1、8.4 8.4 三元一次方程组解法举例三元一次方程组解法举例小明手头有小明手头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共计元的纸币，共计2222元，其中元，其中1 1元的元的纸币的数量是纸币的数量是2 2 元纸币数量的元纸币数量的4 4倍。求倍。求1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币各多少张。元纸币各多少张。问题中含有几个未知数？有几个相问题中含有几个未知数？有几个相等关系？等关系？情境引入情境引入小明手头有小明手头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共计元的纸币，共计2222元，其中元，其中1 1元的元的纸币
2、的数量是纸币的数量是2 2 元纸币数量的元纸币数量的4 4倍。求倍。求1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币各多少张。元纸币各多少张。分析：分析：（1 1）这个问题中包含有）这个问题中包含有 个相等关系：个相等关系：三三1 1元纸币张数元纸币张数2 2元纸币张数元纸币张数5 5元纸币张数元纸币张数1212张张1 1元纸币的张数元纸币的张数2 2元纸币的张数的元纸币的张数的4 4倍倍1 1元的金额元的金额2 2元的金额元的金额5 5元的金额元的金额2222元元（2 2）这个问题中包含有）这个问题中包含有 个未知数个未知数:1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币的张数元纸币的张数 交流探究交流
3、探究小明手头有小明手头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共计元的纸币，共计2222元，其中元，其中1 1元的元的纸币的数量是纸币的数量是2 2 元纸币数量的元纸币数量的4 4倍。求倍。求1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币各多少张。元纸币各多少张。设设1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币分别为元的纸币分别为x x张、张、y y张、张、z z张张根据题意，可以得到下面三个方程：根据题意，可以得到下面三个方程：x+y+z=12x+y+z=12x=4yx=4yx+2y+5z=22x+2y+5z=22你能根据等量关系列出你能根据等量关系列出方程吗方
4、程吗 尝试解答尝试解答x+y+z=12x+y+z=12x=4yx=4yx+2y+5z=22x+2y+5z=22观察方程、你能得出什么？观察方程、你能得出什么？都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是是1 1，像这样的方程叫做，像这样的方程叫做三元一次方程三元一次方程&概念学习概念学习这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成在一起，写成x+y+z=12x+y+z=12x=4yx=4yx+2y+5z=22x+2y+5z=22这个方程组含有这个方程组含有三
5、个未知数三个未知数，每个方程中，每个方程中含未知数的项的次数都是含未知数的项的次数都是1 1，并且，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组x+y+z=12x+y+z=12x=4yx=4yx+2y+5z=22x+2y+5z=22如何解三元一次方程组如何解三元一次方程组呢？呢？是不是类似于解二元一次方是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元再把程组先把三元化为二元再把二元化为一元呢？二元化为一元呢？解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即三元一次方程
6、三元一次方程组组消元消元二元一次方二元一次方程组程组消元消元一元一次一元一次方程方程 交流探究交流探究x+y+z=12 x+y+z=12 x=4y x=4y x+2y+5z=22 x+2y+5z=22 尝试解三元一次方程组：尝试解三元一次方程组：先消什么？先消什么？分析：把分别代入、消掉分析：把分别代入、消掉x x，化为二元一次方程组，化为二元一次方程组&概念学习概念学习例例1 1 解三元一次方程组解三元一次方程组3x3x4z=7 4z=7 2x2x3y3yz=9 z=9 5x5x9y9y7z=8 7z=8 解：解：3 3 ，得，得 11x11x10z=35 10z=35 与组成方程组与组成方
7、程组3x3x4z=74z=711x11x10z=3510z=35解这个方程组，得解这个方程组，得x=5x=5z=-2z=-2把把x x5 5，z z-2-2代入，得代入，得y=y=31因此，三元一次方程组的解为因此，三元一次方程组的解为31z=5z=5y=y=z=-2z=-2分析：分析：方程方程中只含中只含x,z,x,z,因此，因此，可以由消去可以由消去y y，得到一个只，得到一个只含含x x，z z的方程，与方程组成的方程，与方程组成一个二元一次方程组一个二元一次方程组你还有其它解法吗？试你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进一试，并与这种解法进行比较行比较.尝试应用尝试应用例例2 2在等
8、式在等式 y=a y=a bxbxc c中中,当当x=-1x=-1时时,y=0;,y=0;当当x=2x=2时时,y=3;,y=3;当当x=5x=5时时,y=60.,y=60.求求a,b,ca,b,c的值的值x2解：根据题意，得三元一次方程组解：根据题意，得三元一次方程组a ab bc=0 c=0 4a4a2b2bc=3 c=3 25a25a5b5bc=60 c=60 ，得得 a ab=1 b=1 ，得，得 4a4ab=10 b=10 与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组a ab=1b=14a4ab=10b=10a=3a=3b=-2b=-2解这个方程组，得解这个方程组，得把把 代入，得代入，
9、得a=3a=3b=-2b=-2c=-5c=-5a=3a=3b=-2b=-2c=-5c=-5因此因此答：答：a=3,b=-2,c=-5.a=3,b=-2,c=-5.某农场某农场300300名职工耕种名职工耕种5151公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：农作物品种农作物品种每公顷所需劳动力每公顷所需劳动力每公顷投入资金每公顷投入资金水稻水稻4 4人人1 1万元万元棉花棉花8 8人人1 1万元万元蔬菜蔬菜5 5人人2 2万元万元已知农场计划在设备上投入已知农
10、场计划在设备上投入6767万元，应该怎样安排这三种作物的种万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？解：设安排解：设安排x x公顷种水稻、公顷种水稻、y y公顷种棉花、公顷种棉花、z z公顷种蔬菜。公顷种蔬菜。答：安排答：安排1515公顷种水稻、公顷种水稻、2020公顷种棉花、公顷种棉花、1616公顷种蔬菜。公顷种蔬菜。4x+8y+5z=3004x+8y+5z=300 x+y+2z=67x+y+2z=67x+y+z=51x+y+z=51x=15x=15y=20y=20解得：解得：z=16z=16三元一次方程三元一次方程组组消元消元二元一次方二元一次方程组程组消元消元一元一次一元一次方程方程三元一次方程组的解法：三元一次方程组的解法：三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用 归纳整合归纳整合
