1、11.1 11.1 与三角形有关的线段与三角形有关的线段第第1 1课时课时 三角形的边三角形的边第十一章第十一章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u三角形及其有关概念三角形及其有关概念u三角形的分类三角形的分类u三角形的三边关系三角形的三边关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉 的几的几何图形何图形.你能画出一个三角形吗？你能画出一个三角形吗？知知1 1导导1知识点知识点三角形及有关概念三角形及有关概念下面哪个是三角形？下面哪个是三角形？什么是三角形？什么是三角形？结合你画的三角形
2、，说明三角形是由什么组成的结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.ABC由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形成的图形叫做三角形.注意：注意：1.不在同一条直线上不在同一条直线上.2.三条线段三条线段.3.首尾顺次相接首尾顺次相接.1.三角形的定义：三角形的定义：知知1 1讲讲注意：表示三角形时，字母没有先后顺序注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作即：可以记作ABC，也可记作，也可记作ACB.2.三角形的表示：三角形的表示：三角形用符号三角形用符号“”表示，如下图的三角形，表示，如下图的三角形，记作记作“AB
3、C”，读作，读作“三角形三角形ABC”.知知1 1讲讲ABC如图，如图，ABC的三个顶点分别的三个顶点分别是：是：A，B，C.3.三角形的顶点三角形的顶点如图，如图，ABC的三条边分别是：的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是：它的三个内角（简称三角形的角）分别是：A，B，C.A ABC4.三角形的边、内角三角形的边、内角知知1 1讲讲注意：注意：1.三角形的三边用字母表示时，字三角形的三边用字母表示时，字 母没有顺序限制母没有顺序限制.2.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.如：如：ABC的三边中，顶点的三边中，顶
4、点A所对的边所对的边BC也可表示为也可表示为a，顶点顶点B所对的边所对的边AC也可表示为也可表示为b，顶点，顶点C所对的边所对的边AB也可也可 表示为表示为c.3.一般情况下，我们把边一般情况下，我们把边BC叫做叫做A的对边，的对边，AC，AB叫叫 A的邻边；边的邻边；边AC叫叫B的对边，的对边，AB，BC叫叫B的邻边；的邻边；你能说出你能说出C的对边及邻边吗？的对边及邻边吗？abcA ABC对边是对边是AB，邻边是，邻边是BC，AC.知知1 1讲讲一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是其中符合三角形定义的是()知知1 1练练 1D如图：
5、如图：(1)ADC的三个顶点分别是的三个顶点分别是_，三个内角，三个内角分分 别是别是_(2)在在ABC中，中，C的对边是的对边是_；在；在AEC 中，中，C的对边是的对边是_ 2知知1 1练练A、D、CCD AC A D CABAE知知1 1练练 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.3解：解：图中有图中有5个三角形，分别是个三角形，分别是ABE，ABC，BEC，BCD，CDE.知知2 2导导2知识点知识点三角形的分类三角形的分类 我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直分为锐角三角形、直
6、角三角形和钝角三角形角三角形和钝角三角形.如何按如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流与同学交流.我们知道：我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形(图图(1);有两条边相等的三角形叫做等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图图(2).图图(3)中的三角形是三边都不相等的三角形中的三角形是三边都不相等的三角形.知知2 2讲讲 我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，两腰的夹角叫
7、做顶角，腰和底边的夹角叫做底角腰和底边的夹角叫做底角.知知2 2讲讲ABC顶角顶角底角底角底角底角腰腰腰腰底边底边 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形相等的等腰三角形.知知2 2讲讲 以以“是否有边相等是否有边相等”，可以将三角形分为两，可以将三角形分为两类：类：三边都不相等的三角形和等腰三角形三边都不相等的三角形和等腰三角形.总总 结结三角形三角形按按角角分分锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形按按边边分分三边都不相等的三角形三边都不相等的三角形三角形的分类三角形的分类等腰三角形等腰三角形底边和腰不相等底边
8、和腰不相等的等腰三角形的等腰三角形等边三角形等边三角形三边都三边都不相等不相等的三角的三角形形等腰三等腰三角形角形等边三等边三角形角形知知2 2讲讲知知2 2练练下列说法：等边三角形是等腰三角形；等腰下列说法：等边三角形是等腰三角形；等腰三角形也可能是直角三角形；三角形按边分类三角形也可能是直角三角形；三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；三角形按角分类应分为锐角三角形、的三角形；三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形其中正确的有直角三角形和钝角三角形其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 1
9、 C知知2 2练练已知一个三角形是等腰三角形，则这个三角形已知一个三角形是等腰三角形，则这个三角形()A一定是锐角三角形一定是锐角三角形B一定是直角三角形一定是直角三角形C一定是钝角三角形一定是钝角三角形D可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 2D知知3 3导导3知识点知识点三角形的三边关系三角形的三边关系 任意画一个任意画一个ABC，从点，从点B出发，沿三角出发，沿三角形形的边到点的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？长有什么关系？能证明你的结论吗？如图三角形中，假设有一只小虫要从
10、点如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿出发沿着三角形的边爬到点着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？条路线的长一样吗？ABC知知3 3导导 对于任意一个对于任意一个 ABC，如果把其中任意两个顶点，如果把其中任意两个顶点(例如例如B，C)看成定看成定 点，由点，由“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”可可得得 AB+ACBC.同理有同理有 AC+BCAB,AB+BCAC.一般地，我们有一般地，我们有三角形两边的和大于第三边三角形两边的和大于第三边.由不等式移项可得由不等式移项可得BCABAC，BCACAB.这就是说，三角形两边的差小于
11、第三边这就是说，三角形两边的差小于第三边.知知3 3讲讲用一条长为用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形的细绳围成一个等腰三角形.如果腰长是底边长的如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？倍，那么各边的长是多少？能围成有一边的长是能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？的等腰三角形吗？为什么？(1)设底边长为设底边长为x cm，则腰长为，则腰长为2x cm.x+2x+2x=18.解得解得x=3.6.所以，三边长分别为所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.(2)因为长为因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所的边可能是腰，也可能是底边，所 以需要分
12、情况讨论以需要分情况讨论.例例1(1)(2)解：解：知知3 3导导如果如果4 cm长的边为底边，设腰长为长的边为底边，设腰长为x cm，则，则 4+2x=18.解得解得x=7.如果如果4 cm长的边为腰，设底边长为长的边为腰，设底边长为 x cm，则，则24+x=18.解得解得x=10.因为因为4+410,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长能围成腰长 是是4 cm的等腰三角形的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形的等腰三角形.知知3 3导导总总 结结注意：注意：1.1.一个三角形的三
13、边关系可以归纳成如下一句话：三一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三 角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小 于第三边于第三边.2.2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还 必须考虑到两边之差小于第三边必须考虑到两边之差小于第三边.知知3 3导导(口答口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？下列长度的三条线段能否组成三角形？为为 什么？什么？(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.1知知3 3练练(1)不能组成三角形不能组成三角形 因为因为348，不满足三角形的三边关系
14、，不满足三角形的三边关系(2)不能组成三角形不能组成三角形 因为因为5611，不满足三角形的三边关系，不满足三角形的三边关系(3)能组成三角形能组成三角形 因为因为5610，满足三角形的三边关系，满足三角形的三边关系 知知3 3练练解：解：(青海青海)已知三角形两边的长分别是已知三角形两边的长分别是4和和10，则此，则此三角形第三边的长可能是三角形第三边的长可能是()A5B6C12D16(南通南通)下列长度的三条线段能组成三角形的是下列长度的三条线段能组成三角形的是()A5，6，10 B5，6，11C3，4，8 D4a，4a，8a(a0)23知知3 3练练CA11.1 11.1 与三角形有关的
15、线段与三角形有关的线段第第2 2课时课时 三角形的高、中三角形的高、中 线与角平分线线与角平分线第十一章第十一章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u三角形的高三角形的高u三角形的中线三角形的中线 u三角形的角平分线三角形的角平分线2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升回顾旧知回顾旧知垂线的定义：垂线的定义：线段中点的定义：线段中点的定义：当两条直线相交所当两条直线相交所成的四个角巾，有一个成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两角是直角时，就说这两条直线互相垂直，条直线互相垂直，其其中一条直线叫做另一条中一条直线叫做另一条直线的垂线直线的垂线.把一条线段分成两条把
16、一条线段分成两条相等的线段的点相等的线段的点.角平分线的定义：角平分线的定义：一条射线把一个角分一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线线叫做这个角的平分线.知知1 1导导1知识点知识点三角形的高三角形的高 你能过三角形的一个顶点，你能画出它的你能过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗对边的垂线吗?BAC你还记得你还记得“过一点画已知直线的垂线过一点画已知直线的垂线”吗吗?归归 纳纳 从三角形的一个顶点向它从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称
17、三角形的高这边上的高，简称三角形的高.如图所示如图所示.ABCD知知1 1导导如图如图,线段线段AD是是BC边上的高边上的高.ABC注意：标明垂直的记号和垂足注意：标明垂直的记号和垂足的字母的字母.D知知1 1讲讲锐角三角形的三条高锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.O锐角三角形的三条高是锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点
18、锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部锐角三角形的三条高都在三角形的内部.知知1 1讲讲知知1 1讲讲直角三角形的三条高直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形在纸上画出一个直角三角形.将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.(1)画出直角三角形的三条高画出直角三角形的三条高.直角边直角边BC边上的高是边上的高是_;AB直角边直角边AB边上的高是边上的高是_;CB(2)它们有怎样的位置关系？它们有怎样的位置关系？斜边斜边AC边上的高是边上的高是_.BD直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点.ABCDEF钝角三角形的三条高钝角三角形的三
19、条高(1)钝角三角形的三条高交于钝角三角形的三条高交于 一点吗？一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.钝角三角形的三条高不相交于钝角三角形的三条高不相交于一点一点.钝角三角形的三条高所在直线钝角三角形的三条高所在直线交于一点交于一点.知知1 1讲讲归归 纳纳 叫做三角形这边上的高叫做三角形这边上的高.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段顶点和垂足之间的线段知知1 1讲讲三角形的三条高的特性：三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高所在的直线是
20、否相交高之间是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量高在三角形内部的数量钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形311相交相交相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三条高所在直线的交点的位置三角形内部三角形内部直角顶点直角顶点三角形外部三角形外部知知1 1讲讲如图，如图，(1)(2)和和(3)中的三个中的三个B有什么不同？有什么不同？这三条这三条ABC的边的边BC上的高上的高AD在各自三角在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？形的什么位置？你能说出其中的规律吗？知知1 1练练 1(1)中的中的B是锐角，高是锐角，高AD在在ABC内部
21、内部(2)中的中的B是直角，高是直角，高AD与边与边AB重合重合(3)中的中的B是钝角，高是钝角，高AD的垂足在的垂足在CB的延长线上，的延长线上，即高即高AD在在ABC的外部的外部 当当C是锐角时，如果是锐角时，如果B是锐角，高是锐角，高AD在在ABC 的内部；如果的内部；如果B是直角，高是直角，高AD与边与边AB重合；如重合；如 果果B是钝角，高是钝角，高AD的垂足在的垂足在CB的延长线上，即的延长线上，即 高高AD在在ABC的外部的外部解：解：知知1 1练练规律：规律：知知1 1练练 在直角三角形中，有两条高是它的在直角三角形中，有两条高是它的_，另一条高在这个三角形的另一条高在这个三角
22、形的_锐角三角形锐角三角形的三条高的交点在的三条高的交点在_，直角三角形，直角三角形的三条高的交点在的三条高的交点在_，钝角三角形的三条高所在直线的交点在钝角三角形的三条高所在直线的交点在_2直角边直角边内部内部三角形的内部三角形的内部三角形的外部三角形的外部两直角边的交点处两直角边的交点处知知2 2导导2知识点知识点三角形的中线三角形的中线如图如图(1)，连接，连接ABC的顶点的顶点A和和 它所对的边它所对的边BC的中点的中点D，所得线段所得线段AD叫做叫做 ABC的边的边BC上的中线上的中线.用同样方法，用同样方法，你能画出你能画出ABC 的另两条边上的中的另两条边上的中 线吗？线吗？归归
23、 纳纳知知2 2导导在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线叫做这个三角形这边上的中线.如图如图(2),三角形的三条中线相交于一点三角形的三条中线相交于一点.三角形三三角形三条中线的交点叫做三角形的重心条中线的交点叫做三角形的重心.取一块质地均匀的取一块质地均匀的 三角形木板，顶住三条三角形木板，顶住三条 中线的中线的交点，木板会保交点，木板会保 持平衡，这个平衡点就持平衡，这个平衡点就 是这块三是这块三角形木板的角形木板的 重心重心.知知2 2讲讲在在ABC中，中，ABAC，AC边上的中线边上的中线BD把把ABC的周长
24、分为的周长分为12 cm和和15 cm两部分，求两部分，求ABC的各边长的各边长知知2 2讲讲例例1因为中线因为中线BD将将ABC的周长分成两部分：的周长分成两部分：(BCCD)和和(ADAB)，无法确定谁为，无法确定谁为12 cm，谁为，谁为15 cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解此可建立方程的模型，利用设未知数来求解导引：导引：设设ABx cm，则，则ADCD x cm.(1)如图，若如图，若ABAD12 cm，则，则x x12.解得解得x8，即即ABAC8 cm，则，则CD4 cm.故故BC15411
25、(cm)此时此时ABACBC，三角形存在，三角形存在，所以三边长分别为所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.(2)如图，若如图，若ABAD15 cm，则，则x x15.解得解得x10，即，即ABAC10 cm，则，则CD5 cm.故故BC1257(cm)显然此时三角形存在，所以三边长分别为显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.综上所述，综上所述，ABC的三边长分别为的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或或10 cm，10 cm，7 cm.解：解：1212知知2 2讲讲12知知2 2练练填空：填空：如图如图(1)，AD，BE，CF是是ABC的三条
26、的三条中线，则中线，则AB=2 _,BD=_,AE=_.112AD或或BFCDAC知知2 2练练 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A形状相同的三角形形状相同的三角形 B面积相等的三角形面积相等的三角形C直角三角形直角三角形 D周长相等的三角形周长相等的三角形2B知知2 2练练如图，已知如图，已知BD是是ABC的中线，的中线，AB5，BC3，ABD和和BCD的周长的差是的周长的差是()A2B3C6D不能确定不能确定3 A知知3 3导导3知识点知识点三角形的角平分线三角形的角平分线 如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，如果现在你手上有一张画
27、着一个三角形的薄纸，你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？叫做三角形的角平分线叫做三角形的角平分线.ABCD因为因为AD是是ABC的角平分线，的角平分线，任意画一个三角形任意画一个三角形,然后利用然后利用量角器画出这个三角形三个角量角器画出这个三角形三个角的角平分线的角平分线,你发现了什么你发现了什么?在三角形中，在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段这个角的顶点与交点之间的线段,12三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的交点在三角形的内部内部.
28、所以所以BAD=CAD=BAC.12知知3 3讲讲知知3 3讲讲ACBFEDO因为因为BE是是ABC的角平分线，的角平分线，所以所以_=_=_.所以所以ACB=2_=2_.ABE CBEABCACF因为因为CF是是ABC的角平分线，的角平分线，BCF12总总 结结知知3 3讲讲1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角。它们的联系是都是平分角。2.三角形的角平分线判别的三角形的角平分线判别的“两种方法两种方法”(1)看该线段是否分三角形的内
29、角为相等的两部分看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.(2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶 点，另一个端点要落在对边上点，另一个端点要落在对边上.如下页图（如下页图（2)，AD,BE,CF是是 ABC的的三条角平分线，则三条角平分线，则1=_,3=_,ACB=2_.1知知3 3练练122ABC4今天我们学了什么呢？今天我们学了什么呢？1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们 的画法的画法.2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应 用用.11.
30、1 11.1 与三角形有关的线段与三角形有关的线段第第3 3课时课时 三角形的稳定性三角形的稳定性第十一章第十一章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u三角形的稳定性三角形的稳定性 u三角形稳定性的实际应用三角形稳定性的实际应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(图图(1)，其，其 中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上装好之前，木工师傅常常先在窗框上 斜钉一根木条斜钉一根木条(图图(2).为什么要这样做呢？为什
31、么要这样做呢？知知1 1讲讲1知识点知识点三角形的稳定性三角形的稳定性问题问题 盖房子时盖房子时,在窗框安装好之前，木工师傅常常在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？我先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？我们来探究下面的问题们来探究下面的问题.(1)如图，将三根木条用钉子如图，将三根木条用钉子 钉成一个三角形木架，然钉成一个三角形木架，然 后扭动它，它的形状会改后扭动它，它的形状会改 变吗？变吗？知知1 1讲讲(2)如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？然后扭动它，它的形状会改变
32、吗？知知1 1讲讲(3)如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的 一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？这时木架的形状还会改变吗？归归 纳纳知知1 1导导 可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变边形木架的形状会改变.这这 就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性边形没有稳定性.知知1 1讲讲探究题探究题 要使四边形木架要使四边形木架(用四根木条钉成用四根木条钉成)不变形，至不变
33、形，至少要再钉上几根木条？五边形木架呢？六边形呢？少要再钉上几根木条？五边形木架呢？六边形呢？n边形边形呢？呢？若要多边形稳定，需将它变换成若干个三角形先画出若要多边形稳定，需将它变换成若干个三角形先画出图形，结合图形分割三角形得出：图形，结合图形分割三角形得出：四边形：四边形：1根，五边形：根，五边形：2根，六边形：根，六边形：3根，根，由类比推理可知，由类比推理可知，n边形：边形：(n3)根，如图所示根，如图所示四边形木架至少要再钉上四边形木架至少要再钉上1根，五边形木架：根，五边形木架：2根，六边根，六边形木架：形木架：3根，根，n边形木架：边形木架：(n3)根根例例1导引：导引：解：解
34、：总总 结结多边形增强稳定性的方法多边形增强稳定性的方法画辅助线法：将多边形通过添加辅助线划分为若画辅助线法：将多边形通过添加辅助线划分为若干个三角形干个三角形.下列图形中哪些具有稳定性？下列图形中哪些具有稳定性？知知1 1练练 1解：解：图形图形(1)(4)(6)具有稳定性具有稳定性知知1 1练练 下列图形中具有稳定性的是下列图形中具有稳定性的是()A BC D2 B知知2 2导导2知识点知识点三角形稳定性的实际应用三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性有广泛的应用，如图表示其中一些例子三角形的稳定性有广泛的应用，如图表示其中一些例子.你你能再举一能再举一 些例子吗？些例子吗？除了教材中给的例
35、子，我们再来看几个应用三除了教材中给的例子，我们再来看几个应用三角形稳定性的例子角形稳定性的例子.知知2 2导导知知2 2导导 四边形的不稳定性也有广泛的应用，如图表四边形的不稳定性也有广泛的应用，如图表示其中一些例子示其中一些例子.知知2 2讲讲人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，还人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了_知知2 2讲讲例例2两腿分开站立，再伸出一只手抓住栏杆，这时，两两腿分开站立，再伸出一只手抓住栏杆，这时，两脚以及抓住栏杆的手可看作三个点，这三个点的连脚以及抓住栏杆的手可看作三个点
36、，这三个点的连线恰好组成一个三角形，而三角形具有稳定性，这线恰好组成一个三角形，而三角形具有稳定性，这样人就能站稳了样人就能站稳了.导引：导引：三角形的稳定性三角形的稳定性知知2 2练练如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？的哪个性质？答：答：_(填填“稳定性稳定性”或或“不稳定性不稳定性”)1稳定性稳定性如图，工人师傅砌门时，常用木条如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门固定长方形门框框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是，使其不变形，这种做
37、法的根据是()A两点之间，线段最短两点之间，线段最短B长方形的对称性长方形的对称性C长方形的四个角都是直角长方形的四个角都是直角D三角形的稳定性三角形的稳定性知知2 2练练 2D知知2 2练练下列设备下列设备,没有利用三角形的稳定性的是没有利用三角形的稳定性的是()A.活动的四边形衣架活动的四边形衣架B.起重机起重机C.屋顶三角形钢架屋顶三角形钢架D.索道支架索道支架3A1.通过对本节课的学习，你有什么收获？还有什么通过对本节课的学习，你有什么收获？还有什么 困惑吗？困惑吗？2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？你对自己本节课的表现满意吗？为什么？3.钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的
38、稳钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳 定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性.你还能举出一些例子吗？你还能举出一些例子吗？11.2 11.2 与三角形有关的角与三角形有关的角第第1 1课时课时 三角形的内角三角形的内角三三 角形的内角和角形的内角和第十一章第十一章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u三角形内角和定理三角形内角和定理 u三角形内角和的应用三角形内角和的应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升知知1 1导导1知识点知识点三角形内角和定理三角形内角和定理问题问题1在小学我们已经知道任意一个三角形三个内在小学
39、我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于角的和等于180，你还记得是怎么发现这个结论的，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究 方法：度量、剪拼图、折叠方法：度量、剪拼图、折叠 BBCCAAABBCAABBCABBCCABC 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个一起，就得到一个 平角平角.从这个操作过程中，你能发现从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？证明的思路吗？知知1 1导导探究探究追问追问1在下图中，在下图中，B 和和C 分别拼在分别拼在A 的左右，的
40、左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直的直线线l，直线，直线l 与边与边BC 有什么位置关系？有什么位置关系？直线直线l 与边与边BC 平行平行知知1 1讲讲BBCCAl追问追问2在操作过程中在操作过程中,我们发现了与边我们发现了与边BC 平行的平行的直线直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于三角形内角和等于180”的思路吗？的思路吗？通过添加与边通过添加与边BC平行的辅助线平行的辅助线l，利用，利用平行线的性质和平角平行线的性质和平角的定义即可证明结论的定义即可证明结论B
41、BCCAl追问追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：已知：ABC.求证求证:A+B+C=180.知知1 1讲讲ABC24153 l 如图如图,过点过点A作直线作直线l,使使l/BC.l/BC,2=4(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等).同理同理 3=5.1,4,5组成平角，组成平角，1+4+5=180(平角定义平角定义).1+2+3=180(等量代换等量代换).以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180,得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角得到如下定理：三角形内角和定理三角
42、形三个内角的和等于的和等于180.证明：证明：知知1 1讲讲归归 纳纳 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁转化为一个平角或同旁内角互补内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法这种转化思想是数学中的常用方法.知知1 1讲讲知知1 1练练 1如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中，其中A=150，B=D=40.求求C的度数的度数.解
43、：解：C1802(4040150)130.在在ABC中，中，B40，C80，则，则A的的度数为度数为()A30B40 C50 D60 2知知1 1练练D知知1 1练练 在在ABC中，已知中，已知B是是A的的2倍，倍，C比比A大大20，则，则A等于等于()A40 B60 C80 D903A三角形内角和定理的三角形内角和定理的“三个应用三个应用”1.已知两个角的度数求第三个角的度数已知两个角的度数求第三个角的度数.2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和已知一个角的度数求另外两个角度数的和.3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.知知2 2讲讲2知识点知识
44、点三角形内角和的应用三角形内角和的应用如图如图，在，在ABC 中，中，BAC=40，B=75,AD是是 ABC的角平分线的角平分线.求求 ADB 的度的度数数.由由BAC=40，AD是是 ABC的角平分线，的角平分线，得得BAD=BAC=20.在在 ABD中，中，ADB=180BBAD =180 75 20=85.例例1 解：解：12知知2 2讲讲CBDA总总 结结三角形的三内角和是三角形的三内角和是180，所以三内角可能出现的情况：，所以三内角可能出现的情况：一个钝角一个钝角 两个锐角两个锐角钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形一个直角一个直角 两个锐角两个锐角直角三角形直角三角形三个都
45、为锐角三个都为锐角钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形知知2 2讲讲知知2 2讲讲图是图是A，B，C三岛的平面图，三岛的平面图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，B岛在岛在A岛的北岛的北 偏东偏东80方向，方向，C岛在岛在B岛的北偏西岛的北偏西40方向方向.从从B岛看岛看A，C两岛的视角两岛的视角 ABC是多少度？从是多少度？从C岛岛 看看A,B两岛的视角两岛的视角 ACB呢？呢？例例2 北北北北CABDE知知2 2讲讲A，B，C三岛的连线构成三岛的连线构成ABC，所求的，所求的ACB是是ABC的一个内角的一个内角.如果能求出如果能求出 CAB,ABC,就
46、能求出就能求出 ACB.分析：分析：解：解：CAB=BAD CAD=80 50=30.由由 AD/BE，得，得 BAD ABE=180.方法一：方法一：所以所以 ABE=180 BAD=180 80=100,ABC=ABE EBC=100 40=60.在在ABC中，中，ACB=180 ABC CAB =180 60 30=90.从从B岛看岛看A,C两岛的视角两岛的视角 ABC是是 60,从从C岛看岛看A,B两岛的视两岛的视角角 ACB是是90.答：答：知知2 2讲讲你还能想到你还能想到其他解法吗？其他解法吗？BDCE北北A 你能想出一个更你能想出一个更简捷的方法来求简捷的方法来求C的度数吗？的
47、度数吗？125040过点过点C画画CFAD 1DAC50,F CFAD,又又AD BE，CF BE，2CBE 40 ACB1 2 50 40 90 知知2 2讲讲解：解：北北方法二：方法二：知知2 2练练如图，从如图，从A处观测处观测C处的仰角处的仰角CAD=30,从从B处观测处观测C处的仰角处的仰角 CBD=45.从从C处观测处观测A,B两处的视角两处的视角ACB是多少度？是多少度？1知知2 2练练在在ACD中，因为中，因为CAD30，D90，所以所以ACD180903060.在在BCD中，因为中，因为CBD45，D90，所以所以BCD180904545.所以所以ACBACDBCD60451
48、5.解：解：答：从答：从C处观测处观测A，B两处的视角两处的视角ACB是是15.(中考中考邵阳邵阳)如图，在如图，在ABC中，中，B46，C54，AD平分平分BAC，交，交BC于点于点D，DEAB，交，交AC于点于点E，则，则ADE的大小是的大小是()A45 B54 C40 D50知知2 2练练 2C知知2 2练练(中考中考威海威海)直线直线l1l2，一块含，一块含45角的直角三角角的直角三角尺如图放置，尺如图放置，185，则，则2_3 40知知2 2练练4如图，一艘渔船在如图，一艘渔船在B处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东60的方的方向，另一艘货轮在向，另一艘货轮在C处测得灯塔处测得灯塔
49、A在北偏东在北偏东40的方的方向，那么在灯塔向，那么在灯塔A处观看处观看B和和C处时的视角处时的视角BAC是是多少度？多少度？知知2 2练练因为在因为在B处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东60的方向，的方向，所以所以ABD60.又因为又因为DBE90，所以所以ABE90ABD906030.因为在因为在C处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东40的方向，的方向，所以所以ACE904050.所以所以BACACEABE503020.即在灯塔即在灯塔A处观看处观看B和和C处时的视角处时的视角BAC是是20.解：解：通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度求角度证法证法
50、应用应用转化为一个平角转化为一个平角或同旁内角互补或同旁内角互补辅助线辅助线三角形的三角形的内角和等内角和等于于180 11.2 11.2 与三角形有关的角与三角形有关的角第第2 2课时课时 三角形的内角三角形的内角直直 角三角形两锐角互余角三角形两锐角互余第十一章第十一章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系 u直角三角形的判定直角三角形的判定2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 在在ABC 中，中，A=60，B=30，C 等于多少度？你用了什么知识解决的？等于多少度？你用了什么知识解决的？回顾旧知回顾旧知ABC知知1
