1、高中数学高二上册年年 级：高二级：高二 学学 科：数学（人教科：数学（人教A A版）版）主讲人：主讲人：学学 校：校：空间向量基本定理（2）高中数学高中数学高二上册问题1 你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？高中数学高中数学高二上册空间向量基本定理 我们把a，b，c叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectors).如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.高中数学高中数学高二上册 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i
2、，j，k表示 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解高中数学高中数学高二上册例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 ，用向量 表示 ,OA OB OCuur uur uuu r.OPuur12MNON 34APAN 问：是否一定能做到？答：不共面，,OA OB OCuur uur uuu r空间向量基本定理保证了可行性可以构成空间的一个基底OABCMNP高中数学高中数学高二上册答：可以利用向量线性运算的 运算法则，如三角形法则、平行四边形法则等问：如何进行表示？OABCMNP例1 如图，M 是四
3、面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 ，用向量 表示 ,OA OB OCuur uur uuu r.OPuur12MNON 34APAN 高中数学高中数学高二上册解：OPOAAP uuruuruur34OAAN uuruuu r3()4OAONOA uuruuu ruur1344OAON uuruuu r13 2()44 3OAOM uuruuur11 11()42 22OAOBOC uuruuruuu rOABCMNP111.444OAOBOC uuruuruuu rQ高中数学高中数学高二上册问题2 通过这道例题的解题过程，同学们能否总结
4、出用基向量表示空间向量的方法呢？高中数学高中数学高二上册 结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，将未知化归为已知.用基向量表示空间向量的方法高中数学高中数学高二上册答：综合几何方法：问：证明异面直线垂直，你能想到 哪些方法？向量方法证明异面直线所成角为直角；线面垂直的定义和性质等例2 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA15，DAB60，BAA160 ，DAA160 ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点 求证 MNAC1ABCDA1B1C1D1MN454高中数学高中数学高二上册答：可以转化为向量问题
5、问：如何使用向量方法解决立体几何 问题？例2 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA15，DAB60，BAA160 ，DAA160 ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点 求证 MNAC1ABCDA1B1C1D1MN454高中数学高中数学高二上册答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何 问题？例2 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA15，DAB60，BAA160 ，DAA160 ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点 求证 MNAC1 求证 1.MNAC uuu ruuu r只需证 10.MN AC uuu r
6、uuu rABCDA1B1C1D1MN454高中数学高中数学高二上册例2 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA15，DAB60，BAA160 ，DAA160 ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点 求证 MNAC1问：如何计算？1MN AC uuu r uuur11|cos,？MNACMNAC uuu ruuuruuu r uuur向已知条件转化ABCDA1B1C1D1MN454高中数学高中数学高二上册证明：设 1 .,ABADAA uuruuu ruuu rabc这三个向量不共面，a，b，c是空间的一个基底则 11MNMCC N uuu ruuuu ruuu
7、r1122,ab11ACABBCAA uuu ruuruuu ruuu r,abc所以 1MN AC uuu r uuu r2211112222 aa cbb c11()()22ababc221111|cos60|cos602222 aa cbb c0.所以 1MNAC uuu ruuu r所以 1.MNAC 选取基底(不共面且已知长度夹角)4ABCDA1B1C1D1MN45高中数学高中数学高二上册用基向量表示相关向量还原为几何问题的解把相关向量的运算转化为基向量的运算向量问题的解选取基底(不共面且已知长度夹角)证明：设 1 .,ABADAA uuruuu ruuu rabc这三个向量不共面，
8、a，b，c是空间的一个基底则 11MNMCC N uuu ruuuu ruuur1122,ab11ACABBCAA uuu ruuruuu ruuu r,abc所以 1MN AC uuu r uuu r2211112222 aa cbb c11()()22ababc221111|cos60|cos602222 aa cbb c0.所以 1MNAC uuu ruuu r所以 1.MNAC 选取基底(不共面且已知长度夹角)高中数学高中数学高二上册立体几何问题用向量方法解决立体几何问题的路径适当选取基底向量运算转化用基向量表示相关向量将相关向量的问题转化为基向量的问题向量问题向量问题的解立体几何问题
9、的解转化向量方法理论基础：空间向量基本定理高中数学高中数学高二上册答：可以取单位正交基底例3 如图，正方体 ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点 （1）求证：EFAC;问：单位正方体这个条件对解题 有什么作用？单位：基向量长度为1正交：基向量两两垂直，ABCDABCDEFG任意两不同基向量数量积为0高中数学高中数学高二上册问：如何用向量方法证明EF/AC？答：只需证 ，/EFACuur uuu r只需证存在实数，使得 EFAC uuruuu r例3 如图，正方体 ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点 （1）求证：EFAC;ABCDAB
10、CDEFG高中数学高中数学高二上册证明：设 .,DADCDD ijkuuruuu ruuur则 i，j，k 构成空间的一个单位正交基底所以 EFD FD E uuruuuruuur1122ij ,CADADC uuruuruuu r.ij 所以 1.2EFCA uuruur所以 /.EFCAuuruur所以 /.EFCAABCDABCDEFGijk高中数学高中数学高二上册问：如何用向量表示 CE 与 AG 所 成角的余弦值？答：求 与 所成角的余弦值CEuurAGuuu r例3 如图，正方体 ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点 （1）求证：EFAC;（2）求 C
11、E 与 AG 所成角 的余弦值ABCDABCDEFGijk高中数学高中数学高二上册解：因为 CECCC E uuruuu ruuu r12,kjAGDGDA uuu ruuu ruur12,ki所以 cos,|CE AGCEAGCEAG uur uuu ruur uuu ruur uuu rABCDABCDEFGijk11()()225522 kjki高中数学高中数学高二上册cos,|CE AGCEAGCEAG uur uuu ruur uuu ruur uuu r2.5 所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为2.5211124254 kk ij kj i1 0 0 0 选取单位正交基底有利于
12、运算解：因为 所以 11()()225522 kjkiCECCC E uuruuu ruuu r12,kjAGDGDA uuu ruuu ruur12,ki高中数学高中数学高二上册思考：是否可以用 与 所成角的余弦值来求解第2小问？CEuurGAuur例3 如图，正方体 ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点 （1）求证：EFAC;（2）求 CE 与 AG 所成角 的余弦值ABCDABCDEFG高中数学高中数学高二上册 应用一个定理：空间向量基本定理 学习一种方法：向量方法 体会一种思想：转化与化归思想课堂小结高中数学高中数学高二上册课后作业1.如图，在棱长为1的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，BD的中点，点 G 在 CD 上，且 （1）求证：EFB1C;（2）求 EF 与 C1G 所成角的余弦值2.(思考题)用综合几何方法证明或求解例题，体会综合几何方法与向量方法的特点1.4CGCD
