1、1.3.2函数的极值与导数目标定位1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.f(x)01.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.自 主 预 习f(x)0(2)极大值点与极大值如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧_，右侧
2、_，则把点b叫做函数_的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值._、_统称为极值点，_和_统称为极值.f(x)0f(x)0yf(x)极大值点极小值点极大值极小值2.求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_.(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_.极大值极小值即 时 自 测1.思考题(1)极大值一定比极小值大吗？提示不一定.由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值还小.(2)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看
3、在这一点附近导数的正负情况.2.已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图，则()A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点解析f(x2)0，xx2时，f(x)0，xx2时，f(x)0；f(x3)0，xx3时，f(x)0，xx3时，f(x)0，所以x2为极大值点，x3为极小值点.答案A3.函数yx33x29x(2x2)有()A.极大值5，极小值27B.极大值5，极小值11C.极大值5，无极小值D.极小值27，无极大值解析y3x26x9，令y0得x11，x23
4、，又2x2，x1，当x1时，y0，x1时，y0，x1时，y极大值5.答案C4.函数f(x)x33x21的极小值点为_.解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x10，x22，当x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，所以x2时，f(x)取得极小值.答案2解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)0得x2或x2；由f(x)0得2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f(
5、x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【训练1】判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y8x312x26x1；(2)yx|x|；类型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组
6、，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练2】已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值.类型三函数极值的综合应用(互动探究)【例3】已知函数f(x)x3ax2b(a，bR).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a3，4，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.思路探究探究点一利用导数求函数的单调区间，其实质是什么？提示其实质是解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间，解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间.探究点二当函数的解析式中含有参
7、数时，一般的处理思路是什么？提示解决含参数的函数问题时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域，通过分类讨论把问题划分为若干个局部问题解决.探究点三函数f(x)在R上有三个零点的实质是什么？提示其实质是f(x)极大值0且f(x)极小值0.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练3】设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.课堂小结1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，
8、极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析在xx0的两侧，f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.答案C2.
9、已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.1a2 B.3a6C.a1或a2 D.a3或a6解析f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.答案D3.设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_.答案94.已知函数f(x)x2ex，求f(x)的极小值和极大值.解f(x)的定义域为(，)，f(x)x(x2)ex，f(x)与f(x)的变化情况如表：x(，2)2(2，0)0(0，)f(x)00f(x)极大极小故当x2时，f(x)取得极大值为f(2)4e2，当x0时，f(x)取得极小值为f(0)0.
