1、专题突破二焦点弦的性质第二章圆锥曲线与方程抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化.一、焦点弦性质的推导例1抛物线y22px(p0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明当ABx轴时，当AB的斜率存在时，设为k(k0)，代入抛物线方程y22px，证明当90时，过A作AGx轴，交x轴于G，由抛物线定义知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由图知|GG1|A
2、A1|，当90时，可知|AF|BF|p，证明|AB|AF|BF|x1x2p当且仅当90时取等号.故通径长2p为最短的焦点弦长.证明由(2)可得，原点O到直线AB的距离证明如图：M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.二、焦点弦性质的应用例2(1)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法二运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，(2)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1
3、与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为A.16 B.14 C.12 D.10解析方法一抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知，故|AB|DE|的最小值为16.方法二运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，同理得|DE|44k2，点评上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题.跟踪训练1(1)过抛物线y24x
4、的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|3，则AOB的面积为解析方法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12，(2)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，则p的值为解析设直线l的倾斜角为，123456786.已知抛物线y24x，圆F：(x1)2y21，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|CD|的值的说法中，正确的是A.等于1B.等于4C.最小值是
5、1D.最大值是412345678解析设直线l：xty1，代入抛物线方程，得y24ty40.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x11，|DF|x21，故|AB|x1，|CD|x2，而y1y24，故|AB|CD|1.123456787.设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|3|BF|，则l的方程为A.yx1或yx11234567812345678123456788.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；解设抛物线的方程是x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1y2p8，又AB的中点到x轴的距离为3，y1y26，p2，抛物线的标准方程是x24y.12345678(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.12345678解由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，12345678又Q，F，R三点共线，kQFkFR，又F(0,1)，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，12345678
