1、2021年高三一诊模拟考试数学（文）试题 含解析【试卷综述】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与考试说明一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。高中数学的主干知识如函数、导数、圆锥曲线、等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.【题文】一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）【题文】1设集合，则（ ）ABCD 【知识点】交集的运算.A1【答案】【解析】A 解析：因为集合，化简为，所以，故选A.【思路点拨】先化简集合M，再求其
2、交集即可。【题文】2、对于非零向量a，b，“ab”是“ab0”的（ ）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量A2 F1【答案】【解析】B 解析：非零向量，“”推不出“=0”，“=0”“”，“”是“=0”成立的必要不充分条件故选B【思路点拨】非零向量，“”推不出“=0”，“=0”“”，由此可知“”是“=0”成立的必要不充分条件【题文】3设是定义在R上的周期为的函数，当x2，1)时，则（ ）A B C D【知识点】函数的值B1【答案】【解析】D 解析：f（x）是定义在R上的周期为3的函数，f（）=f（
3、3）=f（）=4（）22=1故选：D【思路点拨】既然3是周期，那么3也是周期，所以f（）=f（），代入函数解析式即可【题文】4.下列结论正确的是（ ）AB.C. D.【知识点】比较大小E1【答案】【解析】A 解析：对于选项A: 正确；对于选项B:当，不成立，故错误；对于选项C:当，满足，但不能得到，故错误；对于选项D:当时，满足，但不能得到，故错误；故选A.【思路点拨】对每个选项进行排除即可。【题文】5.若，则（ ）A. B. C.D. 【知识点】对数的运算性质B7【答案】【解析】C 解析：因为，所以，则，故选C.【思路点拨】先将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质得到结果。【题文】6.如
4、图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用代表图形）（ ）A BC D【知识点】简单空间图形的三视图G2【答案】【解析】B 解析：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为，四面体ABCD的左视图为，四面体ABCD的俯视图为，故四面体ABCD的三视图是，故选：B【思路点拨】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案【题文】7. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）A B C D【知识点】简单线性规
5、划的应用；平面向量数量积的运算E5 F3【答案】【解析】C 解析：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=11+11=0当x=1，y=2时，=11+12=1当x=0，y=2时，=10+12=2故和取值范围为0，2故选C【思路点拨】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围【题文】8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A B C1 D2【知识点】程序框图。L1【答案】【解析】B 解析：执行程序框图，有i=0，S=1，A=2i=1，S=2，A=不满足条件ixx，i=2，S
6、=1，A=1；不满足条件ixx，i=3，S=1，A=2；不满足条件ixx，i=4，S=2，A=；不满足条件ixx，i=5，S=1，A=1；不满足条件ixx，i=6，S=1，A=2；故A值随i值变化并呈以3为周期循环，当i=xx=6713+2时，不满足退出循环的条件，故a=1，故选：B【思路点拨】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A，S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【题文】9. 抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为（ ） A2 B4 C6 D8【知识点】抛物线的简单性质H7【答案】【解析】D 解析
7、：OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为36，圆的半径为6，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，+=6，p=8，故选：D【思路点拨】根据OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】10. 已知函数 则函数的所有零点之和是（ ）A. B. C. D. 【知识点】函数的零点.B9【答案】【解析】B 解析：f（x）=g（x）=，fg（x）=，x0时，由，可解得：x=1或1（小于0，舍去）；x0时，由=0，可解得：x=函数fg（x）的所有零点之和是1=故选：B【思路点拨】先求得fg（x
8、）的解析式，x0时，由，可解得：x=1或1（小于0，舍去）；x0时，由=0，可解得：x=，从而可求函数fg（x）的所有零点之和【题文】二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）【题文】11. 设数列的前n项和为,中= .【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式D2【答案】【解析】9 解析：在数列an中，由，得：，a5=S5S4=2516=9故答案为：9【思路点拨】由数列的前n项和公式求出S5，S4的值，则由a5=S5S4得答案【题文】12. 已知是虚数单位，和都是实数，且，则 【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】 解析：由m（1+i）=7+ni，得m+mi=7+
9、ni，即m=n=7，=,故答案为。【思路点拨】直接利用复数相等的条件求得m，n的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值【题文】13.已知，则= 【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角F3【答案】【解析】 解析：，故答案为。【思路点拨】利用数量积运算法则及其性质即可得出【题文】14.已知，且，则= .【知识点】二倍角的余弦公式C6【答案】【解析】 解析：因为,所以,则,所以故,故答案为.【思路点拨】先利用已知条件求出,在结合二倍角的余弦公式求出结果.【题文】15. 设等比数列满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为 【知识点】等比数列的通项公式D3【
10、答案】【解析】 解析：根据题意得对任意有,使，即，因为，所以是正整数1、3、9、27、81，的所有可能取值的集合为.【思路点拨】依题意可求得该等比数列的通项公式an，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，求得，分析即可【题文】三解答题（本大题共6个小题，共75分）【题文】16.（13分）已知等差数列的前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【知识点】等差数列的通项公式;数列的求和D2 D4【答案】【解析】(1) ；(2) 解析：(1)设的公差为，则由题得则（2）由（1）得则所求和为【思路点拨】(1)根据题意列出方程组,解之即可; (2)利用裂项相消求出结果.【
11、题文】17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损（）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图I2 K2【答案】【解析】（）9；（） 解析：（） 解得=179 所以污损处是9 （）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：181,173，181,176，181,178，
12、181,179，179,173，179,176，179,178，178,173，178,176，176,173共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，P(A)【思路点拨】（）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率【题文】18.（13分） 已知的三边分别是，且满足（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值.【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】（）（） 解析：（
13、）在ABC中，2a=bsinA+acosB，由正弦定理可得2=sinB+cosB=2sin（B+），sin（B+）=1，B是三角形内角，B=（）由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，22=a2+c22accos60，化为a2+c2ac=442acac=ac，当且仅当a=c时取等号SABC=acsin60=ac4=ABC面积的最大值：【思路点拨】（）在ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得 B 的值（）利用余弦定理和基本不等式即可得出【题文】19.（12分）（原创）已知（1）求函数在处的切线方程（用一般式作答）；（2）令，若关于的不等式有实数解.求实数的取值范围.【知识点】
14、利用导数研究函数的切线方程;利用导数求解不等式问题.B11【答案】【解析】（1）（2） 解析：（1）由题，则，则所求切线为即（2），显然时不是不等式的解，故，故由（1）可知，则.【思路点拨】（1）先对原函数求导,再利用点斜式求出直线方程即可;（2）把原不等式转化,再求出即可.【题文】20.（12分）如图，几何体中，为边长为的正方形，为直角梯形，（1）求证: （2）求几何体的体积【知识点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积G7 G11【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）证明：由题意得，且，平面， ， 2分四边形为正方形. 由 4分又四边形为直角梯形， ， 则有 由 6分（
15、）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且.8分 9分 11分 几何体的体积为 12分【思路点拨】（1）根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用几何体的体积V=VEABCD+VBCEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算【题文】21.（12分）（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，其离心率为，且与轴的一个交点为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知椭圆C过点，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线，到的距离分别为.探究：是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆在其上一点处的切线方程是)；（3）求（2）中的取值范围.【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.H5 H8【答案】【解析】(1) 或（2）见解析;(3) 解析：(1)由题，因为椭圆C与轴的一个交点为，则若，则，则椭圆C方程为；若，则，则椭圆C方程为.故所求为者或（2）因为椭圆C过点，故椭圆C方程为，且设，则的方程是，则，因为，故，故，又因为，代入可得，故为定值；（3）由题因为，故.【思路点拨】（1）由离心率为得到,而椭圆C与轴的一个交点为，则分类分析可得结果;（2）由已知条件确定椭圆方程为,然后找出的表达式,再结合,可得结果为定值;（3）由题意求出其表达式,借助于可得结果.
