1、6.2.3向量的数乘运算素养目标定方向素养目标学法指导1了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(直观想象)2理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(数学运算)3理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理)1要进一步深化类比实数的乘法运算，加强对向量的数乘运算的理解，并且感受两者的差异.2类比三角函数伸缩变换的特征感受向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进一步理解两个平面向量共线的含义.3进一步深化对线性运算几何意义的理解，把握平面几何中位置关系与向量共线之间的联系.必备知识探新知知识点1向量的数乘运算1向量的数乘的定义一般地，我们
2、规定实数与向量a的积是一个_向量_，这种运算叫做向量的_数乘_，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|_|a|_.(2)a(a0)的方向由(1)知，当0时，a0，由(1)(2)知，(1)aa.2向量数乘的运算律设，为实数，那么(1)(a)_()a_.(2)()a_aa_.(3)(ab)_ab_.特别地，我们有()aa(a)，(ab)ab.3向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)_1a2b_.知识解读(1)a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|倍.(2)是实数，a是向
3、量，它们的积a仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如a，a均没有意义.(3)注意向量数乘的特殊情况：若0，则a0；若a0，则a0知识点2向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使_ba_.知识解读关于共线向量定理的说明：(1)定理中，向量a为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况.(2)条件a0是必须的.否则当a0，b0时，虽然b与a共线，但不存在实数，使得ba；当a0，b0时，可以是任意实数.(3)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数，使得ba即可.(4)若ba(R)，则a与b共线.(5)由本性质定理知，若向量，则，共线.又，有公共点A，从而A，B，C
4、三点共线，这是证明三点共线的重要方法.关键能力攻重难题型探究题型一向量的线性运算典例1计算：(1)4(ab)3(ab)8a；(2)(5a4bc)2(3a2bc)；(3)(4a3b)b(6a7b).分析运用向量数乘的运算律求解.解析(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.(2)原式5a4bc6a4b2cac.(3)原式(4a3bbab)(ab)ab.归纳提升向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.【对点练习】(1)下列各式计算正确的有(C)(7)6a42
5、a；7(ab)8b7a15b；a2ba2b2a；4(2ab)8a4b.A1个B2个C3个D4个(2)若abc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)的结果为(A)AaB4bCcDab解析(1)正确，错，7(ab)8b7a7b8b7ab.(2)3(a2b)2(3bc)2(ab)(32)a(662)b2ca2(bc)a2aa.题型二用向量的线性运算表示未知向量典例2如图所示，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形，又BMBC，CNCD，试用a，b表示、.分析解析()(ab)，babab.，()ab，(ab)abab.归纳提升解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则
6、表示，然后逐步用已知向量代换表示.【对点练习】(1)在ABC中，若点D满足2，则等于(D)ABCD(2)如图所示，已知在ABC中，DEBC，DE交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设a，b，用a，b表示向量，.解析(1)如图所示，由题意可得().(2)DEBC，a，b，ADEABC，(ba).ADNABM，且，.又aa(ba)，(ab).题型三共线向量定理及其应用典例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab与akb共线.分析(1)欲证三点A、B、D共线，即证存在实数，使，只要由已知条件找出即可.(2)由两
7、向量共线，列出关于a、b的等式，再由a与b不共线知，若ab，则0解析证明：(1)ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)即kabakb，(k)a(k1)b，a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210k1归纳提升1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可.(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy且xy12利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根
8、据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ba(a0).而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值.【对点练习】已知向量a5b，2a8b，3(ab)，(1)求证：A、B、D三点共线；(2)求证：xy(其中xy1).解析(1)2a8b3(ab)a5b，a5b，又、有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)2a8ba5ba13b，xyx(2a8b)3y(ab)(2x3y)a(8x3y)b.，所以xy，其中xy1易错警示进行向量的线性运算时忽略图形的性质典例4已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，B
9、D的中点，设a，b，试用a，b表示.错解如图所示，连接BE并延长，交CD于点G，连接AG，由于点E是AC的中点，所以四边形ABCG是平行四边形，所以，所以ba.又EF是BGD的中位线，所以.所以(ab).错因分析由于四边形ABCD不一定是梯形，只是一般的四边形，所以点E不一定为BG的中点，所以四边形ABCG不一定是平行四边形，即不一定等于a.正解如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.在ABC中，EP是中位线，所以a.在ABD中，FP是中位线，所以b.在EFP中，ab(ab).误区警示在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.【对点练习】已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：().解析取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.E为AD的中点，.F是BC的中点，().又，()().()().
