1、小专题(六)构造全等三角形的方法技巧第14章全等三角形-2-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧在证明三角形全等时,有时需添加辅助线,这对于学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明全等时常见的三种辅助线.一般地,当所证结论为线段的和、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用截长补短的办法.三角形问题中涉及中线(中点)时,将三角形中线延长一倍,构造全等三角形是常用的解题思路.在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,可以找到更多的相等关系,有助于问题的解决.-3-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧类型1连接线段构造全等三角形通过连接两点,构造出
2、三角形,再证明两个三角形全等,然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等.-4-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧1.如图,在ABC中,AB=AC,M为BC的中点,MDAB于点D,MEAC于点E.求证:MD=ME.证明:连接AM.ABM ACM(SSS),BAM=CAM.MDAB,MEAC,MDA=MEA=90,又AM=AM,AMD AME(AAS),MD=ME.-5-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧2.如图,在ABC中,B=C,点E,D,F分别在AB,BC和AC边上,且BE=CD,BD=CF,过点D作DGEF于点G.求证:-6-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧-7-小专题(六)构造
3、全等三角形的方法技巧类型2利用“截长补短”构造全等三角形证明一条线段等于两条线段的和的方法:“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段;“补短法”的基本思路是延长短线段,使之延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段.-8-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧3.如图1,在ABC中,AD是BAC的平分线,若AB=AC+CD,那么ACB与ABC有怎样的数量关系?小明通过观察分析,形成了如下解题思路:如图2,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB.又因为AD是BAC的平分
4、线,可得ABD AED,进一步分析就可以得到ACB与ABC的数量关系.-9-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧(1)判定ABD与AED全等的依据是SAS(从SSS,SAS,ASA,AAS中选择一个);(2)ACB与ABC的数量关系为ACB=2ABC.请按照以上思路补充解题过程.解:理由:ABD AED,B=E,CD=CE,CDE=E,ACB=2E,ACB=2ABC.-10-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧4.如图,已知APBC,PAB的平分线与CBA的平分线相交于点E,CE的延长线交AP于点D.求证:AD+BC=AB.-11-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧证明:在AB上截取AF=A
5、D,AE平分PAB,DAE=FAE,DAE FAE(SAS),AFE=ADE.ADBC,ADE+C=180,AFE+EFB=180,EFB=C.BE平分ABC,EBF=EBC,-12-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧BEF BEC(AAS),BC=BF,AD+BC=AF+BF=AB.-13-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧5.如图,在四边形OACB中,CMOA于点M,1=2,CA=CB.求证:3+4=180.-14-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧证明:过点C作CEOB,交OB的延长线于点E.CMOA,CEOB,OEC=OMC=90.OEC OMC(AAS),CE=CM.又CA=C
6、B,RtBCE RtACM(HL),3=CBE,3+4=CBE+4=180.-15-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧类型3利用“中线倍长”构造全等三角形当题目中出现中线时,常常延长中线,使所延长部分与中线的长度相等,然后连接相应的端点,便可以得到全等三角形.-16-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧6.如图,在ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.解:(1)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.D为BC的中点,CD=BD.又AD=ED,ADC=EDB,ADC EDB,AC=EB.AB+BEAE,AB+AC2AD.(2)AB
7、-BEAEAB+BE,AB-AC2ADAB+AC.AB=5,AC=3,22AD8.1AD4.-17-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧7.如图,AB=AE,ABAE,AD=AC,ADAC,M为BC的中点,求证:DE=2AM.-18-小专题(六)构造全等三角形的方法技巧证明:延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.M为BC的中点,BM=CM.又AM=MN,AMC=NMB,AMC NMB(SAS),AC=BN,C=NBM,ABN=ABC+NBM=ABC+C=180-BAC=EAD.AD=AC,AC=BN,AD=BN.又AB=AE,ABN EAD(SAS),DE=NA.又AM=MN,DE=2AM.
