1、有界磁场区域面积、宽度、半径计算有界磁场区域面积、宽度、半径计算例例1如图如图412甲所示，质量为甲所示，质量为m、电荷量为、电荷量为e的电子的电子从坐标原点从坐标原点O处沿处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为向不同，但大小均为v0现在某一区域内加一方向向外且垂现在某一区域内加一方向向外且垂直于直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏轴平行的荧光屏MN上，求上，求(1)荧光屏上光斑的长度荧光屏上光斑的长度(2
2、)所加磁场范围的最小面积所加磁场范围的最小面积图图412甲甲一、磁场范围为圆形一、磁场范围为圆形【解析解析】(1)(1)如图如图4 41212乙所示，要求光斑的长度，只要找到乙所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可初速度沿两个边界点即可初速度沿x x轴正方向的电子沿弧轴正方向的电子沿弧OAOA运动到运动到荧光屏荧光屏MNMN上的上的P P点；初速度沿点；初速度沿y y轴正方向的电子沿弧轴正方向的电子沿弧OCOC运动运动到荧光屏到荧光屏MNMN上的上的Q Q点点设粒子在磁场中运动的半径为设粒子在磁场中运动的半径为R R ，由牛顿第二定律得：，由牛顿第二定律得：evev0 0B Bm m ，
3、即，即R R由几何知识可得：由几何知识可得：PQPQR R 20Rv0mBev0mBev图图412乙乙(2)取与取与x轴正方向成轴正方向成角的方向射入的电子为研究对象，角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为其射出磁场的点为E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：上，故有：xRsin yRRcos 即即x2(yR)2R2又因为电子沿又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为轴正方向射入时，射出的边界点为A点；点；沿沿y轴正方向射入时，射出的边界点为轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积点，故所加最小面积的磁场的边界是以的磁场的边界是以(0，
4、R)为圆心、为圆心、R为半径的圆的一部分，如为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：S R2R2 R2(1)()2答案答案(1)(2)(1)()2 34142 0mBev0mBev2 0mBev【点评点评】带电粒子在匀强磁场中偏转的试题基本上是年带电粒子在匀强磁场中偏转的试题基本上是年年考，大概为了求新求变，在年考，大概为了求新求变，在2009年高考中海南物理卷年高考中海南物理卷(第第16题题)、浙江理综卷、浙江理综卷(第第25题题)中都出现了应用这一推论的题型中都出现了应用这一推论的题型同类拓展同类拓展如图如图
5、413甲所示，甲所示，ABCD是边长为是边长为a的正的正方形质量为方形质量为m、电荷量为、电荷量为e的电子以大小为的电子以大小为v0的初速度沿纸的初速度沿纸面垂直于面垂直于BC边射入正方形区域在正方形内适当区域中有匀边射入正方形区域在正方形内适当区域中有匀强磁场电子从强磁场电子从BC边上的任意点入射，都只能从边上的任意点入射，都只能从A点射出磁点射出磁场不计重力，求：场不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小(2)此匀强磁场区域的最小面积此匀强磁场区域的最小面积2009年高考年高考海南物理卷海南物理卷图图413甲甲【解析解析】(1)若要使
6、由若要使由C点入射的电子从点入射的电子从A点射出，则在点射出，则在C处必须有磁场，设匀强磁场的磁感应强度的大小为处必须有磁场，设匀强磁场的磁感应强度的大小为B，令圆，令圆弧弧 是自是自C点垂直于点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道，入射的电子在磁场中的运行轨道，电子所受到的磁场的作用力电子所受到的磁场的作用力fev0B，方向应指向圆弧的圆，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外圆弧心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外圆弧 的圆心在的圆心在CB边或其延长线上依题意，圆心在边或其延长线上依题意，圆心在A、C连线的中垂线连线的中垂线上，故上，故B点即为圆心，圆半径为点即为圆心，圆半径
7、为a按照牛顿定律有：按照牛顿定律有：fm联立解得：联立解得：B20av0meav14AEC14AECOR(2)由由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点点垂直于垂直于BC入射的电子在入射的电子在A点沿点沿DA方向射出，且自方向射出，且自BC边上其边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中，因区域中，因而，圆弧而，圆弧 是所求的最小磁场区域的一个边界是所求的最小磁场区域的一个边界为了决定该磁场区域的另一边界为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中我们来考察射中A点的点的电子的速度方向与电子的速度
8、方向与BA的延长线交角为的延长线交角为(不妨设不妨设0 )的情的情形该电子的运动轨迹形该电子的运动轨迹QPA如图如图413乙所示图中，圆弧乙所示图中，圆弧 的圆心为的圆心为O，PQ垂直于垂直于BC边，由上式知边，由上式知,圆弧圆弧 的半径仍为的半径仍为a过过P点作点作DC的垂线交的垂线交DC于于G，由几何关系可知，由几何关系可知DPG，在以，在以D为原点、为原点、DC为为x轴、轴、DA为为y轴的坐标系中，轴的坐标系中，P点的坐标点的坐标(x，y)为：为：xasin，yacos 即即2 AP14AEC222xya这意味着，在范围这意味着，在范围0 内，内，P点形成以点形成以D为圆心、为圆心、a为
9、半径的四分之一圆周为半径的四分之一圆周 ,它是电子做直线运动和圆周运它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以最小匀强磁场区域是分别以B和和D为圆心、为圆心、a为半径的两个四为半径的两个四分之一圆周分之一圆周 和和 所围成的，其面积为：所围成的，其面积为：答案答案(1)方向垂直于纸面向外方向垂直于纸面向外 (2)2 图图413乙乙2221122()422Saaa0meav222a 14AFC14AFC14AEC例例2 2在在xoyxoy平面内有许多电子（质量为平面内有许多电子（质量为m、
10、电量、电量为为e），从坐标），从坐标O不断以相同速率不断以相同速率0沿不同方向射沿不同方向射入第一象限，如图入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于所示。现加一个垂直于xoy平平面向内、磁感强度为面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于穿过磁场后都能平行于x轴向轴向x正方向运动，求符正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径解析：电子在磁场中运动半径 是确定的，是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其
11、所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆中圆O1和圆和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在轴上方在轴上方1/4个的圆弧个的圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以为圆心，以R为半径为半径的圆弧的圆弧O1OmO2。由于要求所有。由于要求所有电子均平行于电子均平行于x轴向右飞出磁场，轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。为每条可能轨迹的最高点。可证
12、明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线中虚线O O1 1O O2 2）向上平移一段长度为）向上平移一段长度为 的距离即图的距离即图9中的中的弧弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与与x轴夹角为轴夹角为，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也，若离开磁场速度变为水
13、平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图），从图10中看中看出，出，即（，即（x0，y0），），这是个圆方程，圆心在（这是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的处，圆的1/4圆弧部分即为磁场圆弧部分即为磁场区域的下边界。区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。由以上题目分析可知，解决此类问题的关键由以上题目分析可知，解决此
14、类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。律分析解出所求的最小面积即可。例例3(12分分)如图甲所示，在平面直角坐标系如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中的第中的第一象限内存在磁感
15、应强度大小为一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域内的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出图中未画出)；在第二象限内存；在第二象限内存在沿在沿x轴负方向的匀强电场一粒子源固定在轴负方向的匀强电场一粒子源固定在x轴上的轴上的A点，点，A点坐标为点坐标为(L,0)粒子源沿粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为轴正方向释放出速度大小为v的的电子，电子恰好能通过电子，电子恰好能通过y轴上的轴上的C点，点，C点坐标为点坐标为(0,2L)，电子，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成轴正方向成15角的
16、射线角的射线ON(已知电子的质量为已知电子的质量为m，电荷量为电荷量为e，不考虑粒子的重，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用力和粒子之间的相互作用)求：求：甲甲(1)第二象限内电场强度第二象限内电场强度E的大小的大小(2)电子离开电场时的速度方向与电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角轴正方向的夹角(3)圆形磁场的最小半径圆形磁场的最小半径Rm【解析解析】(1)从从A到到C的过程中的过程中,电子做类平抛运动，有：电子做类平抛运动，有：L t2(1分分)2Lvt(1分分)联立解得：联立解得：E (1分分)(2)设电子到达设电子到达C点的速度大小为点的速度大小为vC，方向与方向与y轴正方向的
17、夹角为轴正方向的夹角为由动能定理，有：由动能定理，有：mvC2 mv2eEL(2分分)1222meLv2eEm12解得：解得：vC vcos (1分分)解得：解得：45(1分分)222C vv(3)电子的运动轨迹图如图乙所示，电子在磁场中做匀速电子的运动轨迹图如图乙所示，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径圆周运动的半径r (1分分)电子在磁场中偏转电子在磁场中偏转120后垂直于后垂直于ON射出，则磁场最小射出，则磁场最小半径为：半径为：Rm rsin 60(2分分)由以上两式可得：由以上两式可得：Rm (1分分)答案答案(1)(2)45(3)2CmmeBeB vv2PQ62meBv22meLv6
18、2meBvyOaxbv0质点在磁场中圆周运动半径为质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是质点在磁场区域中的轨道是1/4 圆周，如图中圆周，如图中。yxv30OvLMNrrP解：做两条速度的延长线交于做两条速度的延长线交于M点，点，过过M点做角平分线交点做角平分线交y轴轴N点，以点，以N为圆心以为圆心以r为半径做圆，切于两为半径做圆，切于两速度线，切点分别为速度线，切点分别为O、P根据几何关系：根据几何关系：3/Lr 质点圆周运动半径：质点圆周运动半径：mv/qBr 由上式解得：由上式解得：qLmvB/3 yxv30OvLMNrrPMNBO2RR2RMNO2RR2RM
19、NO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.2RR2RMNO例例6 6一质量为一质量为m m、带电量为、带电量为q的粒子以速度的粒子以速度0从从O点沿点沿y轴正方向射入磁感强度为轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从从b处穿过处穿过x轴，速度方向与轴，速度方向与x轴正向夹角为轴正向夹角为30，如图如图1所示（粒子重力忽略不计）。所示（粒子重力忽略不计）。试求：（试求：（1）圆形磁场区的最小面积；）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从）粒子从O点进入磁场区到达点进入磁场区到达b点所
20、经点所经 历的历的 时间；时间；（3）b点的坐标。点的坐标。解析：（解析：（1 1）由题可知，粒子不可能直接由点）由题可知，粒子不可能直接由点经半个圆周偏转到经半个圆周偏转到b b点，其必在圆周运动不到半点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到圈时离开磁场区域后沿直线运动到b点。可知，点。可知，其离开磁场时的临界点与点都在圆周上，到圆其离开磁场时的临界点与点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图心的距离必相等。如图2，过，过b点逆着速度点逆着速度0的方的方向作虚线，与向作虚线，与y轴相交，由于粒子在磁场中偏转轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于的半径一定，且圆心位于x
21、轴上，轴上，距距O点距离和到虚线上点距离和到虚线上a点垂直距点垂直距离相等的离相等的o1点即为圆周运动的圆点即为圆周运动的圆心，圆的半径心，圆的半径。由由 ,得得 。弦长。弦长oa为：为：，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为要使圆形磁场区域面积最小，半径应为L的一半，的一半，即：即：，面积，面积（2）粒子运动的圆心角为）粒子运动的圆心角为1200，时间时间（3）ob距离距离 故故B点的坐标为点的坐标为03,0mvqB点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上
22、且圆心到这两临界点的距离相等；垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。轨迹的弦长。二、磁场范围为三角形二、磁场范围为三角形例例3 3如图如图5 5，一个质量为，一个质量为m m，带，带+q电量的粒子在电量的粒子在BC边上的边上的M点以速度点以速度垂直于垂直于BC边飞入正三角形边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在。为了使该粒子能在AC边上的边上的N点（点（CMCN）垂真于）垂真于AC边飞出边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为直于纸面向里，磁感应强度
23、为B的匀强磁场。若此磁的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：子的重力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径）粒子在磁场里运动的轨道半径及周期及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；）该正三角形区域磁场的最小边长；（2 2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由左偏转，不可能直接在磁场中由M M点作圆周运动到点作圆周运动到N N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方点，当粒子刚
24、进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6 6作作出圆出圆O O，粒子的运动轨迹为弧，粒子的运动轨迹为弧GDEFGDEF，圆弧在点与初，圆弧在点与初速度方向相切，在速度方向相切，在F F点与出射速度相切。画出三角形点与出射速度相切。画出三角形abcabc，其与圆弧在，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆交于两点相切，并与圆交于F、G两点，此为符合题意的最小磁两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知场区域。由数学知识可知FOG600，所以粒子偏转的圆心角，所以粒子偏转的圆心角为为3000，运动的时间，运动的时间解析：
25、（解析：（1 1）由）由 和和 得得（3 3）连接）连接a0a0并延长与并延长与bc交与点，由图可知交与点，由图可知点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从的确定比较困难，必须将射入速度与从ACAC边射出速边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。切圆。2aor32oHr2cos304
26、(1)cos30cos303aooHrrmvLacqBrvmqvB2vrT2mqBmvr3.0ssqBmT551028.61022解：解：（1 1）由）由得：得：（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知）画出粒子的运动轨迹如图，可知Tt65ssqBmt551023.510353530cos30cos2rrL（3）由数学知识可得：）由数学知识可得：得：得：mqBmvL99.010334)134(变式：一质量变式：一质量m、带电、带电q的粒子以速度的粒子以速度V0从从A点沿等点沿等边三角形边三角形ABC的的AB方向射入强度为方向射入强度为B的垂直于纸面的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场
27、后沿的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。射出，求圆形磁场区域的最小面积。最小面积最小面积解：根据牛顿第二定律：解：根据牛顿第二定律：画出带电粒子运动轨迹如图所示：画出带电粒子运动轨迹如图所示：由图示知由图示知20vmvBqvmRRBq3cos302RrR22202234m vSrB q（2012年陕西宝鸡第一次质检）年陕西宝鸡第一次质检）（18分）如图所分）如图所示，示，k是产生带电粒子的装置，从其小孔是产生带电粒子的装置，从其小孔a水平向水平向左射出比荷为左射出比荷为1.0 0l03C/kg的不同速率的带电粒子，的不同速率的带电粒子，带电粒子的重力
28、忽略不计带电粒子的重力忽略不计Q是速度选择器，其内是速度选择器，其内有垂直纸面向里的磁感应强度为有垂直纸面向里的磁感应强度为3.0 0l0-3T的匀强的匀强磁场和竖直方向的匀强电场（电场线未画出）磁场和竖直方向的匀强电场（电场线未画出）（1）测得从）测得从Q的的b孔水平向左射出的带电粒子的速孔水平向左射出的带电粒子的速率为率为2.0l03m/s，求，求Q内匀强电场场强的大小和内匀强电场场强的大小和方向方向.解解:（1）从）从Q的的b孔水平向左射出的速率为孔水平向左射出的速率为 的带电粒子一定在的带电粒子一定在Q中做匀速直线运动，由平衡条中做匀速直线运动，由平衡条件得：件得：（1）2分分可得：可
29、得：（2）2分分由分析判断可知，由分析判断可知，E的方向竖直向上。（的方向竖直向上。（3）2分分sm3100.2 qEqvBcNvBE0.6030pedcbRoQak（2）为了使从）为了使从b孔射出的带电粒子垂直地打在与孔射出的带电粒子垂直地打在与水平面成水平面成30角的角的P屏上，可以在屏上，可以在b孔与孔与P屏之间加屏之间加一个边界为正三角形的有界匀强磁场，磁场方向垂一个边界为正三角形的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面试求该正三角形匀强磁场的最小面积直纸面试求该正三角形匀强磁场的最小面积S与与磁感应强度磁感应强度B间所满足的关系间所满足的关系（2）设带电粒子从）设带电粒子从c点进入磁场，从点
30、进入磁场，从d点射出磁场，带电粒点射出磁场，带电粒子在磁场中运动的轨迹如图所示。由图可得，子在磁场中运动的轨迹如图所示。由图可得，cdo是正三是正三角形，角形，cd=R（4）2分分由分析可知，将由分析可知，将cd作为正三角形匀强磁场的一个边界时，正作为正三角形匀强磁场的一个边界时，正三角形匀强磁场的面积最小，所以该正三角形匀强磁场的区三角形匀强磁场的面积最小，所以该正三角形匀强磁场的区域如图中域如图中cbe区域。区域。（5）2分分由于边长为由于边长为R的正三角形的正三角形cde的高为的高为 （6）2分分边长为边长为R的正三角形的正三角形cde的面积为的面积为 （7）2分分又带电粒子做匀速圆周运动的轨道半径为又带电粒子做匀速圆周运动的轨道半径为 （8）2分分由（由（6）、（）、（7）、（）、（8）解得，正三角形匀强磁解得，正三角形匀强磁场的最小面积场的最小面积S与磁感应与磁感应强度强度B间所满足的关系：间所满足的关系：（9）2分分sin60hR12sRhmvRqB23sB030pedcbRoQak
