1、第四章.全等三角形模型（十六）半角模型 模型讲解一、正方形中的半角模型【条件】如图两个角共顶点，其中一个角（45）是另一个角（90）的一半 【结论】EF=BE+DF， EA平分BEF，FA平分DFE，EFC的周长等于正方形边长的2倍 如图：AM=AB 如图：EAF=45，则EF=BE+FC 见半角，旋全角，盖半角，得半角。口诀 【证明】延长CB至点P，使得BP=DF 连接AP 第一次全等 第二次全等在ABP和ADF中 在AEP和AEF中 AB=AD（正方形边长相等）AP=AF ABP=ADF=90 PAE=FAE BP=DF（构造） AE=AE ABPADF（SAS） AEPAEF（SAS）
2、AP=AF ，1=2 PE=EF 2+3=45 即PB+BE=EF1+3=45, DF+BE =EFPAE=FAE 由得：AEPAEF，则4=5，AFE=P又APBAFD，P=AFD，AFE=AFDEA平分BEF，FA平分DFE 由得：EF=BE+DF，EFC的周长EF+EC+CFBE+DF+EC+CF=BC+DC， EFC的周长等于正方形边长的2倍 过A作AMEF，则AME=B=90。由得1=2，AE=AE，ABEAME（AAS），AM=AB 如图，过点A作APAF 且AP=AF.连接PE CAB= PAF=90，1=2 第一次全等 第二次全等在ABP和ACF中 在AEP和AEF中 AB=A
3、C AP=AF 2=1 PAE=FAE AP=AF AE=AE ABPACF（SAS） AEPAEF（SAS）BP=CF ，ABP=C=45 PE=EF EAF=45 在RtPBE中，PE=PB+BE 1+3=45, 即EF=CF+BE 2+3 =45 二、 等腰三角形中的半角模型 【条件】 如图，ABC是等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC=120，MDN=60， 【结论】MN= BM+CN;MAN 的周长等于ABC边长的 2 倍;MD是BMN的平分线，ND是CNM的平分线【证明】BDC是等腰三角形，且BDC=120，BCD=DBC=30.ABC是等边三角形，ABC = BAC = B
4、CA=60,DBA= DCA=90.延长 AB至点F，使BF=CN，连接DF，如图.在BDF 和CDN 中，DB=DC,DBF=DCN,BF=CN,BDFCDN(SAS），BDF=CDN,F=CND,DF=DN.MDN=60, BDM+CDN=60,BDM+BDF=60，即FDM=60=MDN.在DMN 和DMF 中，DN=DF,MDN= MDF, DM=DM,DMNDMF（SAS）， MN=MF=BM+CN,F=MND=CND，FMD=DMN，AMN的周长是 AMANMN=AMMBCNAN=ABAC=2边长.三、 对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】如图，BD=180，BAD= 2EAF，
5、AB=AD， 【结论】EF=BE+FD;EA 是BEF的平分线，FA是DFE的平分线.典例秒杀 典例1 如图，已知正方形 ABCD 中，MAN=45,则线段MN，BM与DN之间的关系是( )A. MN= BMDN B.BM=MNDN B. DN=MN+BM D.无法确定【答案】A 【解析】正方形 ABCD中，MAN=45，根据半角模型结论可知 MN=BMDN.故选 A.典例2 如图，ABC是边长为的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120，以 D为顶点作一个 60角，使其两边分别交 AB于占M，交 AC于点N，连接 MN，则AMN 的周长是（ ）.A. a B.2a C. 3a D.
6、不能确定 【答案】B【解析】BDC是等腰三角形，观察图形，能发现图形为等腰三角形的半角模型，根据半角模型结论可知，AMN 的周长为ABC边长的 2 倍，即为 2a.故选 B.典例3 如图1，在四边形 ABCD中，AB=AD，B=D=90，E，F分别是边 BC，CD 上 的点，且EAF=BAD， 求证：EF =BE+FD.在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边 BC，CD上的点且EAF=BAD， （1）中的结论是否仍然成立？（不需要说明理由）如图 2，在四边形 ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E，F分别是边 BC，CD延长线上的点，且EAF=BAD ，（1
7、）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明;若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 【解析】（1）如图，延长 EB到点G，使 BG=DF，连接 AG. ABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADF（SAS），AG=AF，1=2.1+3=23=EAF=BAD， GAE=EAF.又 AE=AE，AEGAEF（SAS）， EG=EF.EG=BE+BG,EF=BEFD.（2）（1）中的结论 EF= BEFD仍然成立.（3）结论 EF=BE+FD不再成立，应当是 EF=BEFD.证明如图，在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG.B+ADC=180,ADFADC=180, B=ADF.又
8、AB=AD，ABGADF（SAS）， BAG=DAF,AG=AF.BAGEAD= DAFEAD=EAF=BAD, GAE=EAF.又AE=AE，AEGAEF（SAS）， EG=EFEG=BEBG,:.EF=BEFD. 小试牛刀1.（）如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC= 120.以 D为顶点作一个 60角，使其两边分别交 AB 于点M，交 AC于点N，连接 MN，则AMN 的周长为。2.（）如图，在 RtABC中，AB=AC，D，E是斜边 BC上两点，且DAE=45.若 BE=4，CD=3，则 AB的长为。 3.（）如图，正方形 ABCD中，EAF=45，
9、连接对角线 BD交AE于点M，交 AF于点N.若 DN=1，BM=2，那么 MN=。直击中考1.如图，在正方形 ABCD中，E，F分别是 BC，CD上的点，且EAF=45，AE，AF分别交 BD 于点 M，N，连接 EN，EF.有以下结论AN=EN; 当 AE=AF 时， ; BE+DF=EF;存在点 E，F，使得 NFDF.其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4在中考考试中 ，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出观，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转 ，进行边角转化，就能很快地解决此类问题.第四章.全等三角形模型（16）半角模型答案：小试牛刀1
10、. 答案 6解析 BDC是等腰三角形，且BDC=120，MDN=60，ABC是边长为 3 的等边三角形，根据等腰三角形的半角模型结论可知，AMN的周长是ABC边长的2倍，即为 6.2.答案 解析 如图，过点 B作 BC 的垂线，垂足为 B，并截取 BF=CD，连接 FE，AF. FBE=90,FB=3,BE=4,在RtFBE中，FE=FBBE=3 4=5, FE=5.RtABC中，AB=AC， ABC=ACB=45,FBA = FBCABC = 90- 45=45.在AFB与ADC中， BF=CD,ABF=ACD=45, AB=AC,AFBADC（SAS），2=3，AF=AD.又1+EAD+2
11、=90，DAE=45， 1+2=45, FAE=1+3=45,FAE=DAE.在AFE与ADE中，AF=AD, FAE= DAE, AE=AE, AFEADE(SAS), FE=DE=5,BC=BE+ED+DC=4+5+3=12.又在 RtABC中，AB =BC=12=【小结】熟练掌握半角模型的同学能一眼看到AFEADE，从而快速解题. 2. 答案 解析 如图，延长 CB 到点 G，使 BG= DF，连接 AG，在 AG上截取AH=AN，连接 MH,BH. 四边形 ABCD为正方形，AB=BC=CD=AD,4=5=45, BAD=ADF=ABE=ABG=90.在ABG和ADF 中，AB=AD,
12、ABG=ADF=90, BG=DF,ABGADF（SAS），1=2,7=G,AG=AF,GAE=23=1+3=BADEAF=90-45=45=EAF.在AMN 和AMH中，AN=AH,MAN= MAH=45, AM=AM,AMNAMH(SAS), MN=MH.AF=AG,AN=AH, FN=AFAN=AGAH=GH.在DFN 和BGH中，DF=BG, 7=G， FN=GH,DFNBGH（SAS）， 6=4=45,DN=BH. MBH=90-4545=90， BMDN=BMBH=MH=MN.又DN=1，BM=2， 21=MN, MN=直击中考 1. 答案 B解析 如图，四边形 ABCD是正方形，
13、 EBM = ADM =FDN=ABD=45.MAN=EBM=45,AMN=BME, AMNBME, 又AMB=EMN， AMBNME, AEN=ABD=45NAE=AEN=45,AEN是等腰直角三角形， AN=EN,故正确.ABE=ADF=90,在 RtABE和 RtADF中，AB=AD, AE=AF,RtABERtADF(HL), BE=DF.又BC=CD， CE=CF.假设正方形 ABCD 的边长为1，设 CE=x，则 BE= 1-x. 如图，连接 AC，交 EF 于点 O. AE=AF,CE=CF, AC是EF 的垂直平分线， ACEF,OE=OF.在RtCEF中，OC=EF=x，在EAF中，EAO=FAO=22.5= BAE=22.5, OE=BE.又AE=AE，RtABERtAOE(HL),AO=AB=1. AC=AO+OC,1+x=,解得 x=2 -=， 故不正确.正方形 ABCD中，EAF=45， 根据半角模型结论可知 EF=BEDF，故正确.FND=ADN+NAD45.而FDN=45， DFFN.故不存在点 E，F，使得 NFDF，故不正确.因此，正确结论的个数是 2.故选 B.
