1、导数专题经典例题剖析考点一：求导公式。例1. 是的导函数，则的值是 。 解析：，所以 答案：3 考点二：导数的几何意义。例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则 。 解析：因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以，所以答案：3例3.曲线在点处的切线方程是 。解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为：答案： 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则。由点在曲线C上，则，。又，在处曲线C的切线斜率为，整理
2、得：，解得：或（舍），此时，。所以，直线的方程为，切点坐标是。答案：直线的方程为，切点坐标是 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。（1） 当时，。由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。（2） 当时，函数在R上存在增区间。所以，当时，函数在R上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知。答案： 点评：本题考查导
3、数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6. 设函数在及时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，即，解得，。（2）由（）可知，。当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为。答案：（1），；（2）。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：求导数；求的根；将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。考点六：函数的最值。例7. 已知为实
4、数，。求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。解析：（1），。（2），。令，即，解得或， 则和在区间上随的变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数0，。所以，在区间上的最大值为，最小值为。答案：（1）；（2）最大值为，最小值为。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。解析： （1）为奇函数，即，的最小值为，又直线的
5、斜率为，因此，（2）。，列表如下：增函数极大减函数极小增函数所以函数的单调增区间是和，在上的最大值是，最小值是。答案：（1），；（2）最大值是，最小值是。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一） 选择题1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）A1B2C3D42. 曲线在点（1，1）处的切线方程为（ B ）ABCD3. 函数在处的导数等于 （ D ）A1B2C3D44. 已知函数的解析式可能为（ A ）ABCD5. 函数，已知在时取得极值，则=（ D ）（A）2（B）3（C）4（D）56. 函数是减函
6、数的区间为( D )（）（）（）（）7. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ A ）xyoAxyoDxyoCxyoB8. 函数在区间上的最大值是（A）ABCD9. 函数的极大值为，极小值为，则为 （ A ）A0 B1 C2D410. 三次函数在内是增函数，则 （ A ）A B CD 11. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ D ）A3B2C1D012. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A ）A1个 B2个 C3个D 4个（二） 填空题13. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为。14. 已知曲
7、线，则过点“改为在点”的切线方程是15. 已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为 7 。16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则20吨（三） 解答题17. 已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值求这个极小值及的值J解析：。据题意，1，3是方程的两个根，由韦达定理得，极小值极小值为25，。18. 已知函数（1）求的单调减区间；（2）若在区间2，2.上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解析：（1） 令，解得所以函数的单调递减区间为（2）因为 所以因为在（1，3）
8、上，所以在1，2上单调递增，又由于在2，1上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有，解得故 因此即函数在区间上的最小值为7.19. 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（1）用表示；（2）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围。 解析：（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以. 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（2）.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为20. 设函数，已知是奇函数。（1）求、的值。
9、（2）求的单调区间与极值。解：（1），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（2）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。21. 用长为18 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为 (m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽
10、为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为。22. 已知函数在区间，内各有一个极值点（1）求的最大值；（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解析：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（2）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故
