得到图象. 3三角函数图象变换 玩转典例 题型一题型一 三角函数的三角函数的五大五大性质及其应用性质及其应用 例例 1 1(2020 武汉)已知函数 f(x)2sin 2x 3 1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)当 x 0， 2 时，求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间 (4)写出函数 f(x)的对称轴和对称中心. 例例 2（2018新课标）函数 2 tan ( ) 1 x f x tan x 的最小
16、正周期为( ) A 4 B 2 C D2 例例 3（2018新课标）已知函数 22 ( )2cossin2f xxx，则( ) A( )f x的最小正周期为，最大值为 3 B( )f x的最小正周期为，最大值为 4 C( )f x的最小正周期为2，最大值为 3 D( )f x的最小正周期为2，最大值为 4 例例 4（2017新课标）设函数( )cos() 3 f xx ，则下列结论错误的是( ) A( )f x的一个周期为2 B( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ，)单调递减 题型二题型二 三角三角函数的函数的图像和图像变换
17、图像和图像变换 例例 5（2016新课标）将函数2sin(2) 6 yx 的图象向右平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为( ) A2sin(2) 4 yx B2sin(2) 3 yx C2sin(2) 4 yx D2sin(2) 3 yx 例例 6（2016新课标）若将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( ) A() 26 k xkZ B() 26 k xkZ C() 212 k xkZ D() 212 k xkZ 例例 7（2017新课标）已知曲线 1: cosCyx， 2 2 :sin(2) 3 Cyx ，则下面结论正确的是 A把 1 C上
18、各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得 到曲线 2 C B把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 2 C C把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得 到曲线 2 C D把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 2 C 题型题型三三 由由图象求图象求 yAsin(x)的的解析解析式式 例例 8（2020芮城县模拟）已知函数( )sin()(
19、0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，( )f x关于 点( ,0)a对称，则|a的最小值为( ) A 12 B 6 C 3 D 5 12 例例 9（2019新课标）若 1 4 x ， 2 3 4 x 是函数( )sin(0)f xx两个相邻的极值点，则( ) A2 B 3 2 C1 D 1 2 例例 10 10 (四川，6)函数 f(x)2sin(x) 0， 2 2 的部分图象如图所 示，则 ，的值分别是( ) A2， 3 B2， 6 C4， 6 D4， 3 玩转练习 1.（2017山东）函数3sin2cos2yxx的最小正周期为( ) A 2 B 2 3 C D2 2.（20
20、20眉山模拟）函数 22 ( )2cos(sincos )2f xxxx的单调递增区间是( ) A,() 44 kkkZ B 3 ,() 88 kkkZ C 5 ,() 88 kkkZ D 3 ,() 88 kkkZ 3.（2020五华区校级模拟）函数 22 ( )sincos2 3sin cosf xxxxx的最小值为( ) A2 B3 C2 D1 4.（2020番禺区模拟）若 12 3 , 44 xx 是函数( )sin()(0)f xx 两个相邻的零点，则( ) A2 B 3 2 C1 D 1 2 5.（2020乌鲁木齐一模）已知函数 2 ( )2sin ()3sin(2)1 63 f
21、xxx ，则下列判断正确的是( ) A( )f x的图象关于 6 x 对称 B( )f x为奇函数 C( )f x的值域为 3，1 D( )f x在0, 3 上是增函数 6 （2020桂林一模）将函数( )2sin(2) 6 f xx 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把所得 图象向上平移 2 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，则( ) A( )2sin(4)2 6 g xx B( )2sin(4)2 6 g xx C( )2sin()2 6 g xx D( )2sin()2 6 g xx 7. （2020石家庄一模） 将函数 2 ( )3cossin cosf xxxx
22、的图象横坐标变成原来的 2 倍， 再向左平移(0)t t 个单位，所得函数( )g x关于 3 x 对称，则t的最小值为( ) A 3 B 6 C 5 6 D 2 3 8.（2020株洲一模）若将函数( )2sin() 6 f xx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再向 下平移一个单位得到的函数( )g x的图象，函数( )(g x ) A图象关于点( 12 ，0)对称 B最小正周期是 2 C在(0,) 6 上递增 D在(0,) 6 上最大值是 1 9.（2020芜湖模拟）已知将曲线sin(2) 6 yx 向左平移(0) 个单位长度后，得到的曲线( )yg x经过 点
23、( 12 ，1)，有下列四个结论： 函数( )g x的最小正周期T； 函数( )g x在 11 12 ， 17 12 上单调递增； 曲线( )yg x关于直线 6 x ； 曲线( )yg x关于点 2 ( 3 ，0)对称 其中所有正确的结论是( ) A B C D 10(2018 天津)将函数sin(2) 5 yx 的图象向右平移 10 个单位长度，所得图象对应的函数 A在区间 35 , 44 上单调递增 B在区间 3 , 4 上单调递减 C在区间 53 , 42 上单调递增 D在区间 3 ,2 2 上单调递减 11.(安徽高考)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x. (1
24、)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 12 （2016 年天津）已知函数( )4tan cos cos()3 3 f xxxx . ()求( )f x的定义域与最小正周期； ()讨论( )f x在区间, 4 4 上的单调性 考点 9 解三角形 玩前必备 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C 变形 (
25、1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsin Asin Bsin C； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.三角形面积公式： SABC1 2 ah(h 表示边 a 上的高) ； SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B； 玩转典例 题型题型一一 正余弦定理面积公式的直接应用正余弦定理面积公式的直接
26、应用 例例 1（2018浙江）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若7a ，2b ，60A ，则 sinB ，c 例例 2（2015广东）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若3a ， 1 sin 2 B ， 6 C ，则 b 例例 3（2018北京）若ABC的面积为 222 3 () 4 acb，且C为钝角，则B 例例 4（2018北京）在ABC中，7a ，8b ， 1 cos 7 B （）求A； （）求AC边上的高 例例 5（2017新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 sin()8sin 2 B AC （1）求cos B； （2）若6ac，
27、ABC的面积为 2，求b 题型二题型二 已知边角关系解三角形已知边角关系解三角形 例例 6（2019新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinsin4 sinaAbBcC， 1 cos 4 A ，则( b c ) A6 B5 C4 D3 例例 7（2018全国）在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为 1，已知 22 2(sinsin)()sinACabB （1）证明 222 abcab； （2）求角C和边c 例例 8（2018天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sincos() 6 bAaB （）求角B的大小； （）设2a ，3c ，
28、求b和sin(2)AB的值 例例 9 （2019新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 设 22 (sinsin )sinsinsinBCAB C （1）求A； （2）若22abc，求sinC 玩转练习 1.（2019江苏）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c （1）若3ac，2b ， 2 cos 3 B ，求c的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的值 2. （2020桂林一模） 在锐角ABC中， 内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知(22 )coscoscbAaBc （1）求证：2bc； （2）若 15 sin 4 A，2
29、a ，求ABC的面积 3.【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 ABC 中，a、b、c分别是内角A、B、 C的对边，且3 cossin( coscos)bAA aCcA . （1）求角A的大小； （2）若 2 3a ， ABC 的面积为 5 3 4 ，求 ABC 的周长 4.（2020 河南省实验中学高三二测（理） ）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 csin2Bbsin （A+B）0 （1）求角 B 的大小； （2）设 a4，c6，求 sinC 的值 5.（2020 北京市平谷区高三一模）在ABC中， 3 B ， 7b ， .求BC边上的
30、高. 21 sin 7 A ，sin3sinAC，2ac ，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 6.（2020 江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 2 6 sincossin 2 A aBbA. （1）求cosA； （2）若21,5abc，求ABC的面积. 7 （2020 北京市西城区高三一模）已知ABC满足 ，且 2 6 3 bA ，求sinC的值及ABC 的面积. （从 4 B ， 3a ， 3 2asinB 这三个条件中选一个， 补充到上面问题中， 并完成解答.） 8.（2020 黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理） ）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2 cos2bCac. （）求B； （）若2a，D为AC的中点，且3BD ，求c.
