1、4-1.2.1 任意角的三角函数（二）【课题】：任意角的三角函数线【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等数学思维能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正
2、弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：借助几何画板软件，师生探讨数学问题，做数学实验，让学生经历概念的形成过程，以突破难点.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”科研式教学.（2）学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.【课前准备】：多媒体功能室【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一
3、定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.三、概念学习，分散难点有向线段：带有方向的线段.（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者
4、为终点，由起点指向终点.如：有向线段OM，O为起点，M为终点，由O点指向M点.OM （动态演示）（2）数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值.如： OM= 1, ON= -1,AP = 相关概念的学习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.四、实验探索，辨析研讨1、正弦线的定义教师提问：任意角的正弦如何定义?学生回顾：角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是（），它与原点的距离是r，则.教师引导：能否用几何图形表示出角的正弦呢?学生活动：利用几何画板画图，分组讨论分析.联想角的弧度数与弧长的转化，
5、类比猜测：若令r=1，则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线，设垂足为M，则线段MP=.（学生分析的同时，教师用几何画板对第一象限角的情况进行演示）Oxya角的终边PTMA教师引导：很好！那么当角的终边落在第三象限时，我们仍取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线，设垂足为M，得到线段MP.此时，角的正弦值还是等于线段MP的大小吗？（教师边讲边画图演示）学生回答：不等于. 因为此时y是负的，即是负的，但线段MP的美国华盛顿一所大学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲
6、身体验知识的发生和发展过程.大小永远是正的.教师引导：很好！能否给线段规定一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致？学生讨论并试回答后，教师整理：我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关. 当角的终边不在轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有.教师说明：这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.2、余弦线的定义教师提出：用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?并说明理由.学生活动：有几何画板演示说明有向线段OM叫做角的余弦线.3、正切线
7、的定义教师提出：你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？学生活动：画图观察，思考讨论.的终边MPOxyT的终边AT A-11(T)教师引导：根据三角函数的定义, ，若令=1, 则找到角终边上一点T（1,y），此时=AT.教师提出讨论焦点：但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点.学生活动：类比联想，提出：取=-1的点T(-1,y)，则有向线段TA=-=tan.教师进一步指出：但此时有向线段的表示方法又不能统一.教师引导学生观察：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？学生讨论分后教师帮助学生统一认识：方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T，则tan
8、=AT；方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到=.学生活动：几何画板演示验证.（教师在演示过程中，强调有向线段AT的大小和方向与的关系)教师说明：我们把有向线段AT叫做角的正切线.类比联想、既能使学生进一步理解刚学过的指示，又能培养他们的数学思维能力.五、作法总结，变式探究1、 做法总结：教师讲解：正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.教师引导：请大家总结这三种三角函数线的作法,并分别画出当角的终边在第二、第三、第四象限时的正弦线、余弦线和正切线.学生活动：讨论归纳做法，画图验证： 改变角的终边位置，动手作出垂线段MP、OM、AT，观察终边在第二、第三、第四象限时的情形,注意有向
9、线段的方向和三角函数值正负的对应.教师整理归纳做法：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.教师应特别强调：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.2：探究：当的终边与轴或轴重合时，又是怎样的情形呢？学生活动：根据定义画图探究，交流讨论.教师提问学生回答后整理：特别地,当角的终边在轴上时
10、,有向线段MP、AT变成一个点,记数值为0，而有向线段OM=1(角的终边在轴的正半轴)或OM=-1(角的终边在轴的负半轴)；当角的终边在y轴上时, 有向线段MP=1(角的终边在y轴的正半轴)或MP=-1(角的终边在y轴的负半轴) ，有向线段OM变成一个点,记数值为0, 而有向线段AT不存在.及时归纳总结，加深知识的理解和记忆.变式探究，进一步加深对知识的理解六、巩固训练，提高能力例1 利用几何画板比较下列各组数的大小：(1) 与 ;(2) cos与cos ; (3) tan与tan oBAT2T1P2P1 M2M1 S1解： 如图可知： cos costan tan .学生先做，教师引导学生利
11、用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想例2 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边：（1）； （2）； （3）.共同分析（1），设角的终边与单位圆交于P(),则=,所以要作出满足的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则射线OP即为的终边.（教师利用几何画板动态演示）请学生分析（2）、(3),同时用几何画板演示.例3 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：（1） ; （2）- . 分析：先作出满足 ，的角的终边(例2已做)，然后根据已知条件确定角终边的范围.（教师用几何画板动态演示）答案：（1）.（2）.延伸：通过（1）、（2）两图形的复合
12、又可以得出不等式组的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法；提高运用知识的能力；体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.解集：七、思维拓展、知识延伸教师引导：观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律，得出哪些结论？请分小组讨论，说明你的观点和理由，并以组为单位提交结果，快者加分！学生活动：热烈讨论，提高出的结论有：(1)
13、sin2 + cos2 = 1;(2)sin + cos 1;(3) -1sin1, -1cos1, tanR;(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数;(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;(6) 当角的终边在直线的右下方时, sincos ;当角的终边在直线的左上方时, sincos ;给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境，既使他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想.这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后，顺利到达数学学习的新境界.八、归纳小结1.回顾三角函数线作法.2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思想,便于学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究.九、作业1、课本相应习题2、同步测试训练
