1、第四章第四章 函数的连续性函数的连续性4.1 4.1 连续性概念连续性概念 4.2 4.2 连续函数的一般性质连续函数的一般性质4.3 4.3 闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质4.3 闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面给出大的价值，起着十分重要的作用。下面给出这些结论，这些结论在几何意义是比较明显这些结论，这些结论在几何意义是比较明显的。的。一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义1
2、:1:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sin1xy ,2,0上上在在,2max y;0min y,sgn xy ,),(上上在在,1max y;1min y,),0(上上在在.1minmax yyf f x,0,1fxx x 1,(0,1)2,0,1xfxxx一般而言，在其定义域上不一定在上有界.有最大(小)值，例如：即使在 上也无最大值也无最小值.0,1在 内无最大(小)值；0,1
3、11o2定理定理4.6(4.6(最大值、最小值定理最大值、最小值定理)在闭区间上连在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值续的函数一定有最大值和最小值.1212,()(),()().fC a ba bxa bf xff xf 即:若则使得有xyo)(xfy ab2 1 注意注意:1.1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理也不一定成立定理也不一定成立.xyo2)(xfy xyo)(xfy 211 引理引理(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.证证为了证明最大、最
4、小值定理，现给出一个引理为了证明最大、最小值定理，现给出一个引理.设函数f在闭区间,a b上连续，现在证明f在 上有界.用反证法.,a b不妨设在 上无上界,a bf那么存在,nxa b使得,nf xn1,2,n 从而lim.nnf x 另一方面，因为 nx是有界数列，由致密性定理，nx有收敛子数,knx设0lim.knkxx由于0,knaxbxa b因此,f在点0 x连续.由归结原则得limnnf x limknkf x 0limxxf x0,f x这与f在点0 x连续矛盾.定理4.6的证明 由引理函数f有上界，从而存在上确界，设,sup.xa bf xM下面证明存在,a b使得.fM倘若不
5、然,xa b 都有.f xM令 1,.g xxa bMf x则 g x在,a b上连续且取正值，由引理 g x在,a b上有上界，记作,G即 10,g xGxa bMf x从而得 1,.f xMxa bG这与M是f在,a b的上确界矛盾.所以存在,a b使得,fM即f在,a b上有最大值.同理可证f在,a b上有最小值.二、介值定理二、介值定理定义定义:.)(,0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 因此，零点定理也称为根的存在定理.证明 不妨设 0.f af b令|0,.Ex f xxa
6、b显然E为非空有界数集，,aEb是E的一个上界,由确界原理，存在上确界sup.E另一方面，因 0,f a 0,f b 由连续函数的局部保号性，存在0,bao使得 0,f xxa a 0,f xxbb 所以,.a b现证 0.f倘若 0,f不妨设 0.f由连续函数的局部保号性，存在;,Ua b 使得在其内 0,f x 所以2与矛盾supE为E的上界,几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则ba
7、x Cafa )()(且且,CA Cbfb )()(,CB ,0)()(ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(,0)()(Cf 即即.)(Cf xyo)(xfy abABC1 2 3 几何解释几何解释:.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy ()yx例例1 132410(0,1).xx 证明方程在区间内至少有一根证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上连续上连续在在则则xf,01)0(f又又,02)1(f由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(f,01423 即即推论推论 在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数必取得介于最大
8、值函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.Mm32410(0,1).xx 方程在内至少有一根xyo)(xfy abABMm1x2xC1 2 3 例例2 2.)(),(.)(,)(,)(fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 bbfbF )()(,0 由零点定理由零点定理,(,),a b()()0,Ff使得.)(f即即abab()yF x()yf x例例3)()(),0)2()0(2,0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上
9、连续，且在在设设证证则则记记)()()(axfxfxF )(,0(,0)(的定义域的定义域即即上连续上连续在在xFaaxF(0)(0)(),Fff a且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0(aFF则则由零点定理知，由零点定理知，(0,),a()(),ffa即总之总之)()(),0affa 使使()0,Foa2aa yf xyf xa注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：直接用最值定理或介值定理直接法：直接用最
10、值定理或介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求0 x 1f xx0,100,1,x01,2xx三、一致连续三、一致连续(函数的整体连续性函数的整体连续性)对对的依赖性的依赖性在区间解:对作限制就有 1.1.连续定义中连续定义中例例4 4 考察函数上的连续性.0002000002112xxxxxxxxxxxxx0,200min,22xx
11、0 x0,.x 对取这里与有关,有时特记为0,1,.本例中不存在可在区间上通用的即不存在最小的(正数)10 x0 x000011,xxxxxxxx.解 由于本例中可取得最小的,也就是可通用的该 却与 无关,可记为 1f xx1,在区间例例5 5 考察函数上的连续性.0 x.当 0 xx时有 0,f xf x f x1,在区间所以上连续.10 xo22220 x2.2.一致连续性定义一致连续性定义 fI0,0,x xI,xx,fxfx定义定义2 2(一致连续)设为定义在区间 上的函数.存在(仅与有关),只要就有则称函数在区间 上一致连续.若对任给的得对任何fI注注:函数在区间上一致连续函数 在区
12、间上连续.反之不真 fIfI0,0 f xf xxxx,x,.xx用定义验证一致连续的方法:对确证存在.入手,之外,其余部分中和然后使所得式子从中解出使在放大后的式子中,除因子不含有使为此,从不失真地放大式 f xaxb0a,例6 验证函数在内一致连续.,fxfxaxx0,a,xx,fxfxf证明:由于所以取只要就有这就证明在区间了函数,内一致连续.1sinfxx,1c01c例例7 7 验证函数在区间内一致连续.11sinsin2 sincos2 2 xxxxxxxxx xx xx x0,2,c,xx证 因为所以取只要就有2,xxc,fxfxf,1c这就证明了函数在区间连续.上一致 f x,a
13、 b例例8 8 若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.f x,a b f x,a b01,0,x xa b,xx1.fxfx,nN,ban,xa b 0121,2nnabxx xxxxa b1,iixx1,2,in证明 因为在内一致连续,对于任意只要就有显然存在使得因此,总有使得所以对于 11000,nnfxfxfxfxfxfxnfx f x,a b所以在内有界.3.3.一致连续的否定一致连续的否定 fI00,0,x xI,xx0,fxfx函数函数在区间在区间上不一致连续的定义上不一致连续的定义:对于任意的总存在使得则称函数在区间上不一致连续.存在fI 1f xx0,1例例9 9 证明函数在
14、区间内不一致连续.01,0,1min,2x,2xx 2xxx证明证明(用一致连续的否定定义验证)：对于任意取与则对于但是,2 012121,fxfxxxx 1f xx0,1所以在内不一致连续.4.4.一致连续的判定一致连续的判定 f x,a b定理定理4.9 4.9(一致连续性定理,Cantor)若函数在闭区间上连续 在上一致连续.f x,a b作业：P85-86 6,7,9,11,13,141I1,cI2I2cIf12III补充例题补充例题 设区间的右端点为区间的左端点也为(可以分别为有限或无限区间).分别在区间上一致连续,则在上一致连续.12,I I试按一致连续性的定义证明:若函数1I2I和f思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()(bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0,210,)(xxexf)(xf在在)1,0(内内连连续续,.02)1()0(ef但但)(xf在在)1,0(内内无无零零点点.
