1、5.角平分线 第1课时1.1.角平分线的性质定理和判定定理。角平分线的性质定理和判定定理。2.2.用尺规作角的平分线。用尺规作角的平分线。还记得角平分线上的点有什么性质吗还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的你是怎样得到的?与小组同学交流。与小组同学交流。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。回顾思考回顾思考角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，已知：如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为，垂足分别为D D、E E求证：求证：
2、PD=PEPD=PE证明：证明：1=21=2，OP=OPOP=OP，PDO=PEO=90PDO=PEO=90，PDOPDOPEO(AAS)PEO(AAS)PD=PE(PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE定理：角平分线上的点到这定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等.OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一上任意一点点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D D、E(E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两角平分线上的点到这个角的两边距离相等边距离相等).).
3、AOCB12PDE你能写出上面这个定理的逆命题吗你能写出上面这个定理的逆命题吗?性质定理性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上个角的平分线上这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。反例。不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上角平分线
4、性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.它是真命题吗它是真命题吗?如果是，请你证明它。如果是，请你证明它。AOCB12PDE已知：在已知：在AOBAOB内部有一点内部有一点P P，且，且PDOAPDOA，PEOBPEOB，D D、E E为为垂足且垂足且PD=PEPD=PE，求证：点，求证：点P P在在AOBAOB的角平分线上的角平分线上证明：证明：PDOAPDOA，PEOBPEOB，PDO=PEO=90PDO=PEO=90在在RtRtODPODP和和RtRtOEPOEP
5、中中OP=OPOP=OP，PD=PEPD=PERtRtODP RtODP RtOEP(HL)OEP(HL)1=2(1=2(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)AOCB12PDE判定定理：判定定理：在一个角的内部在一个角的内部,并且到角并且到角的两边距离相等的点的两边距离相等的点,在这个角的平分线在这个角的平分线上上.PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D D、E(E(已知已知),),且且PD=PE,PD=PE,点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个在一个角的内部角的内部,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这
6、个角的平分线上).).AOCB12PDE1.1.如图如图,AD,AD、AEAE分别是分别是ABCABC中中BACBAC的内角平分线和外角的内角平分线和外角平分线平分线,它们有什么位置关系它们有什么位置关系?老师期望老师期望:你能说出结论并能证明它你能说出结论并能证明它.E ED DA AB BC CF F2.2.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且BD=CD,BD=CD,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.老师期望老师期望:做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点
7、东西到点东西,纳入到自纳入到自己的认知结构中去己的认知结构中去.B BA AE ED DC CF F你能用什么办法平分一个已知角呢？你能用什么办法平分一个已知角呢？1 1可以用量角器可以用量角器2 2使用三角尺，也可以平分一个已知角使用三角尺，也可以平分一个已知角3 3用角尺也可以平分一个已知角用角尺也可以平分一个已知角4 4用直尺和圆规平分一个已知角用直尺和圆规平分一个已知角5.5.用折纸的办法也可以用折纸的办法也可以平分一个已知角平分一个已知角已知已知:AOB,:AOB,如图如图.求作求作:射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.作法作
8、法:1.1.在在OAOA和和OBOB上分别截取上分别截取OEOE、OD,OD,使使OD=OE.OD=OE.2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心,以大以大于于DE/2DE/2长为半径作弧长为半径作弧,两弧在两弧在 AOBAOB内交于点内交于点C.C.3.3.作射线作射线OC.OC.则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线.A AB BO OC CD DE E你能说明你能说明射线射线OCOC为什么是为什么是AOBAOB的平分的平分线吗？线吗？1.1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线利用尺规作出三角形三个内角的平分线.你发现了什么？你发现了什么？2.2.如图如图,求
9、作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,并且点并且点P P到到AOBAOB的两边的的两边的距离相等距离相等.C CD DA AB BO O温馨提示：温馨提示：本题综合运本题综合运用线段的垂直平分线的用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质！性质和角平分线的性质！3.3.如图如图,一目标在一目标在A A区区,到公路、铁路距离相等到公路、铁路距离相等,离公路与离公路与铁路的交叉处铁路的交叉处500m.500m.在图上标出它的位置在图上标出它的位置(比例尺比例尺 1:20 000)1:20 000)。A区区 1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.2.角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：在一个角的内部在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点并且到角的两边距离相等的点,在这个在这个角的平分线上角的平分线上.3.3.用尺规作角平分线用尺规作角平分线海到天边天作岸，山登绝顶我为峰。
