1、勾股定理勾股定理 2学习目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。3经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的平方活 动 1abcABC如果在如果在Rt ABC中，中，C=90,那么那么222.abc 结论变形结论变形c2=a2 +b2abcABC 有一种特殊的直角三角形，已知一边可有一种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长以求另外两边长ACBb
2、ac45ACBbac30 a:b:c=1:1:2 a:b:c=1:3:2a=5 cm时求b=？c=？c=6 cm时求b=？a=？勾股小常识：勾股数勾股小常识：勾股数 1、基本勾股数如：基本勾股数如：大家一定要熟记大家一定要熟记 2、如果、如果a,b,c是一组勾股数，则是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾为正整数）也是一组勾股数，股数，如：如：6、8、10 ；9、12、1510、24、26；15、36、391 12、13 2、3 4 5、5 12 13、7 24 25、（1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB练练 习习30224
3、5回答：回答：在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？（2）在长方形）在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1m，长，长BC为为2m，求，求AC长长1 m2 mACBD2222125A CA BB C 在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知：活 动 2问题问题（1）在长方形）在长方形ABCD中中AB、BC、AC大小关系？大小关系？ACBDABBCAC222A CA BB C 活 动 2（2）一个门框尺寸如下图所示）一个门框尺寸如下图所示若有一块长若有一块长3米，宽米，宽0
4、.8米的薄木板，问怎样从门框通过？米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽1.5米呢？米呢？若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽2.2米呢？为什么？米呢？为什么？ABC1 m2 m木板的宽木板的宽2.2米大于米大于1米，米，横着不能从门框通过；横着不能从门框通过；木板的宽木板的宽2.2米大于米大于2米，米，竖着也不能从门框通过竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，对角线只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出的长最大，因此需要求出AC的长，怎样的长，怎样求呢？求呢？（3）有一个边长为）有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去的正方形洞口，想用
5、一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD22225050500071()A CA BB Cdm 解：解：在在Rt ABC中，中，B=90,AC=BC=50,由勾股定理可知：由勾股定理可知：活 动 3（1）如图，池塘边有两点）如图，池塘边有两点A、B，点，点C是与是与BA方向成直角的方向成直角的AC方方向上的一点，测得向上的一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出，你能求出A、B两点间两点间的距离吗？的距离吗？（结果保留整数）（结果保留整数）活 动 3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角）
6、变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB 例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？ABCDE解：在RtABC中，ACB=90 AC2+BC2AB2 2.42+BC22.52 BC0.7m由题意得：DEAB2.5mDCACAD2.40.42m在RtDCE中，BE1.50.70.8m0.4m答；梯子底端答；梯子底端B不是外移不是外移0.4m DCE=90 DC2+CE2DE2 22+BC22.52 CE1.5
7、m练习练习:如图，一个如图，一个3米长的梯子米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙，斜着靠在竖直的墙AO上，上，这时这时AO的距离为的距离为2.5米米求梯子的底端求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？如果梯子的顶端如果梯子的顶端A沿墙角下滑沿墙角下滑0.5米至米至C，请同学们，请同学们:猜一猜，底端也将滑动猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）（结果保留两位小数）例例2：如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km,
8、CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上建一个土特产品上建一个土特产品收购站收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？CAEBDx25-x解：解：设设AE=x km，根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2又又 DE=CE AD2+AE2=BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x)2答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。X=10则则 BE=（25-x）km1510例例3:在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道有趣的问
9、题这个问题意思是：有一中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为个水池，水面是一个边长为10尺的正方形尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？DABC解解:设水池的深度设水池的深度AC为为X米米,则芦苇高则芦苇高AD为为(X+1)米米.根据题意得根据题意得:BC2+AC2=AB252+X2=(X+1)225+X2=X2+2X
10、+1 X=12 X+1=12+1=13(米)答答:水池的深度为水池的深度为12米米,芦苇高为芦苇高为13米米.例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3 （B)5 （C）2 （D）1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B活 动 3（3）如图，分别以）如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三个三边为边向外作三个正方形，其面积分别用正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为之间有的关系式为 123SSS 活 动 3（3）变式：你
11、还能求出）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？之间的关系式吗？S1S2S3活 动 4（1）这节课你有什么收获？）这节课你有什么收获？（2）作业）作业教材第教材第78 页习题第页习题第2、3、4、5题题教材第教材第79页习题第页习题第12题题补充练习及书后部分习题补充练习及书后部分习题1在在RtABC中中,C=90,(1)已知已知:a=5,b=12,求求c;(2)已知已知:b=6,c=10,求求a;(3)已知已知:a=7,c=25,求求b;(4)已知已知:a=7,c=8,求求b 2 一直角三角形的一直角边长为一直角三角形的一直角边长为7,另两条边长为两个连续另两条边长为两个连续整数，
12、求这个直角三角形的周长整数，求这个直角三角形的周长4.一架一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子，若梯子顶端下滑了顶端下滑了1,则梯子底端将外移（则梯子底端将外移（）5.如图，要在高如图，要在高3m,斜坡斜坡5m的楼梯表面铺的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需（地毯，地毯的长度至少需（）米）米6.把直角三角形两条直角边把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的同时扩大到原来的3倍，则其倍，则其斜边（斜边（）A.不变不变 B.扩大到原来的扩大到原来的3倍倍C.扩大到原来的扩大到原来的9倍倍 D.减小到原来的减小到
13、原来的1/3ABC17B7如图如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心求两孔中心A、B之间的距离之间的距离ABC409016040应用知识回归生活应用知识回归生活 8小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的电视机小明量了电视机的厘米）的电视机小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有屏幕，发现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘米宽他觉得一定是售货员搞错厘米宽他觉得一定是售货员搞错了了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？应用知识回归生活应用知识回归生活9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面在
14、平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为离为2米，问这里水深是米，问这里水深是_m。10小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开米，当他把绳子的下端拉开5米后，米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿
15、比城门高去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解解:设竹竿长设竹竿长X米米,则城门高为则城门高为(X1)米米.根据题意得根据题意得:32+(X1)2=X29+X2 2X+1=X210 2X=02X=10X=5答答:竹竿长竹竿长5米米12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与尺，求竹
16、竿高与门高门高.解解:设竹竿高设竹竿高X尺尺,则门高为则门高为(X1)尺尺.根据题意得根据题意得:42+(X1)2=X216+X2 2X+1=X217 2X=02X=17X=8.5答答:竹竿高竹竿高8.5尺尺,门高为门高为 7.5尺尺.13在一棵树的在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树离树20米处的池塘的米处的池塘的A处。另一只爬到树顶处。另一只爬到树顶D后直接跃到后直接跃到A处，处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高树高_米。米。15ABCDEF14.如右图将矩形如
17、右图将矩形ABCD沿直线沿直线AE折叠折叠,顶点顶点D恰好落在恰好落在BC边上边上F处处,已知已知CE=3,AB=8,则则BF=_。15.如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将现将直角边直角边AC沿沿CAB的的角平分线角平分线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，且上，且与与AE重合，你能求出重合，你能求出CD的长吗？的长吗？AECDB16.一只蚂蚁从长为一只蚂蚁从长为4cm、宽为、宽为3 cm，高是，高是5 cm的的长方体纸箱的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到点沿纸箱爬到B点，那么点，那么它所行的最短路线的长是它所行的
18、最短路线的长是_cm。AB17.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为高分别为20dm、3dm、2dm，A和和B是这个台阶是这个台阶两个相对的端点，两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最点的最短路程是短路程是_?3?2?20?B?A18.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高，高是是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃处，它想吃到上底与下底面中间与到上底与下底面中间与A点相对
19、的点相对的B点处的蜜糖，点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？19在长长30cm30cm、宽、宽50?cm50?cm、高、高40?cm40?cm的木箱的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.305040图305040CDA.B.ADCB3050408000408022CCDA.B.ACBD图3040503040509000903022CCDA.B.图50ADCB40303040507400705022 6做一个长、宽、高分别为做一个长、宽、高分别为50厘米、厘米、40厘米、厘米、30厘米的木箱，厘米的木箱，一根长为一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明明20.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5，高为，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸，问吸管要做多长？管要做多长？ABC12cmR=2.5cm12cm
