1、2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。第I卷1至2页，第II卷2至4页.共4页。满分150分。考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在
2、本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。第卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的【题文】1.已知集合A=xZ|x2-10，B=x|x2-x-2=0，则AB=(A) (B) 2(C) 0(D) -1【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A=-1，0，1, B=-1，2，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，1”(B) 命题“，”的否定是
3、“，1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”【知识点】四种命题 A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3设各项均不为0的数列an满足(n1)，Sn是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B) (C) (D) 【知识点】等比数列. D3 【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D.【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求
4、.【题文】4如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则= (A) -3(B) (C) 3(D) 【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以,故选 A.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5已知，那么=(A) (B) (C) (D) 【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以，即，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x值.【题文】6已知x，y满足则2x-y的最大值为(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4 http/ 【知识点】简单的线性规划.E5【答
5、案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y得 ，当此直线过可行域中的点A（1,0）时 2x-y有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y，画出可行域平移目标函数得点A（1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x，则“x”是“sin(sinx)ac,故选C.【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是 (A)(B) (C) (D) 【知识点】分段函数的应用 B1【答案解析】D 解析：解：若x0，则x0，x0时，f（x）=sin（）1，f（x）=
6、sin（）1=sin（）1，则若f（x）=sin（）1，（x0）关于y轴对称，则f（x）=sin（）1=f（x），即y=sin（）1，x0，设g（x）=sin（）1，x0作出函数g（x）的图象，要使y=sin（）1，x0与f（x）=logax，x0的图象至少有3个交点，则0a1且满足g（5）f（5），即2loga5，即loga5，则5，解得0a，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）1，（x0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10已知R，且对xR恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D) 【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由对xR恒成立，显然
7、a0，b-ax若a=0，则ab=0若a0，则aba-a2x设函数，求导求出f(x)的最小值为设，求导可以求出g(a)的最大值为，即的最大值是，此时【思路点拨】利用导数证明不等关系第II卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第II卷共11小题。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分【题文】11若，则_【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值.C7【答案解析】 解析：因为所以.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.【题文】12已知
8、向量a=(1，2)，b=(2，0)，若向量a+b与向量c=(1，-2)共线，则实数=_【知识点】向量共线的意义.F1【答案解析】-1 解析：因为，所以=，又与共线，所以.【思路点拨】根据向量的坐标运算求得的坐标，再由与向量共线得关于的方程，解此方程即可.【题文】13某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(qN*)的函数关系式为C=100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_【知识点】基本不等式 E1【答案解析】40 解析：解：销售收入利润每件产品的平均利润因为所以当且仅当时每件产品的平均利润最大，所以答案为40【思路点拨】表示出销售
9、收入、利润、每件产品的平均利润，利用基本不等式即可求得最大值及产量值.【题文】14已知函数f (x)=，则f ()f ()f ()f ()=_【知识点】函数的性质 B10【答案解析】3021 解析：解：因为，所以f ()f ()f ()f ()=【思路点拨】根据函数本身的性质找出规律进行求解.【题文】15定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点例如y=| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点给出以下命题： 函数是上的“平均值函数” 若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0 若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 若是区间a，
10、b (ba1)上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【知识点】新定义型函数 B10【答案解析】 解析：解：容易证明正确不正确反例：在区间0，6上正确由定义：得，又所以实数的取值范围是正确理由如下：由题知要证明，即证明： ，令，原式等价于令，则，所以得证【思路点拨】根据新函数的定义可分析每一个选项的正误情况.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤【题文】16（本小题满分12分）已知向量m=(sinx，cosx)，n=(cosx，cosx)，其中0，函数2mn-1的最小正周期为() 求的值；() 求函数在，上的最大值【知识
11、点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2【答案解析】(1) (2) 解析：解：()2mn-1= 6分由题意知：，即，解得7分() 由()知， x，得，又函数y=sinx在，上是减函数， 10分 =【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再根据解析式在定义域内求出函数的最大值.【题文】17（本小题满分12分）已知函数f (t)=log2(2-t)+的定义域为D() 求D；() 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值【知识点】函数的定义域;二次函数的最值.B1,B5【答案解析】(I) (II) 解析：解：() 由题知解得，即3分() g (x)
12、=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为4分 若2，即m-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值； 若，即时， g (x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在；1即m-1时， g (x)在上单调递增，此时，解得m=1 11分综上： 【思路点拨】由解析式成立的条件可以得到函数的定义域，再根据二次函数的性质求出m.【题文】18（本小题满分12分）BCDA在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，() 若，求的值；() 若是边中点，且，求边的长【知识点】正弦定理;余弦定理.C8【答案解析】(I) (II) 解析：解：() ，由余弦定理：=52+22-252=25， 3分 又 ，所
13、以，由正弦定理：，得6分BCDAE() 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，则，BE=2BD=7，CE=AB=5，在BCE中，由余弦定理： 即，解得： 10分在ABC中，即【思路点拨】由题意可利用余弦定理和正弦定理求出角的正弦值，再利用余弦定理求出边长.【题文】19（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前项和为，成等比数列() 求数列的通项公式及；() 若，n=1，2，3，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由【知识点】等差数列;等比数列;数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I) ，(II) 解析：解：() 由，得：解得： ， 5分(
14、) 由题知 若使为单调递减数列，则-=对一切nN*恒成立， 8分即： ，又=，10分当或时， = 12分【思路点拨】根据已知条件可求出数列的首项与公差，再根据数列的性质确定的值.【题文】20（本小题满分13分）已知函数(e为自然对数的底数)，a0() 若函数恰有一个零点，证明：；() 若0对任意xR恒成立，求实数a的取值集合【知识点】导数;导数与函数值.B11,B12【答案解析】(I)略(II) 的取值集合为 解析：解：()证明： 由，得1分由0，即0，解得xlna，同理由0解得xlna， 在(-，lna)上是减函数，在(lna，+)上是增函数，于是在取得最小值又 函数恰有一个零点，则， 4分
15、即 5分化简得：， 6分()解：由()知，在取得最小值，由题意得0，即0，8分令，则，由可得0a1 在(0，1)上单调递增，在(1，+)上单调递减，即， 当0a1时，h(a)0， 要使得0对任意xR恒成立， 的取值集合为 13分【思路点拨】根据函数的导数可判定函数的单调性，利用函数性质进行证明，再根据导数确定a的取值.【题文】21（本小题满分14分）已知函数(m，n为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线方程是() 求m，n的值；() 求的单调区间；() 设(其中为的导函数)，证明：对任意，【知识点】导数，函数的单调性 B3,B11【答案解析】(I) m=n=2 (II) 的单调增区间是(
16、0，1)，的单调减区间是(1，+)(III) 对任意， 解析：解：()由得()由已知得，解得m=n 又，即n=2， m=n=23分() 由 ()得，令，当x(0，1)时，；当x(1，+)时， 又，所以当x(0，1)时，； 当x(1，+)时， 的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+)8分() 证明：由已知有，于是对任意， 等价于，由()知， ，易得当时，即单调递增； 当时，即单调递减所以的最大值为，故设，则，因此，当时，单调递增，故当时，即 对任意， 14分【思路点拨】由题意可利用函数的导数对问题进行求解，应用导数与函数的关系可进行分析.30232 7618 瘘39440 9A10 騐8T34528 86E0 蛠33720 83B8 莸&29255 7247 片29339 729B 犛37569 92C1 鋁34613 8735 蜵20409 4FB9 侹
