1、 2005 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（山东文科类）试题精析详解 一.选择题（5 分12=60 分） (1) n a是首项 1 1a ，公差3d 的等差数列，如果2005 n a ，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 【思路点拨】本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 【正确解答】 1 (1)1 3(1)2005 n aandn ，解得669n，选 C 【解后反思】 等差等比数列的通项公式和前 n 项和的公式是数列中的基础知识， 必须牢固掌 握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. （2）下列大小关系正确的是 （A） 30.4 4
2、0.43log 0.3 （B） 30.4 4 0.4log 0.33 （C） 30.4 4 log 0.30.43 （D） 0.43 4 log 0.330.4 【思路点拨】本题考查指数函数，对数函数的对称性质.实数的大小可用特殊值比较，如 0， 1 等，也可用数形结合的思想作出相应函数的图象，从图象上观察得到. 【正确解答】解法 1： 4 log 0.30， 0.4 31， 3 00.41， 故 30.4 4 log 0.30.43，选 C. 解法 2：在同一坐标系中分别得出 4 0.4 ,3 ,log xx yyyx 的图象，分别求出当自变量 x 取 3，0.4，0.3 时的函数值， 得到
3、 30.4 4 log 0.30.43.故选 C. 【解后反思】掌握特殊与一般的关系构造模型函数，利用图象 的性质较为便捷，要有数形结合的意识. （3）函数 1 (0) x yx x 的反函数的图象大致是 （A） （B） （C） （D） 1 y 0.3 0.4 1 3 O x 【思路点拨】本题考查反函数的概念及函数的图象。利用互为反函数图象间的关系，考查识 图（或作图）能力，可采用直接法，即求出原函数的反函数，并画出图象. 【正确解答】 1 (0) x yx x 的反函数为 1 (1) 1 yx x 它的图象是将函数 1 y x 的图 象向左平移 1 个单位后得到的 .，选 B. 【解后反思】
4、函数与图象的性质是历年高考的重点，要深刻理解灵活运用函数的性质，本题 也可从互为反函数的性质：互为反函数的定义域与值域互换进行分析可选 C. （4）已知函数sin()cos() 1212 yxx ，则下列判断正确的是 （A）此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0) 12 （B）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0) 12 （C）此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0) 6 （D）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0) 6 【思路点拨】 本题考查三角函数的二倍角公式及图象和性质， 化简函数解析式再利用图象的 性质即可解决. 【正确解答】 1
5、 sin()cos()sin(2) 121226 yxxx ，最小正周期为，对称中心的 横坐标为 x= 212 k , 当 k=0 时,其图象的一个对称中心是(,0) 12 ，选 B 【解后反思】一般地，sin()(0)yAx 的对称中心为 1 (),0)k ，对称轴方 程为 1 ()() 2 xkkZ ，本题在求对称中心时也可用验证法，也就是在函数中取 一个恰当的 x 值使 y=0. （5）下列函数中既是奇函数，又在区间 1,1上单调递减的是 （A）( )sinf xx （B）( )|1|f xx （C） 1 ( )() 2 xx f xaa （D） 2 ( )ln 2 x f x x 【思
6、路点拨】本题考查函数的奇偶性和增减性，可根据其定义逐个淘汰. 【正确解答】选项 A： 1 ()()( ) 2 xx fxaaf x ，是偶函数，排除； 选项 B：()|1|fxx ，是非奇非偶函数，排除； 选项 C：()sin()sin( )fxxxf x ，是奇函数，在 1,1上单调递增，排除； 选项 D： 1 222 ()lnln()ln( ) 222 xxx fxf x xxx ，是奇函数，且在 1,1上单 调递减，故选 D. 【解后反思】解决函数问题时，必须理解从初等函数的图象入手，联想其相关性质，也就是 说要有数形结合的意识. （6）如果 32 1 (3)nx x 的展开式中各项系数
7、之和为 128，在展开式中 3 1 x 的系数是 （A）7 （B）7 （C）21 （D）21 【思路点拨】 本题主要考查二项展开式及通项公式的应用， 凡是求二项式展开式中的特殊项 或系数，常用其通项公式列出方程，求出 n 或.r 【正确解答】令1x ，则2128 n ，解得7n，展开式的一般项为 7 7 32 1 (3 ) () ttt Cx x ， 3 1 x 的系数是 116 7 3 ( 1)21C .故选 C. 【解后反思】熟练掌握 1r T 的表达式及解方程的思想，这里二项式中“”必须留心，并要 注意二项式系数、多项式系数的和与指定项的系数的区别与联系. （7）函数 2 1 sin()
8、, 10 ( ) , 0 x xx f x ex ，若(1)( )2ff a，则a的所以可能值为 （A）1 （B）1， 2 2 （C） 2 2 （D）1， 2 2 【思路点拨】函数解析式是高考的一个难点，本题考查分段函数的应用，函数的值域等，必 须对 a 的范围进行分类讨论. 【正确解答】 0 (1)1fe，所以( )1f a ， 当0a时，1a ； 当10a 时， 2 sin()1a， 2 2 a . 选 C. 【解后反思】因为(1)1f，故( ) 1f a ，本题实质上求方程( )1f a 的解，而分段函数必 须分段求，要注意各段函数定义域的范围，恰当地舍取和验证. （8）已知向量, a
9、b，且2ABab，56BCab，72CDab，则一定共线的三 点是 （A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D 【思路点拨】 本题考查向量的基础知识和运算能力， 理解和掌握两个向量共线和三点共线的 充要条件是解决本题的关键. 【正确解答】24BCCDBDab，因为2ABab，且有一个共点 B 所以 A、B、 D 三点共线.选 A 【解后反思】一般地，, a b（0b ） ，共线的充要条件是存在唯一实数，使ab.因 此寻找恰当的，注意共线向量与三点共线之间的区别与联系 （9）设地球半径为R，若甲地位于北纬45，东经120，乙地位于南纬75，东经120， 则甲、乙两地的
10、距离为 （A）3R （B） 6 R （C） 5 6 R （D） 2 3 R 【思路点拨】本量考查球的性质，球面距离的运算.，空间想象能力，可结合关于地球的经、 纬度等知识、球的性质，求出球心与这两点所成的圆心角的大小、利用弧长公式解决. 【正确解答】AOB=120 ， A、B 两点间的球面距离为 1202 2 3603 dRR .选 D 【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简 单，而求在同一纬度上的点 A、B 间的球面距离必须构建基本图 形：三棱锥 1 OAO B，其中 1 OO纬度面 AOB，AOOBR （R 为地球的半径） ， 11 O AOOBO是北纬度角， 1 AO
11、B是 A、B 两点所在经度的夹角（劣弧） ，AOB即是要所求 A、B 两 点间的球面距离的大圆的圆心角（小于 0 180） ，则 A、B 间的球 面距离为R，这里，是解决此类型问题的关键，也是难点. AB O1 O （10）10 张奖卷中只有 3 张有奖，5 个人购买，每人 1 张，至少有 1 人中奖的概率是 （A） 3 10 （B） 1 12 （C） 1 2 （D） 11 12 【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转 化为对立事件可简化为计算. 【正确解答】10 张奖卷中抽取 5 张可能的情况有 5 10 C种， 5 人中没有人中奖的情况有 5 7
12、C中， 先求没有 1 人中奖的概率， 5 7 5 10 1 12 C P C ， 至少有 1 人中奖的概率是 5 7 5 10 11 1 12 C P C ，选 D 【解后反思】 概率与统计这部分内容要求不高， 关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确 应用. （11）设集合 A、B 是全集 U 的两个子集，则AB是() U C ABU的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不必要也不充分条件 【思路点拨】本题考查集合的基本概念和基本运算，及充要条件的判断能力.抽象的两个集 合，可用特殊值法，列举法或画出图进行分析. 【正确解答】由AB可推出() U C ABU，
13、反之，() U C ABU不一定要满足 AB， 因此为充分不必要条件，选 A 【解后反思】要熟练掌握数学符号语言的等价转化，它是解决数学问题的必要条件，也是是 否具有数学素养的一个重要标志. （12）设直线:220lxy关于原点对称的直线为 l ，若 l 与椭圆 2 2 1 4 y x 的交点为 A、B，点 P 为椭圆上的动点，则使PAB的面积为 1 2 的点 P 的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【思路点拨】 本题考查直线和椭圆的位置关系的判定及相关性质， 可用直接法求得结果或数 形给合的方法. 【正确解答】由题意得 l ：220xy， 解不等式组 2 2 1 4 220 y
14、 x xy 得(0,2)A，(1,0)B，|5AB ，设( , )P x y, 11|22|1 |5 2225 PAB xy SAB d ，得|22| 1xy， 2 2 1 4 230 y x xy （1）或 2 2 1 4 210 y x xy （2） 方程组（1）无实数解，方程组（2）有两个不同的实数解，故满足条件的点 P 的个数为 2， 选 B. 解法解法 2：直线:220lxy关于原点对称的直线为 l ：2x+y2=0，该直线与椭圆相 交于A(1, 0)和B(0, 2)， P为椭圆上的点， 且PAB的面积为 1 2 ， 则点P到直线l的距离为 5 5 ， 在直线的下方，原点到直线的距离
15、为 2 5 5 ，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在 直线的上方，与 2x+y2=0 平行且与椭圆相切的直线，切点为 Q( 2 2 , 2)，该点到直线 的距离小于 5 5 ，所以在直线上方不存在满足条件的 P 点. 【解后反思】 本题属于直线和圆锥曲线的小综合题， 几何与代数之间的等价转化是解决这类 问题的重要方法. 二、填空题（4 分4=16 分） 13 某学校共有教师 490 人，其中不到 40 岁的有 350 人，40 岁及以上的有 140 人，为了解 普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为 70 人的样本进行普通话水平测试，其中在不到 4
16、0 岁的教师中应抽取的人数是 . 【思路点拨】本题是考查统计的基础知识，理解分层抽样的基本概念和方法不难解决. 【正确解答】设不到 40 岁的教师中应抽取的人数为x人，则 350 14070 x x ，解得50x. 【解后反思】抽样是统计学的基础，统计的基本思想是用样本估计总体，因此，要理解常用 的三种样本抽样方法：当总体的个数较少时，用随机抽样方法；当总体的个数较多时，用系 统抽样方法；当总体中的个体个部分明显差异时，用分层抽样法.随着高考的内容设置的逐 步提高， 高考试题必然会愈来愈多地设置具有现实意义的应用题， 要正确地处理从实际中比 较三种抽样的方法. 14 设双曲线 22 22 1(
17、0,0) xy ab ab 的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两 点，如果PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e . 【思路点拨】本题是考查双曲线的几何性质，可根据对称性来分析，只可能是PFQ为直 角，由 a、b、c 的关系不难解决. 【正确解答】由PQF是直角三角形,根据图形的对称性，必有 2 2 aab PFFQcabca cc 即双曲线的离心率2 c e a . 解法 2： 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F(c, 0)，右准线l与两条渐近线交 于 P( 2 , aab cc )、Q( 2 , aab cc )两点， FPFQ， 2 222 1 a
18、bab a cc aab cc cc ， a=b, 即双曲线的离心率 e=2. 【解后反思】解决本题的障碍是对Rt PQF的直角的确定，要深刻理解几何图形的特征是 解决这类题型的关键. 15 设x、y满足约束条件 5 3212 03 04 xy xy x y ， 则使得目标函数65zxy的值最大的点( , )x y 是 . 【思路点拨】本题主要考查简单线性规划的基本知识，分二步，第一步是作出二元一次不等 式表示的平面区域.，第二步从图形分析求z最大值时点的坐标. 【正确解答】画出题中所给不等式组所表示的区域.当 x=0 时 y=0, 650zxy，点（0，0）在直线 0:6 50lxy上 ，
19、作 一 组 直 线 0 l的 平 行 直 线 :65()lxyt tR，要求使得z最大的点，即要求使 直线65zxy截距最大，由图可知，当直线过 5xy和3212xy的交点(2,3)M时，z 有最大 值 27. 【解后反思】正确画出平面区域和直线 0 l是解决这类问题的关键. 16 已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题： 若/m，则m平行于平面内的任意一条直线 若/，m，n，则/mn 若m，n，/mn，则/ 若/，m，则/m 上面命题中，真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 答案答案 【思路点拨】本题考查立体几何中直线与平面的位置关系.本题是线线、线面和面面平行， 线面
20、垂直的判断题，可借助图形进行判断. 【 正 确 解 答 】 如 图 所 示 ， 中 m、 n 可 能 异 面 ， 中，可 能 相 交 ， 中 ,/mmnn同理可证：/n即是真命题，中可过平面，外 任一点 P 作直线,m n使/,/,mm nnm n异面,m n必相交，设由,m n确定的平面 为，/mm，同理可证：/n，同理可证：/.即是 真命题，综上所述，真命题的序号是、. O y x M 【解后反思】要否定一个命题，只需要一反例即可.要熟悉掌握线线平行、平面平行、面面 平行的关系和转化.即线线平行平面平行面面平行，其中线面平行起了桥梁作用，而 的实质是两个平面平行的推论. 三、解答题（84
21、分） 17 已 知 向 量(cos ,sin )m和( 2sin ,cos )n，( ,2 )， 且 8 2 | 5 mn，求cos() 28 的值. 【思路点拨】本题从向量及模的概念出发，考查三角变换能力和运算能力，通过 8 2 5 mn，构建的三角函数关系式，再由此关系式与所求进行比较，消除角或函 数的差异，达到转化. 【正确解答】解法一： (cossin2,cossin ),mn 22 (cossin2)(cossin )mn 422 ( c o ss i n)44 c o s () 4 21c o s () 4 由已知 8 2 5 mn，得 7 cos() 425 奎屯 王新敞 新疆
22、又 2 cos()2cos () 1 428 所以 2 16 cos () 2825 奎屯 王新敞 新疆 59 2 , 8288 4 cos() 285 奎屯 王新敞 新疆 解法二： 2 22 2mnmm nn 22 |2mnm n 222222 ( cossin)( ( 2sin )cos)2cos ( 2sin )sin cos 42 2(cossin )4(1 cos() 4 2 8cos () 28 由已知 8 2 5 mn，得 4 |cos()| 285 59 2 8288 ， cos()0 28 ， 4 cos() 285 奎屯 王新敞 新疆 【解后反思】三角函数的求值问题，关键是
23、角和函数的变换，难点是三角函数符号的确定， 在解题过程中，两者必须都要兼顾到，不能顾此失彼. 18 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7 ，现有甲、乙两人从 袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到 白球时即中止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）球袋中原有的白球个数； （2）求取球 2 次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率. 【思路点拨】 本题考查了离散型随机变量的分布列和等可能事件概率的求法， 可根据两者定 义直接求得. 【正确解答】 （）设袋中原有n个白球，由题意知： 2 2 7 1(1)(1)
24、. 7 6 77 6 2 n Cn nn n C 所以(1)6n n，解得3(n 舍去2)n ，即袋中原有个白球 奎屯 王新敞 新疆 （）由题意，的可能始值为,2,3,4,5. 3 (1) 7 p: 4 32 (2) 7 67 p : 4 3 36 (3) 7 6 535 p 43233 (4 ) 76543 5 p : 4 3 2 1 31 (5) 7 6 5 4 335 p 所以,取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 p 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 （）因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球” 的事件为 A，则 ( )p A
25、P（ “1” ，或“3” ，或“5” ）. 因为事件“1” 、 “3” 、 “5”两两互斥，所以 3612 2 ()(1)(3)(5 ) 73 53 53 5 P APPP 奎屯 王新敞 新疆 【解后反思】离散型随机变量的基础则概率的计算，如古典概率、互斥事件概率和相互独立 事件同时发生的概率，n 次独立重复试验有 k 次发生的概率等，同时往往离散型随机变量的 分布列上具有的性质.（如0,1,2,3, i pi， 12 1pp）要理解地记忆，便于掌握. 19 已知1x 是函数 32 ( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,m nR， 0m. （1）求m与n的关系表达式； （2）求
26、( )f x的单调区间. 【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法，极值的定义，以及可导函数的极值点的必要 条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号） ，含参不等式恒成立的求解问题，考查运算能 力和分析问题、解决问题的能力. 【正确解答】 （）解： 2 ( )36(1)fxmxmxn. 因为1x 是( )f x的一个极值点,所以(1)0 f ,即36(1)0mmn. 所以36nm 奎屯 王新敞 新疆 （）解:由（）知 2 2 ( )36(1)363 (1)(1)fxmxmxmm xx m 当0m时,有 2 11 m ,当x变化时( )f x与( )fx的变化如下表: x 2 (,1) m 2 1
27、 m 2 (1,1) m 1 (1,) ( )fx 0 0 0 ( )f x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知,当0m时,( )f x在 2 (,1) m 单调递减,在 2 (1,1) m 单调递增, 在(1,) 单调递减 奎屯 王新敞 新疆 【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法，本题中运用了数形结合法、分离变量 法、换元法等多种数学思想和方法.因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积 累经验，必定能提高解决综合问题的能力. 20 如图，已知长方体 1111 ABCDABC D，2AB ， 1 1AA ，直线BD与平面 11 AAB B所 成的角为30，
28、AE垂直BD于E，F为 11 AB的中点. （1）求异面直线AE于BF所成的角； （2）求平面BDF于平面 1 AAB所成的二面角（锐角）的大小； （3）求点A到平面BDF的距离. 【思路点拨】 本题考查了长方体的概念，异面直线、二面角、点到平面的距离的求法.考 查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，可根据长方体的特征，用定义或平面向量的知 识是不难解决的. 【正确解答】解法一： （向量法） 在长方体 1111 ABCDABC D中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 1 AA 所 在 直 线 为z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 由 已 知 1 2 ,1A BA A，
29、 可 得 ( 0 , 0 , 0 ) ,( 2 , 0 , 0 ) ,( 1 , 0 , 1 )ABF 又AD 平面 11 AAB B，从面BD与平面 11 AAB B所成的 角即为 0 30DBA A1 B1C1 D1 F E D C B A x z y 又 2 3 2,1, 3 ABAEBD AEAD 奎屯 王新敞 新疆 从而易得 132 3 ( ,0),(0,0) 223 ED 奎屯 王新敞 新疆 （） 13 ( ,0),( 1,0,1) 22 AEBF 奎屯 王新敞 新疆 cos, AE BF AE BF AE BF 1 2 2 42 奎屯 王新敞 新疆 即异面直线AE、BF所成的角为
30、 2 arccos 4 奎屯 王新敞 新疆 （）易知平面 1 AAB的一个法向量(0,1,0)m 奎屯 王新敞 新疆 设( , , )nx y z是平面BDF的一个法向量 2 3 ( 2,0) 3 BD 奎屯 王新敞 新疆 由 nBF nBD 0 0 n BF n BD 0 2 3 20 3 xx xy 3 xz xy 奎屯 王新敞 新疆 取(1, 3,1)n 奎屯 王新敞 新疆 315 cos, 515 m n m n m n 奎屯 王新敞 新疆 即平面BDF与平面 1 AAB所成二面角（锐角）大小为 15 arccos 5 奎屯 王新敞 新疆 （）点 A 到平面 BDF 的距离，即AB在平
31、面 BDF 的法向量n上的投影的绝对值 奎屯 王新敞 新疆 所以距离 | cos,dABAB n| | | AB n AB ABn |22 5 |55 AB n n 奎屯 王新敞 新疆 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 2 5 5 奎屯 王新敞 新疆 解法二：(几何法) （）连结 11 B D，过 F 作 11 B D的垂线，垂足为 K， 1 BB与两底面 ABCD， 1111 ABC D都垂直， 1 111 1111 FBBB FKB DFBB B DBBB 1 平面BDD 又 1 1 1 AEBB AEBDAEB BBBDB 1 平面BDD 因此/FKAE 奎屯 王新敞 新疆 BFK为
32、异面直线BF与AE所成的角 奎屯 王新敞 新疆 连结 BK，由 FK面 11 BDD B得FKBK， 从而 B K F为Rt 奎屯 王新敞 新疆 在 1 Rt B KF和 111 Rt B D A中， 由 11 111 ADFK B FB D 得 111 2211 21 3 1 1 32 22 2(3) 3 ADAB AD B F FK B DBD 奎屯 王新敞 新疆 又2BF ， 2 cos 4 FK BFK BK 奎屯 王新敞 新疆 异面直线BF与AE所成的角为 2 arccos 4 奎屯 王新敞 新疆 （）由于AD 面 t AAB由A作BF的垂线AG，垂足 为G，连结DG，由三垂线定理知
33、BGDG 奎屯 王新敞 新疆 AGD即为平面BDF与平面 1 AAB所成二面角的平 面角 奎屯 王新敞 新疆 且90DAG，在平面 1 AAB中，延长BF与 1 AA；交 于点S 奎屯 王新敞 新疆 F为 11 AB的中点 11 11 /, 22 AFAB AFAB， A1 B1C1 D1 F K E D C B A S A1 B1 C1 D1 G F E D C B A 1 A、F分别为SA、SB的中点 奎屯 王新敞 新疆 即 1 22SAA AAB， Rt BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点 F，即 F、G 重合 奎屯 王新敞 新疆 易得 1 2 2 AGAFSB，在Rt
34、BAS中， 2 3 3 AD 奎屯 王新敞 新疆 2 3 6 3 tan 32 AD AGD AG ， 6 arctan 3 AGD， 即平面BDF于平面 1 AA B所成二面角（锐角）的大小 为 6 arctan 3 奎屯 王新敞 新疆 （）由（）知平面AFD是平面BDF与平面 1 AAB所成二面角的平面角所在的平面 面AFDBDF面 奎屯 王新敞 新疆 在Rt ADF中，由作 AHDF 于 H，则 AH 即为点 A 到平面 BDF 的距离 奎屯 王新敞 新疆 由 AH DF=AD AF，得 22 2 32 2 3 5 52 (3)( 2) 3 AD AF AH DF 奎屯 王新敞 新疆 所
35、以点 A 到平面 BDF 的距离为 2 5 5 奎屯 王新敞 新疆 【解后反思】立几中求角和距离的问题一般要具备作、证、算三步.本题中也可用等积变换 求距离.空间向量的引入，给本题解答提供了新思路，关键是点的坐标和向量的正确，否则 以全错而告终. 21 已知数列 n a的首项 1 5a ，前n项和为 n S，且 1 25 nn SSn （nN ） （1）证明数列1 n a 是等比数列； （2）令 2 12 ( ) n n f xa xa xa x，求函数( )f x在点1x 处的导数(1) f S A1 B1 C1 D1 HF E D C B A 【思路点拨】本题主要考查数列的通项，等比数列的
36、前 n 项和以及导数的概念，考查灵活运 用数学知识分析和解决问题的能力.知道数列的递推公式求数列的通项时， 可直接代入求解， 由 n S与 n a间的关系求数列的通项公式时，只要利用 1( 2) nnn aSSn 即可.对数的大小 比较的常用方法是作差法，其差值可转化为关于 n 的函数，再利用函数的性质作出判断. 【正确解答】解：由已知 * 1 5() nn SSnnN 可得 1 2,24 nn nSSn 两式相减得 11 21 nnnn SSSS ，即 1 21 nn aa 奎屯 王新敞 新疆 从而 1 121 nn aa 当1n 时, 21 21 5SS ，所以 211 26aaa 奎屯
37、王新敞 新疆 又 1 5a 所以 2 11a ，从而 21 121aa 奎屯 王新敞 新疆 故总有 1 12(1) nn aa ， * nN 又 11 5,10aa ，从而 1 1 2 1 n n a a , 即数列1 n a 是以 1 16a 为首项，2 为公比的等比数列； （II）由（I）知3 21 n n a 因为 2 12 ( ) n n f xa xa xa x所以 1 12 ( )2 n n fxaa xna x 从而 12 (1)2 n faana= 2 3 2 12 3 21(3 21) n n = 2 3 22 22nn -1 2n = 1 (1) 31 26 2 n n n
38、 n . 【解后反思】1、由数列前 n 项和和定义 12nn Saaa可知 n S和 n a之间的关系 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn 要注意的是， n a n S 1n S 仅局限在2n的一切真整数，因此在 n S求 n a时，应分类讨论，只有当 1 a 1 S满足 n a n S 1n S 时通项公式才只有一个式子， 否则就是分段函数. 2、对一个指数或多项式大小比较时，必须采取放缩的技巧，而放缩的技巧是在需选择目标 和确定放缩的程度，应恰到好处，放缩的方法还常有：去掉式子中的某些数，应用不等式的 5 个性质，应用正、余弦的有界性等等. (22) （本小题满分 14
39、分）已知动圆过定点(,0) 2 p ，且与直线 2 p x 相切，其中0p （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和 ，当、变化且 4 ，证明直线AB恒过顶点，并求出该顶点的坐标. 【思路点拨】本题考查直线的有关概念、直线与圆的性质，抛物线及三角函数的基础知识， 考查运用数学知识解决综合问题的能力，第（I）问可由圆的切线性质和抛物线的定义得到. 第（II）问必须借助解析的思想和两角和的正切转化为坐标处理. 【正确解答】 （I）如图，设M为动圆圆心，,0 2 p 为记为F， 过点M作直线 2 p x 的垂线，垂足为N，由题意
40、知： MFMN即动点M到定点F与定直线 2 p x 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,0 2 p F 为焦 点， 2 p x 为准线，所以轨迹方程为 2 2(0)ypx P； （II）如图，设 1122 ,A x yB x y，由题意得 12 ,0x x ， 又直线 OA,OB 的倾斜角, 满足 4 ，故0, 4 ， 所以直线AB的斜率存在， 否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为 奎屯 王新敞 新疆 从而设 AB 方程为ykxb，显然 22 12 12 , 22 yy xx pp ， 将ykxb与 2 2(0)ypx p联立消去x，得 2 220kypypb 由韦达定理
41、知 1212 22 , ppb yyyy kk 由 4 ，得 1tantan() 4 = tantan 1tantan = 12 2 12 2 () 4 p yy y yp 将式代入上式整理化简可得： 2 1 2 p bpk ，所以22bppk， N F( p 2,0) M A B x=- p 2 o y x 此时，直线AB的方程可表示为ykx22ppk即(2 )20k xpyp 所以直线AB恒过定点2 ,2pp. 【解后反思】1、解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联系方程解，消元得一 元二次方程，利用韦达定理处理. 2、求某一角的三角函数值时注意其定义域，必须分类讨论由特殊到一般的思想，可猜测一 般结论的正确性. 3、研究直线 y=kx+b 过一定点问题时，要建立 k、b 关系，而之个关系的建立必须借助 为定值入手.
