1、2022年中考数学压轴题1如图，抛物线yax2+2x+c（a0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OBOC3（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当SCOF：SCDF3：2时，求点D的坐标（3）如图2，点E的坐标为（0，-32），在抛物线上是否存在点P，使OBP2OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）c3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：yax2+2x+3并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）如图1
2、，过点D作DHx轴于点H，交AB于点M，SCOF：SCDF3：2，则OF：FD3：2，DHCO，故CO：DM3：2，则DM=23CO2，由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：yx+3，设点D（x，x2+2x+3），则点M（x，x+3），DMx2+2x+3（x+3）2，解得：x1或2，故点D（1，4）或（2，3）；（3）当点P在x轴上方时，取OGOE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使GBMGBO，则OBP2OBE，过点G作GHBM，设MHx，则MG=x2+94，则OBM中，OB2+OM2MB2，即（x2+94+32）2+9（x+3）2，解得：x2，故MG=x2+94=5
3、2，则点M（0，4），将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BM的表达式为：y=-43x+4，联立并解得：x3（舍去）或13，故点P（13，329）；当点P在x轴下方时，同理可得：点P（-73，-649）；综上，点P的坐标（13，329）或（-73，-649）2如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+233x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=-33x+3（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在
4、直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B，P，取AB的中点E，连接EB，EP，试探究EB+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解：（1）y=-33x+3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-33，故抛物线的表达式为：y=-33x2+233x+3；（2）当PCM90时，由点A、B、C的坐标知，ABC为直角三角形，故ACBC，当PCM为直角三角形时，点P与点A重合，点P（1，0）；当CPM90时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，3
5、），故点P的坐标为（1，0）或（2，3）；（3）存在，理由：点P（2，3），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移3m个单位，则平移后点B、P的坐标分别为：（33m，3m）、（23m，3m+3），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B作直线m的对称点B，则EBEB，当B、E、P三点共线时，EB+EPEB+EPBP最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B在直线n上，直线BC的倾斜角为30，则直线BB的倾斜角为60，则设直线BB的表达式为：y=3x+b，将点B的坐标代入上式并解得：直线BB表达式为：y=3x+（43m33），设过点A的
6、直线n的表达式为：y=-33x+b，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y=-33（x+1），联立并解得：x23m，故点B（23m，3m-3），而P（23m，3m+3），故EB+EP的最小值BP233如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x22x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：ADMACM45；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的
7、延长线与线段OM交于点G当BEF2BAO时，是否存在点E，使得3GF4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由（1）解：对于抛物线y=13x22x，令y0，得到13x22x0，解得x0或6，A（6，0），直线y=-12x+b经过点A，03+b，b3，y=13x22x=13（x3）23，M（3，3）（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y=-12x+n平移后的直线经过M（3，3），3=-32+n，n=-32，平移后的直线的解析式为y=-12x-32，过点D（2，0）作DHMC于H，则直线DH的解析式为y2x4，由y=2x-4y=-12x-32，解得x=1y=-2，H（1，2），D
8、（2，0），M（3，3），DH=22+12=5，HM=12+22=5，DHHMDMC45，ADMDMC+ACM，ADMACM45（3）解：如图2中，过点G作GHOA于H，过点E作EKOA于KBEF2BAO，BEFBAO+EFA，EFABAO，EFAGFH，tanBAO=OBOA=36=12，tanGFHtanEFK=12，GHEK，GFEF=GHEK=43，设GH4k，EK3k，则OHHG4k，FH8k，FKAK6k，OFAF12k3，k=14，OF3，FKAK=32，EK=34，OK=92，E（92，34）4如图，已知抛物线：y1x22x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点
9、C（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B两点（B在B的右侧），顶点D的对应点为点D，若BDB90，求点B的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）对于y1x22x+3，令y10，得到x22x+30，解得x3或1，A（3，0），B（1，0），令x0，得到y13，C（0，3）（2）设平移后的抛物线的解析式为y2（xa）2+b，如图1中，过点D作DHOB于
10、H，连接BDD是抛物线的顶点，DBDB，D（a，b），BDB90，DHBB，BHHB，DHBHHBb，a1+b，又y2（xa）2+b，经过B（1，0），b（1a）2，解得a2或1（不合题意舍弃），b1，B（3，0），y2（x2）2+1x2+4x3（3）如图2中，观察图象可知，当点P的纵坐标为3或3时，存在满足条件的平行四边形对于y1x22x+3，令y13，x2+2x0，解得x0或2，可得P1（2，3），令y13，则x2+2x60，解得x17，可得P2（1-7，3），P3（1+7，3），对于y2x2+4x3，令y23，方程无解，令y23，则x24x0，解得x0或4，可得P4（0，3），P5（4，
11、3），综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，3）或（1-7，3）或（1+7，3）或（0，3）或（4，3）5如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的O1和BCH的外接圆O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点【解答】证明：如图，延长AP交O2于点Q，连接AH，BD，QB，QC，QH因为AB为O1的直径，所以ADBBDQ90（5分）故BQ为O2的直径于是CQBC，BHHQ（10分）又因为点H为ABC的垂心，所以AHBC，BHAC所以AHCQ，ACHQ，四边形ACQH为平行四边形（15分）所以点P为CH的中点（20分）6如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90点B是MN上一动点，
12、BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值【解答】解：（1）证明：连接OB，如图，BAOM，BCON，BAOBCO90，AOC90，四边形OABC是矩形ABOC，ABOC，E、G分别是AB、CO的中点，AEGC，AEGC，四边形AECG为平行四边形CEAG，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GFOB，DEOB，PGEQ，四边形EPGQ是平行四边形；（2
13、）如图，当CED90时，EPGQ是矩形此时AED+CEB90又DAEEBC90，AEDBCEAEDBCE，ADBE=AEBC设OAx，ABy，则x2：y2=y2：x，得y22x2，又 OA2+AB2OB2，即x2+y212x2+2x21，解得：x=33当OA的长为33时，四边形EPGQ是矩形；（3）如图，连接GE交PQ于O，四边形EPGQ是平行四边形，OPOQ，OG0E过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B、A由PCFPEG得，PGPF=PEPC=GEFC=21，PA=23AB=13AB，GA=13GE=13OA，AO=12GEGA=16OA在RtPAO中，PO2PA2+AO2，即 PQ24=AB29+OA236，又 AB2+OA21，3PQ2AB2+13，OA2+3PQ2OA2+（AB2+13）=43
