1、探究函数探究函数 x ya 与与 logayx 图象的交点个数问题图象的交点个数问题 函数 x ya与logayx (0,1)aa且互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的 交点个数取决于a的取值在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它 们图象的交点个数问题 探究 由 log x a ya yx ， 得 （1）当1a 时 + ， 得 yx yaax. 令( ),0. x f xax x 则( )( )f yf x, 即 ()( ) x f af x. 1a , ( )f x为 增 函 数 , x ax. 两 边 取 自 然 对 数 , 得lnln x ax, 即 lnln0x
2、ax. 令( )lnln ,0g xxax x. 求导,得 1 ( )lng xa x 令( )0g x,得 1 ln x a 当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x 1 ( 0,) lna 1 ln a 1 (,) lna ( )g x 0 + ( )g x 极小值 由上表可知,当 1 ln x a 时,( )=g x 极小值 1 1 ln1 ln ln ln a a ( )g x只有一个极值, min ( )1 ln lng xa . () 当1 ln ln0a，即 1 e ae时，方程( )0g x 无解，此时函数 x ya与 logayx的图象没有交点； ()
3、 当1 ln ln0a，即 1 e ae时，方程( )0g x 有一 解，此时函数 x ya与 logayx的图象有一个交点； () 当1 ln ln0a， 即 1 1 e ae时， 由于( )g x在0,内连续， 且当0x 时， ( )g x ；当x 时，( )g x ， 方程( )0g x 有两解，此时函数 x ya与 (0,0)xy其中 x y ya ax logayx的图象有两个交点 （2）当01a时 由、，消去y，得 x a a x 由于0 x a ，且01a，故0 x a a1,即01x 对式两边取自然对数，得lnln x aax，即 ln ln x x a a 两边取自然对数，得
4、 ln lnln ln x xa a 令 ln ( )lnln ,0,1 ln x h xxax a 求导，得 1 ( )ln ln h xa xx 由( )0h x，得 1 ln ln xx a 令 1 ( )ln,(0,1) ln xxxx a 则( )ln1xx 由( )0x，得 1 x e 当 1 (0, )x e 时，( )0x；当 1 ( ,1)x e 时，( )0x 当 1 x e 时， min 111 ( )( ) ln x eea () 当 11 0 lnea ，即 1 e a e 时，( )0x恒成立 1 ln ln xx a ，01a， 01x， 1 ln0 ln a x
5、x ，即( )0h x，当且仅当 1 e a e ，且 1 x e 时取“”号 ( )h x在(0,1)内是减函数 又当0x 时，( )h x ；当1x 时，( )h x ， 且( )h x在(0,1)内连续，方程( )0h x 恰有一解，此时函数 x ya与logayx的图象有一 个交点 () 当 11 0 lnea ，即 1 0 e a e 时， 01 1 lim( )lim( )0 ln xx xx a ，且( )x在 (0,1)内连续，存在 11 (0, ),( ,1)mn ee ，使得( )( )0mn，( )( )0h mh n. 当x变化时，( ), ( )h x h x的变化情
6、况如下表： (0,)m ( , )m n ( ,1)n ( )h x + ( )h x 由上表可知，( )h x在(0,)m内是减函数，在( , )m n内是增函数，在( ,1)n内是减函数. 下面证明, 1 ()0 e h a, 1 ( )0h e . x 1 11 ln ()lnln ln e ee a h aaa a 1 1ln e aa , 1 0 e a e . 令 ( )F a 1 1ln e aa , 1 0 e a e . 则当 1 0 e a e 时, ( )F a 11 1 11 ln ee aaa ea 1 11 ( ln1) e aa e 1 11 1 ( ln1) e
7、 e a ee 0. ( )F a在 1 (0,) e e 内是增函数, 又( )F a在 1 (0, e e 上连续, 当 1 0 e a e 时, 1 ( )()0 e F aF e ,即 1 ()0 e h a. 1 ln 11 ( )lnln ln e ha eae 1 ln( ln )lnaa e , 1 0 e a e . 令 ( )G a 1 ln( ln )lnaa e , 1 0 e a e .易证它为减函数, 当 1 0 e a e 时, 1 ( )()0 e G aG e ,即 1 ( )0h e . 1 0 e a e , 1 1 01 e a e , 又当0x 时，( )h x ； 当1x 时， ( )h x ， 且( )h x在(0,1)内连续， 结合( )h x的单调性, ( )h x在区间 1 (0,) e a, 1 1 (, ) e a e , 1 ( ,1) e 内各有一个解. 此时函数 x ya与logayx的图象有三个交点 综上所述, 函数 x ya与logayx(0,1)aa且图象的交点有如下情况： 当 1 e ae时，没有交点； 当 1 e ae时，有一个交点； 当 1 1 e ae时，有两个交点； 当 1 1 e a e 时,有一个交点； 当 1 0 e a e 时，有三个交点
