1、初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案一、锐角三角函数1如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.（1）求之间的距离（2）求从无人机上看目标的俯角的正切值.【答案】（1）120米；（2）.【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过作交BC的延长线于E，连接，于是得到， ，在RtABC中，求得DC=AC=20，然后根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：（1）由题意得：ABD=30，ADC=60，在RtABC中，AC=60m，AB=120（m）（2）过作交BC的延长线于E，连接，则， ，在RtABC中， AC=6
2、0m，ADC=60，DC=AC=20DE=50tanAD= tanDC=答：从无人机上看目标D的俯角的正切值是【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO后，电脑转到AOB位置（如图3），侧面示意图为图4已知OA=OB=24cm，OCOA于点C，OC=12cm（1）求CAO的度数（2）显示屏的顶部B比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏OB与水平线的夹角仍保持120，则显示屏OB
3、应绕点O按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）CAO=30；（2）（3612）cm；（3）显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BDAO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsinBOD=24=12，由C、O、B三点共线可得结果；（3）显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30，求得EOB=FOA=30，既是显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30试题解析：（1）OCOA于C，OA=OB=24cm，sinCAO=，CAO=30；（2）过点B作BDAO交AO的延长线于D，sinBOD=，BD=OBsinBOD，AOB=12
4、0，BOD=60，BD=OBsinBOD=24=12，OCOA，CAO=30，AOC=60，AOB=120，AOB+AOC=180，OB+OCBD=24+1212=3612，显示屏的顶部B比原来升高了（3612）cm；（3）显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30，理由：显示屏OB与水平线的夹角仍保持120，EOF=120，FOA=CAO=30，AOB=120，EOB=FOA=30，显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30考点：解直角三角形的应用；旋转的性质3（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B
5、港口南偏东75方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）【答案】【解析】试题分析：作ADBC于D，于是有ABD=45，得到AD=BD=，求出C=60，根据正切的定义求出CD的长，得到答案试题解析：作ADBC于D，EAB=30，AEBF，FBA=30，又FBC=75，ABD=45，又AB=60，AD=BD=，BAC=BAE+CAE=75，ABC=45，C=60，在RtACD中，C=60，AD=，则tanC=，CD=，BC=故该船与B港口之间的距离CB的长为海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题4如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能
6、热水器：先安装支架和（均与水平面垂直），再将集热板安装在上.为使集热板吸热率更高，公司规定：与水平面夹角为，且在水平线上的射影为.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为，并已知，如果安装工人确定支架高为，求支架的高（结果精确到）？【答案】【解析】过作于，根据锐角三角函数的定义用1、2表示出DF、EF的值，又可证四边形为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可5如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,AEF=90，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：ACF=9
7、0；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，CEF=15，求的长.图1 图2【答案】（1）BE=FH ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2【解析】试题分析：（1）由ABEEHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知FHC是等腰直角三角形，FCH为45，而ACB也为45，从而可证明（3)由已知可知EAC=30，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作ENAC于点N，则可得ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH理由如下：四边形A
8、BCD是正方形 B=90，FHBC FHE=90又AEF=90 AEB+HEF=90 且BAE+AEB=90HEF=BAE AEB=EFH 又AE=EFABEEHF（SAS）BE=FH(2)ABEEHFBC=EH，BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE=CH CH=FHFCH=45，FCM=45AC是正方形对角线， ACD=45ACF=FCM +ACD =90（3）AE=EF，AEF是等腰直角三角形AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上设该中点为O连结EO得AOE=90过E作ENAC于点NRtENC中，EC=4，ECA=45，EN=NC=RtENA中，EN =又EAF=45 CAF=CEF=
9、15（等弧对等角）EAC=30AE=RtAFE中，AE= EF，AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为AOE=90=24（90360）=2考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数6在RtACB和AEF中，ACBAEF90，若点P是BF的中点，连接PC，PE.特殊发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PCPE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕点A顺时针旋转(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证
10、明；若不成立，请说明理由；(3)记k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】 成立 ，成立 当k为时，总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P作PMCE于点M，由EFAE，BCAC，得到EFMPCB，从而有，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE（2）过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，先证DAFEAF，即可得出AD=AE；再证DAPEAP，即可得出PD=PE；最后根据FDAC，BCAC，PMAC，可得FDBCPM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论（3）因为CPE总是等边三角形，
11、可得CEP=60，CAB=60；由ACB=90，求出CBA=30；最后根据，=tan30，求出当CPE总是等边三角形时，k的值是多少即可【详解】解：（1）PC=PE成立，理由如下：如图2，过点P作PMCE于点M，EFAE，BCAC，EFMPCB，点P是BF的中点，EM=MC，又PMCE，PC=PE；（2）PC=PE成立，理由如下：如图3，过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，DAF=EAF，FDA=FEA=90，在DAF和EAF中，DAF=EAF，FDA=FEA，AF=AF，DAFEAF（AAS），AD=AE，在DAP和EAP中，AD=AE，DAP=EAP，AP=AP，DA
12、PEAP（SAS），PD=PE，FDAC，BCAC，PMAC，FDBCPM，点P是BF的中点，DM=MC，又PMAC，PC=PD，又PD=PE，PC=PE；（3）如图4，CPE总是等边三角形，CEP=60，CAB=60，ACB=90，CBA=90ACB=9060=30，=tan30，k=tan30=，当k为时，CPE总是等边三角形【点睛】考点：1几何变换综合题；2探究型；3压轴题；4三角形综合题；5全等三角形的判定与性质；6平行线分线段成比例7问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于
13、点C，则点C即为所求.（1）实践运用： 如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A 在O 上，ACD=30，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 （2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程【答案】解：（1）（2）如图，在斜边AC上截取AB=AB，连接BBAD平分BAC，点B与点B关于直线AD对称过点B作BFAB,垂足为F，交AD于E，连接BE则线段BF的长即为所求 (点到直线的距离最短) 在RtAFB/中，BAC=450, AB/=AB=
14、10，BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A作直径AC，连接CE，根据垂径定理得弧BD=弧DEACD=30，AOD=60，DOE=30AOE=90CAE=45又AC为圆的直径，AEC=90C=CAE=45CE=AE=AC=AP+BP的最小值是（2）首先在斜边AC上截取AB=AB，连接BB，再过点B作BFAB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线
15、段BF的长即为所求8如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m0），平移抛物线y=x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a（1）如图1，若m=当OC=2时，求抛物线C2的解析式；是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2m（0m）时，请直接写出到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）【答案】(1) y=x2+x+2（2）P1（m，1），P2（m，3
16、），P3（m，3），P4（3m，3）【解析】试题分析：（1）首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OPBC画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即ABD形内1个（内心），形外3个不要漏解试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2抛物线C2的顶点D在抛物线C1
17、上，且横坐标为a，D（a，（a+）2）抛物线C2：y=（xa）2+（a+）2（I）OC=2，C（0，2）点C在抛物线C2上，（0a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=x2+x+2在（I）式中，令y=0，即：（xa）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=，B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，C（0，a+）设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，直线BC的解析式为：y=x+（a+）假设存在满足条件的a值AP=BP，点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；点B与点C到直线OP的距离之和BC，只有OPBC时等号成立，OPBC如图1所示，
18、设C2对称轴x=a（a0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OPBC，OE=a点P在直线BC上，P（a，a+），PE=a+tanEOP=tanBCO=，解得：a=存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP（3）抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，D（a，（a+m）2）抛物线C2：y=（xa）2+（a+m）2令y=0，即（xa）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=m，B（2a+m，0）OB=2m，2a+m=2m，a=mD（m，3）AB=OB+OA=2m+m=2如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=O
19、BBE=mtanABD=，ABD=60又AD=BD，ABD为等边三角形作ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BEtan30=1，P1（m，1）；在ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4在RtBEP2中，P2E=BEtan60=3，P2（m，3）；易知ADP3、BDP4均为等边三角形，DP3=DP4=AB=2，且P3P4x轴P3（m，3）、P4（3m，3）综上所述，到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（m，1），P2（m，3），P3（m，3），P4（3m，3）【考点】二次函数综合题9许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河
20、来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得ACF=45，再向前走300米到点D处，测得BDF=60若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtACM和三角函数求出CM、DN，然后根据即可求出A、B两点间的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点
21、做EF的垂线，交EF于N点在RtACM中，AM=CM=200米，又CD=300米，所以米，在RtBDN中，BDF=60，BN=200米米，米即A，B两点之间的距离约为215.6米【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.10在ABC中，B45，C30，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到线段AE，连接DE（1）如图，当点E落在边BA的延长线上时，EDC 度（直接填空）；（2）如图，当点E落在边AC上时，求证：BDEC；（3）当AB2，且点E到AC的距离等于1时，直接写出tanCAE的值【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）利
22、用三角形的外角的性质即可解决问题；（2）如图2中，作PAAB交BC于P，连接PE只要证明BADPAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；（3）如图3，作EFAC于F，延长FE交BC于H，作AGBC于G，PAAB交BC于P，连接PE设PHx，在RtEPH中，可得EPx，EH2PH2x，由此FH2x+1，CF2x+3，由BADPAE，得BDEPx，AEAD，在RtABG中， AGGB2，在RtAGC中，AC2AG4，故AE2AD2AF2+EF2，由勾股定理得AF1+，由此tanEAF2，根据对称性可得tanEAC【详解】（1）如图1中，EDCB+BED，BBED45，EDC90，故
23、答案为90；（2）如图2中，作PAAB交BC于P，连接PEDAEBAP90，BADPAE，B45，BAPB45，ABAP，ADAE，BADPAE（SAS），BDPE，APEB45，EPDEPC90，C30，EC2PE2BD；（3）如图3，作EFAC于F，延长FE交BC于H，作AGBC于G，PAAB交BC于P，连接PE设PHx，在RtEPH中，EPH90，EHP60，EPx，EH2PH2x，FH2x+1，CFFH2x+3，BADPAE，BDEPx，AEAD，在RtABG中，AB2，AGGB2，在RtAGC中，AC2AG4，AE2AD2AF2+EF2，22+（2x）2（1）2+（42x3+）2，整
24、理得：9x212x0，解得x（舍弃）或0PH0，此时E，P，H共点，AF1+，tanEAF2根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tanEAC【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与直线yx3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）求DCB的正切值；（3）如果点F在y轴上，且FBCDBA+
25、DCB，求点F的坐标【答案】（1），D（4，1）；（2）；（3）点F坐标为（0，1）或（0，18）【解析】【分析】（1）yx3，令y0，则x6，令x0，则y3，求出点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线yx2+bx+c，即可求解；（2）求出则点E（3，0），EHEBsinOBC，CE3，则CH，即可求解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可【详解】（1）yx3，令y0，则x6，令x0，则y3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），则c3，将点B坐标代入抛物线yx2+bx3得：036+6b3，解得：b2，故抛物线的表达式为：yx2+2x3，令y0，则x6或2，即
26、点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EHBC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，3）、（4，1），直线CD的表达式为：yx3，则点E（3，0），tanOBC，则sinOBC，则EHEBsinOBC，CE3，则CH，则tanDCB；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，3）、（4，1）、（3，0），则BC3，OEOC，AEC45，tanDBE，故：DBEOBC，则FBCDBA+DCBAEC45，当点F在y轴负半轴时，过点F作FGBG交BC的延长线与点G，则GFCOBC，设：GF2m，则CGGFtanm，CBF45，BGGF，即：3+m2m，解得：m3，C
27、Fm15，故点F（0，18）；当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，18）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定FBCDBA+DCBAEC45，是本题的突破口12已知AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K（1）如图1，求证：KEGE；（2）如图2，连接CABG，若FGBACH，求证：CAFE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE，AK，求CN的长【答案】（1）证明见解析；（2）EAD是等腰三角形证明
28、见解析；（3）. 【解析】试题分析：（1）连接OG，则由已知易得OGE=AHK=90，由OG=OA可得AGO=OAG，从而可得KGE=AKH=EKG，这样即可得到KE=GE；（2）设FGB=，由AB是直径可得AGB=90，从而可得KGE=90-，结合GE=KE可得EKG=90-，这样在GKE中可得E=2，由FGB=ACH可得ACH=2，这样可得E=ACH，由此即可得到CAEF；（3）如下图2，作NPAC于P，由（2）可知ACH=E，由此可得sinE=sinACH=，设AH=3a，可得AC=5a，CH=4a，则tanCAH=，由（2）中结论易得CAK=EGK=EKG=AKC，从而可得CK=AC=
29、5a，由此可得HK=a，tanAKH=，AK=a，结合AK=可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH中，由BHK=BKG=90，可得ABG+HKG=180，结合AKH+GKG=180，ACG=ABG可得ACG=AKH，在RtAPN中，由tanCAH=，可设PN=12b，AP=9b，由tanACG=tanAKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP=5，则可得b=，由此即可在RtCPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：（1）如图1，连接OGEF切O于G，OGEF，AGO+AGE=90，CDAB于H，AHD=90，OAG=AKH=90，OA=OG，AGO=OAG，AGE=AKH，EKG=A
30、KH，EKG=AGE，KE=GE（2）设FGB=，AB是直径，AGB=90，AGE=EKG=90，E=180AGEEKG=2，FGB=ACH，ACH=2，ACH=E，CAFE（3）作NPAC于PACH=E，sinE=sinACH=，设AH=3a，AC=5a，则CH=，tanCAH=，CAFE，CAK=AGE，AGE=AKH，CAK=AKH，AC=CK=5a，HK=CKCH=4a，tanAKH=3，AK=，AK=，a=1AC=5，BHD=AGB=90，BHD+AGB=180，在四边形BGKH中，BHD+HKG+AGB+ABG=360，ABG+HKG=180，AKH+HKG=180，AKH=ABG
31、，ACN=ABG，AKH=ACN，tanAKH=tanACN=3，NPAC于P，APN=CPN=90，在RtAPN中，tanCAH=，设PN=12b，则AP=9b，在RtCPN中，tanACN=3，CP=4b，AC=AP+CP=13b，AC=5，13b=5，b=，CN=13抛物线y=ax+bx+4（a0）过点A(1, 1)，B(5, 1)，与y轴交于点C（1）求抛物线表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P坐标; 过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+最小时,求点G坐标.（3）如图
32、2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值【答案】（1）y=x6x+4（2）P(2, -4)或P(3, -5) G(0, -2)（3）【解析】【分析】（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；（2）如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为CBPQ的面积为30，所以SPBC= (t+4t2+6t4)515，解得t的值，即可得出点P的
33、坐标；当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），GOR=45，因为GB+ GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；（3）先用面积法求出sinACB=，tanACB=，在RtABE中，求得圆的直径，因为MBNB，可得N=AEB=ACB，因为tanN=，所以BN=MB，当MB为直径时，BN的长度最大【详解】(1) 解：（1）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，-1），B（5，-1）， 解得 抛物线表达式为y=x6x+4(2)如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，设直线B
34、C的解析式为y=kx+m，B（5，-1），C（0，4）， ，解得 直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），CBPQ的面积为30，SPBC= (t+4t2+6t4)515，解得t=2或t=3，当t=2时，y=-4当t=3时，y=-5，点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；当点P为（2，-4）时，直线BC解析式为：y=-x+4，QPBC，设直线QP的解析式为：y=-x+n，将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，直线QP的解析式为：y=-x-2，F（0，-2），GOR=45，GB+GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2
35、），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，同理可得点G的坐标为（0，-2）， (3) ）A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），AC= ，BC=5，SABC=ACBCsinACBAB5，sinACB=，tanACB=，AE为直径，AB=4，ABE=90，sinAEB=sinACB=，AE=2，MBNB，NMB=EAB，N=AEB=ACB，tanN=，BN=MB，当MB为直径时，BN的长度最大，为3【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系14如图，正方形
36、ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：ABFACE；（2）求tanBAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值【答案】（1）证明见解析；（2）tanEAB1；（3）PE+PF的最小值为【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EHAC于H首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：四边形AB
37、CD是正方形，ACEABFCAB45，AE平分CAB，EACBAF22.5，ABFACE（2）解：如图1中，作EHAC于HEA平分CAB，EHAC，EBAB，BEEB，HCE45，CHE90，HCEHEC45，HCEH，BEEHHC，设BEHEHCx，则ECx，BC+1，x+x+1，x1，在RtABE中，ABE90，tanEAB1（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小作EMBD于MBMEM，AC2+，OAOCOBAC ，OHOFOAtanOAFOAtanEAB （1），HMOH+OM，在RtEHM中，EH PE+PF的最小值为【点睛
38、】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型15如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60方向且与B相距20km处现有一艘轮船从位于点A南偏东74方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处求这艘轮船的航行路程CE的长度（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，sin740.96，cos740.28，tan743.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在RtBDF中，DBF=60，BD=4km，BF=8km，AB=20km，AF=12km，AEB=BDF，AFE=BFD，AEFBDF，AE=6km，在RtAEF中，CE=AEtan7420.9km故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.
