1、【14.3因式分解】专项能力提升训练（一）一选择题1关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（）A6B6C12D122下列各式中，没有公因式的是（）A3x2与6x24xBabac与abbcC2（ab）2与3（ba）3Dmxmy与nynx3将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（）A2B15m2C8mD8m4下列多项式中不能用公式分解的是（）Aa2+a+Ba2b22abCa2+25b2D4b25多项式x2+mx+6可因式分解为（x2）（x3），则m的值为（）A6B5C5D56已知a2b10，ab5，则a2+4b2
2、的值是（）A100B110C120D1257已知三角形的三边a，b，c满足（ba）（b2+c2）ba2a3，则ABC是（）A等腰三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形8课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（）用平方差公式分解下列各式：（1）a2b2（2）49x2y2z2（3）x2y2（4）16m2n225p2A第1道题B第2道题C第3道题D第4道题9对于正整数m，若mpq （pq0，且p，q为整数），当pq最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f（m） （如：12 的分解有121，62，43，其中，43为12的最
3、佳分解，则f（12）若关于正整数n的代数式，也有同样的最佳分解，f（n2+3n）则下列结果不可能的是（）A1BCD10任何一个正整数n都可以进行这样的分解：nst（s，t是正整数，且st），如果pq在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解，并规定：F（n）例如18可以分解成118，29，36这三种，这时就有F（18）给出下列关于F（n）的说法：F（2）；F（24）；F（27）3；若n是一个整数的平方，则F（n）1其中正确说法的有（）ABCD二填空题11因式分解：x（x2）x+2 12若x2+5x+a（x3）（x+b），则a+b 13已知x2+kx+12（x+a）（
4、x+b），x2+kx+15（x+c）（x+d），其中a，b，c，d均为整数则k 14多项式4a29bn（其中n是小于10的自然数，b0）可以分解因式，则n能取的值共有 种15已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，那么它的形状是 三解答题16把下列各式因式分解（1）4a2x2+8ax4；（2）9（2a+3b）24（3a2b）217（1）已知a+b10，ab6，求a2b+ab2的值（2）如图，在ABC中，ABAC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E，若E35，求EAC的度数18解答下列问题（1）一正方形的面积是a2+6ab+9b2（a0，b0），则表示
5、该正方形的边长的代数式是 （2）求证：当n为正整数时，（2n+1）2（2n1）2能被8整除19如图，把一个长方形纸板剪切成图示的9块，其中有2块边长是a的大正方形，2块是b的小正方形，还有5块长、宽分别是a和b的长方形，且ab（1）通过观察图形，把多项式2a2+5ab+2b2分解因式（2）若4个正方形的面积和是58，每块长是a宽是b的小长方形的面积是10，求下面代数式的值a+b；a2b+ab220先阅读下面的解法，然后解答问题例：已知多项式3x3x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m解：设3x3x2+m（3x+1）K（K为整式）令（3x+1）0，则x，得3（）3（）2+m0
6、，m这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题（1）若多项式x2+mx8分解因式的结果中有一个因式为（x2），则实数m ；（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；（3）若多项式x4+mx3+nx14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x2），求m，n的值参考答案一选择题1解：关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，a12故选：D2解：A、6x24x2x（3x2），3x2与6x24x有公因式（3x2），故本选项不符合题意；B、abaca（bc）与abbcb（ac）没有公因式，故本选项符合题意；C、2（ab）2与3（ba）
7、3有公因式（ab）2，故本选项不符合题意；D、mxmym（xy），nynxn（xy），mxmy与nynx有公因式（xy），故本选项不符合题意故选：B3解：A、16m2+1216m21（4m+1）（4m1），不符合题意；B、16m2+115m2m2+1，不能分解，符合题意；C、16m2+1+8m（4m+1）2，不符合题意；D、16m2+18m（4m1）2，不符合题意故选：B4解：A、原式（a+）2，不符合题意；B、原式（a2+b2+2ab）（a+b）2，不符合题意；C、原式（a+5b）（a+5b），不符合题意；D、原式不能分解，符合题意故选：D5解：根据题意得：x2+mx+6（x2）（x3）x2
8、5x+6，则m的值为5故选：D6解：a2b10，ab5，a2+4b2（a2b）2+4ab102+45120故选：C7解：（ba）（b2+c2）ba2a3，（ba）（b2+c2）a2（ba），（ba）（b2+c2）a2（ba）0，（ba）（b2+c2a2）0，则ba0或b2+c2a20，则ba或b2+c2a2，故ABC是等腰三角形或直角三角形故选：D8解：由题意可知：a2b2（a+b）（ab），49x2y2z2（7x+yz）（7xyz），x2y2无法用平方差公式因式分解，16m2n225p2（4mn+5p）（4mn5p），故第3道题错误故选：C9解：n2+3nn（n+3），n2+3n1（n2+3
9、n），其中n（n+3）是n2+3n的最佳分解，f（n2+3n），A、当时，nn+3，13，出现矛盾，则A不可能存在；B、当时，2nn+3，n3，则B可能存在；C、当时，n1，则C可能存在；D、当时，n6，则D可能存在；故选：A10解：212，F（2）是正确的；故正确；241242123846，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，F（24），故是错误的；2712739，其中3和9的绝对值较小，又39，F（27），故是错误的；n是一个整数的平方，n能分解成两个相等的数，则F（n）1，故是正确的正确的有故选：C二填空题11解：原式x（x2）（x2）（x2）（x1）故答案为：（x2）（x1）12解：（
10、x3）（x+b）x2+（b3）x3b，x2+5x+a（x3）（x+b），x2+5x+ax2+（b3）x3b，a3b，b35，解得a24，b8，所以a+b24+816故答案为：1613解：x2+kx+12（x+a）（x+b），x2+kx+12x2+（a+b）x+ab，a+bk，ab12；x2+kx+15（x+c）（x+d），x2+kx+15x2+（c+d）x+cd，c+dk，cd15；a，b，c，d均为整数，k8；故答案为814解：多项式4a29bn（其中n是小于10的自然数，b0）可以分解因式，则n能取的值为0，2，4，6，8，共5种，故答案为：515解：a2c2b2c2a4b4，c2（a2b
11、2）（a2+b2）（a2b2），a2b20或c2a2+b2，当a2b20时，ab；当c2a2+b2时，C90，ABC是等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰三角形或直角三角形三解答题16解：（1）原式4（a2x22ax+1）4（ax1）2；（2）原式3（2a+3b）+2（3a2b）3（2a+3b）2（3a2b）13b（2a+5b）17解：（1）a+b10，ab6，a2b+ab2ab（a+b）61060； （2）BD平分ABC，ABDDBC，AEBD，ABDBAE，DBCEBAEE35，ABC70ABAC，ACBABC70，BAC18070240，EAC40+357518（1）解：a2+6ab+9
12、b2（a+3b）2，表示该正方形的边长的代数式是a+3b故答案为：a+3b；（2）证明：（2n+1）2（2n1）2（2n+1）+（2n1）（2n+1）（2n1）4n28n，原式能被8整除19解：（1）2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b）（2）由题意知：2a2+2b258，ab10，a2+2ab+b2（a+b）2，29+210（a+b）2，又a+b0，a+b7；a2b+ab2ab（a+b）1077020解：（1）由题意得，x2+mx8（x2）K（K为整式），令x20，则x2，把x2代入x2+mx80，得，m2，故答案为：2；（2）设：x3+3x2+5x+n（x+1）A（A为整式），若x
13、3+3x2+5x+n（x+1）A0，则x+10或A0，当x+10时，x1则x1是方程x3+3x2+5x+n0的解，（1）3+3（1）2+5（1）+n0，即1+35+n0，解得，n3；（3）设x4+mx3+nx14（x+1）（x2）B（B为整式），若x4+mx3+nx14（x+1）（x2）B0，则x+10，x20，C0，当x+10时，即x1，（1）4+m（1）3+n（1）140，即m+n13，当x20时，即x2，24+m23+n2140，即4m+n1，联立解方程组得：【14.3因式分解】专项能力提升训练一选择题1因式分解（x+y）22（x2y2）+（xy）2的结果为（）A4（xy）2B4x2C4
14、（x+y）2D4y22多项式6ab2+18a2b212a3b2c的公因式是（）A6ab2cBab2C6ab2D6a3b2c3将（x+2y）2（x2y）2分解因式的结果是（）A8x2B8x（x2y）C16（x+y）D8xy4下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（）Ax2+16Bx2+9Cx24Dx22y5二次三项式x2mx12（m是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m的所有可能值有（）个A4B5C6D86若实数x满足x22x10，则2x37x2+4x2017的值为（）A2019B2019C2020D20207若实数x满足x22x10，则2x37x2+4x2019的值为（）A201
15、9B2020C2022D20218下列各式中，能用平方差公式分解因式的有（）x2+y2； x2y2； x2+y2； x2y2； ； x24A3个B4个C5个D6个9我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：npq（p，q是正整数，且pq），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解，并规定：F（n），例如12可以分解成112，26或34，因为1216243，所以34是12的最佳分解，所以F（12），则F（36）的值是（）ABC1D10如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”如：213（1）3，263313，2和26均
16、为“和谐数”那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A6858B6860C9260D9262二填空题11因式分解：5a3+10a215a 12若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x2），则ab的值为 13已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x3）（x5），则（2p+q）2020 14因式分解：x26xy+9y2 15若m2n+2020，n2m+2020（mn），那么代数式m32mn+n3的值 三解答题16因式分解：（1）2x28y2+8xy；（2）（p+q）2（pq）217（1）若代数式（m2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边
17、长为m、n，求该等腰三角形的周长（2）若x22x50，求2x38x22x+2020的值18解答下列问题（1）一正方形的面积是a2+6ab+9b2（a0，b0），则表示该正方形的边长的代数式是 （2）求证：当n为正整数时，（2n+1）2（2n1）2能被8整除19如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线
18、（虚线部分）长之和201637年笛卡儿（RDescartes，15961650）在其几何学中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x23观察知，显然x1时，原式0，因此原式可分解为（x1）与另一个整式的积令：x3+2x23（x1）（x2+bx+c），而（x1）（x2+bx+c）x3+（b1）x2+（cb）xc，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x230根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式（2）若多项式3x4+
19、ax3+bx34含有因式x+1及x2，求a，b的值参考答案一选择题1解：原式（x+y）（xy）2，（x+yx+y）2，4y2，故选：D2解：系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是ab2，公因式为6ab2故选：C3解：原式（x+2y）+（x2y）（x+2y）（x2y），2x4y，8xy，故选：D4解：x2+16（4+x）（4x），故选：A5解：若x2mx12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，m的值可能是1，1，4，4，11，11共有6个故选：C6解：x22x10，x22x1，2x37x2+4x20172x34x23x2+4x20172x（x22x）3x2+4x20176x3x2201
20、73（x22x）2017320172020故选：D7解：x22x10x22x12x37x2+4x20192x34x23x2+4x20192x（x22x）3x2+4x20196x3x220193（x22x）2019320192022故选：C8解：x2+y2不能分解；x2y2（x+y）（xy），能；x2+y2（y+x）（yx），能；x2y2不能分解；1a2b2（1+ab）（1ab），能；x24（x+2）（x2），能，故选：B9解：13621831249663611821239466F（36）故选：C10解：（2k+1）3（2k1）3（2k+1）（2k1）（2k+1）2+（2k+1）（2k1）+（2
21、k1）22（12k2+1）（其中k为非负整数），由2（12k2+1）2016得，k9k0，1，2，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为13（1）3+（3313）+（5333）+（173153）+（193173）193+16860故选：B二填空题（共5小题）11解：原式5a（a22a+3）故答案是：5a（a22a+3）12解：根据题意得：x2+ax+b（x+1）（x2）x2x2，则a1，b2，所以ab1（2）1+21，故答案为：113解：根据题意得：（x3）（x5）x28x+15x2+px+q，p8，q15，则（2p+q）2020（16+15）2020114解：原式x22x3y
22、+（3y）2（x3y）2，故答案为：（x3y）215解：m2n+2020，n2m+2020，m2n2nm，（m+n）（mn）nm，mn，m+n1，m2n+2020，n2m+2020，m2n2020，n2m2020，原式m3mnmn+n3m（m2n）+n（n2m）2020m+2020n2020（m+n）2020（1）2020故答案为：2020三解答题（共5小题）16解：（1）2x28y2+8xy（2）（p+q）2（pq）217解：（1）（m2y+1）（n+3y）+ny2mn+3my2ny6y2+n+3y+ny2mn+n+（3m2n+3）y+（n6）y2代数式的值与y无关，若等腰三角形的三边长分别
23、为6，6，3，则等腰三角形的周长为15若等腰三角形的三边长分别为6，3，3，则不能组成三角形等腰三角形的周长为15（2）x22x50，x22x+5，2x38x22x+20202x（2x+5）8x22x+20204x2+10x8x22x+20204x2+8x+20204（2x+5）+8x+20208x20+8x+2020200018（1）解：a2+6ab+9b2（a+3b）2，表示该正方形的边长的代数式是a+3b故答案为：a+3b；（2）证明：（2n+1）2（2n1）2（2n+1）+（2n1）（2n+1）（2n1）4n28n，原式能被8整除19解：（1）观察图形，发现代数式 2m2+5mn+2n
24、2（2m+n）（m+2n）（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2则mn7cm2，2m2+2n2100cm2m2+n250（m+n）250+7264m+n8图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n6（m+n）48（cm）图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为48cm20解：（1）令x3+ax+1（x+1）（x2+bx+c），而（x+1）（x2+bx+c）x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，等式两边x同次幂的系数相等，即x3+（b+1）x2+（c+b）x+cx3+ax+1解得a的值为0，x3+1（x+1）（x2x+1）（2）（x+1）（x2）x2x2令3x4+ax3+bx34（x2x2）（3x2+cx+d），而（x2x2）（3x2+cx+d）3x4+（c3）x3+（dc6）x2（2c+d）x2d，等式两边x同次幂的系数相等，即3x4+（c3）x3+（dc6）x2（2c+d）x2d3x4+ax3+bx34解得答：a、b的值分别为8、39
