1、2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】本题先求出，再求出，最后求即可.【详解】解：因为，所以因为，所以所以.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，是基础题.2如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则复数的虚部为（ ）A1B3CD2【答案】B【解析】由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可【详解】由图可得，则，所以复数的虚部为3.故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题3“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布
2、匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自算法统宗中的棉布均摊，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（ ）（注：古代一斤是十六两）A按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了B按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了C按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了D按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了【答案】B【解析】先求出张昌和李德拣了多少斤棉花，再按比例求出张昌和李德各有多少尺即可.【详解】九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按张昌尺，李德尺，分配就合理了.
3、故选：B.【点睛】本题主要考查了合情推理，考查数据处理与运算求解能力.属于较易题.4已知直线平面，则“直线平面”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用线面垂直的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：直线平面，垂直于平面内所有直线，又直线平面，直线直线，充分性成立；必要性：若且直线平面，则直线平面不成立，必要性不成立.故选：A.【点睛】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.5在中，角，所对的边分别为，若，成等差数列，且，则外接圆的面积为（ ）ABCD【
4、答案】A【解析】本题先求出，再求出，接着求外接圆的半径，最后求外接圆的面积即可.【详解】因为，成等差数列，所以，则，由正弦定理可知，解得：.所以外接圆的半径为，从而外接圆的面积为.故选：A.【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题.6若函数，且，则（ ）A0BC12D18【答案】D【解析】由可知关于轴对称，可求出，即可求出函数值.【详解】由，可知函数的图象关于轴对称，则，得，故，.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想.7曲线在处的切线与曲线相切，则（ ）A4B3C2D1【答案】B【解析】先求出切线方程是，再求切线在曲线的切点为
5、，最后求出即可.【详解】解：因为曲线，所以，所以曲线在处的切线方程是，因为曲线，所以，令，解得：，将代入得：，所以切线在曲线的切点为 将代入得.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.8已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.若球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）ABCD【答案】C【解析】先证明平面，接着求出，再得到和，从而得到，最后求出球与球的表面积之比即可.【详解】如图，取的外心，连接，则必过，且平面，可知为侧棱与底面所成的角，即.取的中点，连接，.设圆，的半径分别为，令，则，所以，即，从而，所以，则，
6、所以球与球的表面积之比为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.二、多选题9下图为某城市2017年2019年劳动力市场供求变化统计图.倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率需求人数求职人数.它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定.根据统计图可知，该城市在2017年2019年中（ ）A该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例
7、失调的局面正逐步得到改善【答案】AD【解析】通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项.【详解】通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多，故A正确；2017年第二季度求职人数远高于岗位需求量，故B错误；2019年第一季度供需人数高于2019年第二季度，故C错误；通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从0.65上升到最高0.90，并且自2018年第四季度至2019年第四季度求职倍率非常稳定，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力，属于基础题.10已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ）A的准线方程为B点的坐标为CD三角形的面积为
8、（为坐标原点）【答案】ACD【解析】先求的准线方程，再求焦点的坐标为，接着求出，中位线，最后求出，即可得到答案.【详解】如图，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.由抛物线的解析式可得准线方程为，点的坐标为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有，结合题意，有，故，.故选：ACD.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11设，为实数，满足，则（ ）A的取值范围是B的取值范围是C的取值范围是D的取值范围是【答案】ABC【解析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项.【详解】对于D选项，当时，所以D选
9、项错误.由于，所以，所以A选项正确.由于，所以，所以B选项正确.当、时，则，则，所以的取值范围是；当时，；当、时，的取值范围是.综上，的取值范围是，所以C选项正确.故选：ABC【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.12定义：表示函数在上的最大值，已知奇函数满足，且当时，正数满足，则（ ）ABC的取值范围为D的取值范围为【答案】BD【解析】先结合题中条件得出的最小正周期，然后再画出函数的图象，然后结合图象进行分析即可得解【详解】因为，所以有，又因为为奇函数，所以，所以，所以有，所以的最小正周期为16，画出函数的图象，如图所示：当时，显然正数不满足，所以，故，因为，所以，即在上的最大值不
10、大于2，故，所以.故选：BD.【点睛】本题考查对新定义以及函数的性质的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于常考题.三、填空题13已知向量，则_.【答案】4【解析】由可得，由向量的模长公式计算即可得到答案.【详解】因为，所以，则，即，所以.故答案为：4【点睛】本题考查平面向量的数量积公式，考查两个向量垂直条件得应用，考查运算求解能力，属于基础题.14将函数的图象向左平移个单位长度，得到奇函数的图象，则的最大值是_.【答案】【解析】本题先建立方程，再求，最后求的最大值即可.【详解】解：由题意有：奇函数，所以，所以，则的最大值是.故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象的变换以及性质，考查
11、数形结合的数学思想及逻辑推理能力，是基础题.15某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有_种.【答案】16【解析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.【详解】农场主在中间共有种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有种站法，故所求站法共有种.故答案为：16【点睛】本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相交于，两点，且，则该双曲线的离心率为_.【答案
12、】【解析】先取的中点，证明是的中点，再设，得到，最后建立方程并求双曲线的离心率即可.【详解】设为双曲线的右焦点，取的中点，则，如图.因为，所以是的中点，则，.设，则，.因为，所以，则，.又因为，所以，即该双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.四、解答题17在，三角形的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_？【答案】选条件：存在，；选条件：存在，；选条件：不存在，答案见解析.【解析】方案一：选条件：先求出
13、以及，再求出以及，最后求出，以及的周长；方案二：选条件：先求出以及，再求出以及，最后求出，以及的周长；方案三：选条件：先求出以及，再判断，最后判断三角形不存在.【详解】解：方案一：选条件因为，所以，即，整理得.因为，所以，解得.又因为，所以，即，所以，则，得，所以的周长为. 方案二：选条件因为，所以，即，因为，所以.又因为，所以，即，所以，则，得，所以的周长为.方案三：选条件，则，得，因为，所以.又因为，则问题中的三角形不存在.【点睛】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题.18已知数列满足，且对于任意，都有.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（
14、1），；（2）.【解析】（1）先求出，再判断数列是首项和公比都为的等比数列，最后求即可；（2）先求出，再判断数列是以为首项，以为公比的等比数列，最后求即可.【详解】解：（1）对于任意，都有成立，令，得，即，数列是首项和公比都为的等比数列，.（2），数列是以为首项，以为公比的等比数列，.【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，等比数列的通项公式与前项和，是基础题.19如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）若四边形为正方形，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，交于点，连接，先证明为平行四边形，再利用
15、线面平行的判定定理证明即可；（2）连接，利用已知条件得出，互相垂直，建立空间坐标系，分别求出平面和面的法向量，根据空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，连接，则为的中点.因为为的中点，所以，且，又，所以为平行四边形，即.因为平面，所以平面.（2）解：连接，令，因为，为的中点，所以.又三棱柱是直三棱柱，所以，互相垂直，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为，所以平面与平
16、面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及空间向量的应用和二面角.属于中档题.20已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.【答案】（1）答案见解析，；（2）.【解析】（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案.【详解】解：（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3.，所以的分布列为012
17、3所以.（2）当乙盒中红球个数为0时，当乙盒中红球个数为1时，当乙盒中红球个数为2时，当乙盒中红球个数为3时，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.21已知椭圆：（）的右顶点为，斜率为（）的直线交于，两点，当时，且的面积为（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设为的右焦点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）先判断为椭圆的下顶点，再建立方程求出，最后求椭圆的方程；（2）先联立方程，表示出和，再表示出点的坐标和点的坐标，最后表示出、建立方程求直线的斜率即可.【
18、详解】解：（1）因为是椭圆的右顶点，的面积为，所以为椭圆的下顶点.所以，得，所以椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，由方程组，消去，整理得，解得或.由题意得，从而.因为，所以的坐标为，因此直线的方程为，则的坐标为.由，得.由（1）知，则，所以，解得或，所以直线的斜率或.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系求参数，是中档题22已知函数.（1）当时，求的单调性；（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）先求函数的定义域为，再求导函数，解不等式和求的单调性即可；（2）先建立新函数并求导，再建立新函数，并求导，接着判断当时符合题意；当时，不符合题意即可得到答案.【详解】解：（1）当时，的定义域为，令，解得，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增.（2）当时，.设函数，则.设函数，则，又，从而，所以在上单调递增.当时，则在上单调递增，又，符合题意.当时，设在上的唯一零点为，当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查利用导函数求函数的单调性，利用导函数研究不等式恒成立问题，是偏难题.
