1、专题07 不等式易错点1 忽视不等式隐含条件致误设，若12,24，则的取值范围是_【错解】由得，得：， 得：.由此得4=4a2b11，所以的取值范围是4,11【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了的范围扩大【试题解析】解法一：设=mn(m、n为待定系数)，则4a2b=m(ab)n(ab)，即4a2b=(mn)a(nm)b，于是得，解得.=3又12,24，5310，即510.解法二：由，得，=4a2b=3又12,24，5310，即510.解法三：由题意，得，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当=4a2b过点时，取得最小值；当=4a2b过点B(3,1)时，取得最大值4321
2、=10，510.【答案】（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围1已知实数，满足，则的取值范围是ABCD【答案】B【解析】解：令，,则又，因此，故选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：若,则；若，则；若且,则；若,则.其中正确命题的序号是 .【错解】,又,则，故正确；当时，,故不正确；正确；由知,，故,故不正确.故填.【错因分析】忽略了不等式性质成立
3、的条件；中的推论显然不正确.【试题解析】当ab0时，不成立，故不正确；当cb不成立,故不正确；当a=1,b=2,k=2时，命题不成立，故不正确；由ab0ab00cacb,两边同乘以,得,又,故正确.故填.【答案】不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bcabac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)(3)“ab0anbn(nN*，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n1，a3，b2，那么就会出现“3121”的错误结
4、论；假如去掉“b0”这个条件，取a3，b4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论2若非零实数满足，则下列不等式成立的是ABCD【答案】C【解析】A, 不一定小于0，所以该选项不一定成立；B,如果a0，b0时， 不成立，所以该选项不一定成立；C, ，所以，所以该不等式成立；D, 不一定小于0，所以该选项不一定成立.故选：C【名师点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x的不等式mx2mxm10恒成立，则m的取值范围为_【错解】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，所以m0
5、且m24m(m1)0，解得m0故实数m的取值范围为(，0)【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解【试题解析】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，当m0时，10恒成立；当m0时，易知m0且m24m(m1)0，解得m0综上，实数m的取值范围为(，0【答案】(，0解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判：计算对应方程的判别式三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写：利用“大于取两边，小于取中间”
6、写出不等式的解集3若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围是A或BCD【答案】C【解析】由题得时，x0，与已知不符，所以.当m0时，所以.综合得m的取值范围为.故选C.【名师点睛】不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，
7、求谁的范围，谁就是参数.易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式【错解】原不等式可化为，即，等价于，即，因为，所以当，即或时，；当，即时，；当，即时，综上，当或时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或【错因分析】显然当a0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的实际上错解中的变形非同解变形，因为a1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a10时的情况【试题解析】显然当时，原不等式是不成立的当a0时原不等式可化为，即，等价于(*)，当时，(*)式可转化为，即，即当时，(*)式可转化为当时，(*)式可转化为又当时，所以当或时，；当时，综上，当时，原不等
8、式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错4已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求解集；（2）若，解不等式的解集.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）.不等式的解集为， 的解集为.（2）时，不等式，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时时，不等式的解集为.易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x，y满足约束条件，则目
9、标函数z=3x2y的最小值为A5 B4C2 D3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x2y平移到过点(1,0)时取得最小值，即zmin=3120=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x2y=z平移到过点(0,2)时，z=3x2y的值最小，最小值为4，故选B.形如z=AxBy(B0)，即，为该直线在y轴上的截距
10、，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号5若实数x，y满足，则的最大值是A B0 C3 D4【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最大此时z的最大值为，故选C.易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误若x0，y0，且x2y1，则的最小值为_【错解】因为x0，y0，所以1x2y，即8xy1，即xy，故8因为，所以故的最小值为【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y，但这两次取“”需满足x2y与xy，互相矛盾，所以“”不能同时取到，从而导致错误【试
11、题解析】因为x2y1，x0，y0，所以，当且仅当，即，即时取等号故的最小值为连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立6若正数满足，则的最大值为A BC D【答案】A【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得.求的最大值，可先求的最小值.因为，当且仅当时取等号.所以的最大值为.故选A.【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式1比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论注意
12、：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：介值比较法的理论根据是：若ab,bc,则ac，其中b是a与c的中介值. 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的两种
13、方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件3求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.二、一元二次不等式及其解法1解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式（2）二判：计算对应方程的判别式（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式
14、的解集2解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式（2）判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.3解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值即若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立(或
15、);若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.5简单分式不等式的解法若与是关于的多项式，则不等式(或0，或0，或0)称
16、为分式不等式解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解即;.对于形如a(或b，则Aln(ab)0B3a0Dab8已知,若,则当取得最小值时,A2 B4C6 D89设实数满足,则的最小值为A4 B C D010若存在实数使不等式组与不等式都成立,则实数的取值范围是A B C D11已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A BC D12已知关于x的不等式x24ax6a20)的解集为(x1,x2),则x1x2的最小值是A B C D13若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是_14实数满足能说明“若的最大值是，则”为假命题的一组值是_15已知是任意实数,则关于
17、的不等式的解集为 .16【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为_17已知,若,则的最小值为 .18已知实数x,y满足不等式组则z=x2+y2-10y+25的最大值为 .19设实数x,y满足则u=的取值范围是 .20在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_21【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次
18、购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_22已知实数，满足，则的最大值是_23已知，若点在直线上，则的最小值为_.24某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?_
