1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 08 反比例函数及综合问题 【方法指导】【方法指导】 1.反比例函数知识梳理： 1反比例函数的 图象和性质 k0 图象经过 第 一、三象限 （x、y 同号） 每个象限内， 函数y的值随x的 增大而减小. k0 图象经过 第 二、四象限 （x、y 异号） 每个象限内，函数y的值随x 的增大而增大. 2.反比例函数的 图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称
2、轴 分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线 3.系数k的几何 意义 （1）意义：从反比例函数yk x(k0)图象上任意一点向 x轴和y轴作垂线， 垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的 三角形的面积为 1/2|k|. （2）常见的面积类型： 4.与一次函数的 综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b） ，则根据中心对称性，可得另一个交 点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个 函数解析式中求解 （3） 在同一坐标系中判断函数
3、图象： 充分利用函数图象与各字母系数的关系， 可采用假设法， 分 k0 和 k0 两种情况讨论， 看哪个选项符合要求即可. 也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下 方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】反比例函数】反比例函数 k k 的几何意义的几何意义 【例 1】 （2019宿豫区模拟）如图，A 是反比例函数 y（x0）的图象上的任意一点，ABx 轴，交反比 例函数 y的图象于点 B，以 AB 为边画ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则ABCD 的面积等于（ ） A4 B5 C8
4、 D9 【分析】 连结OA、 OB， AB交 y轴于E， 由于ABy轴， 根据反比例函数系数 k的几何意义得到 SOEA4 2，SOBE5，则四边形 ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到 S平行四边形ABCD 2SOAB9 【解析】连结 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，如图， ABx 轴， ABy 轴， SOEA42，SOBE52.5， SOAB2.5+24.5， 四边形 ABCD 为平行四边形， S平行四边形ABCD2SOAB9 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数 y（k0）系数 k 的几何意义：从反比例函数 y（k0）图象上任 意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线
5、与坐标轴所围成的矩形面积为|k| 【变式 1-1】 （2019梁溪区一模）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 都在坐标轴上，点 B 在第二象限，矩形 OABC 的面积为 6把矩形 OABC 沿 DE 翻折，使点 B 与点 O 重合若反比例函数 y的图象恰好经 过点 E 和 DE 的中点 F则 OA 的长为（ ） A2 B C2 D 【分析】连接 BO 与 ED 交于点 Q，过点 Q 作 QGx 轴于 G，可通过三角形全等证得 BO 与 ED 的交点 就是 ED 的中点 F， 由相似三角形的性质可得 SOGFSOCB， 从而求出 SOAE， 进而可以得到 AB4AE， 即 BE3AE由轴对称的
6、性质可得 OEBE，从而得到 OE3AE，也就有 AO2AE，根据OAE 的 面积可以求出 OA 的值 【解析】连接 BO 与 ED 交于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴，垂足为 N，如图所示， 矩形 OABC 沿 DE 翻折，点 B 与点 O 重合， BQOQ，BEEO 四边形 OABC 是矩形， ABCO，BCOOAB90 EBQDOQ 在BEQ 和ODQ 中， BEQODQ（ASA） EQDQ 点 Q 是 ED 的中点 QNOBCO90， QNBC ONQOCB （）2（）2 SONQSOCB S矩形OABC6， SOCBSOAB3 SONQ 点 F 是 ED 的中点， 点 F 与点 Q
7、 重合 SONF 点 E、F 在反比例函数 y上， SOAESONF SOAB3， AB4AE BE3AE 由轴对称的性质可得：OEBE OE3AEOA2AE SOAEAOAE2AEAE AE OA2AE 故选：D 【变式 1-2】 （2019惠山区一模）如图，矩形 ABCD 的顶点 A 和对称中心在反比例函数 y（k0，x0） 上，若矩形 ABCD 的面积为 8，则 k 的值为（ ） A4 B2 C2 D8 【分析】设 A 点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为 ，根据中心在反比例函 数 y上，求出中心的横坐标为，进而可得出 BC 的长度，根据矩形 ABCD 的面积即可求
8、得 【解析】如图，延长 DA 交 y 轴于点 E， 四边形 ABCD 是矩形， 设 A 点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为 ， 矩形 ABCD 的中心都在反比例函数 y上， x， 矩形 ABCD 中心的坐标为（， ） BC2（）2m， S矩形ABCD8， （2m） n8 4k2mn8， 点 A（m，n）在 y上， mnk， 4k2k8 解得：k4 故选：A 【类型【类型 2 2】反比例函数点的坐标特征】反比例函数点的坐标特征 【例 2】 （2019锡山区一模）如图，在反比例函数 y的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一 支于点 B，在第二象限内有一点 C，
9、满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y的图象上运动， 若 tanCAB2，则 k 的值为（ ） A6 B12 C18 D24 【分析】连接 OC，作 CMx 轴于 M，ANx 轴于 N，如图，利用反比例函数的性质得 OAOB，根据 等腰三角形的性质得 OCAB，利用正切的定义得到2，再证明RtOCMRtOAN，利用相似 的性质得4，然后根据 k 的几何意义求 k 的值 【解析】连接 OC，作 CMx 轴于 M，ANx 轴于 N，如图， A、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点， 点 A、点 B 关于原点对称， OAOB， CACB， OCAB， 在 RtAOC 中，tan
10、CAO2， COM+AON90，AON+OAN90， COMOAN， RtOCMRtOAN， （）24， 而 SOAN|3|， SCMO6， |k|6， 而 k0， k12 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k0）的图象是双 曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk也考查了反比例函数的性质和相似三角 形的判定与性质 【变式 2-1】 （2019宜兴市一模）已知反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且 x1x2， 那么下列结论中，正确的是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1与
11、y2之间的大小关系不能确定 【分析】根据反比例函数 y中 k 的符号判断该函数所在的象限及其单调性，然后分类讨论 x1与 x2所 在的象限，从而根据该函数在该象限内的单调性来判断 y1与 y2的大小关系 【解析】k6， 反比例函数 y的图象经过第一三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 x1x20 时，y1y2； 当 0x1x2时，y1y2； 当 x10x2时，y1y2； 综合，y1与 y2的大小关系不能确定 故选：D 【变式 2-2】 （2019昆山市一模）如图，将边长为 10 的等边三角形 OAB 位于平面直角坐标系第一象限中， OA 落在 x 轴正半轴上，C 是 AB 边
12、上的动点（不与端点 A、B 重合） ，作 CDOB 于点 D，若点 C、D 都 在双曲线 y（k0，x0）上，则 k 的值为（ ） A9 B18 C25 D9 【分析】根据等边三角形的性质表示出 D，C 点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答 案 【解析】过点 D 作 DEx 轴于点 E，过 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示 可得：ODE30BCD30， 设 OEa，则 OD2a，DEa， BDOBOD102a，BC2BD204a，ACABBC4a10， AFAC2a5，CFAF（2a5） ，OFOAAF152a， 点 D（a，a） ，点 C152a，（2a5） 点 C、D 都
13、在双曲线 y（k0，x0）上， aa（152a）（2a5） ， 解得：a3 或 a5 当 a5 时，DOOB，ACAB，点 C、D 与点 B 重合，不符合题意， a5 舍去 点 D（3，3） ， k339 故选：A 【类型【类型 3 3】 ：反比例函数和一次函数相结合问题】 ：反比例函数和一次函数相结合问题 【例 3】 （2019海门市二模）如图，正比例函数 y2x 与反比例函数 y的图象相交于 A（m，4） ，B 两 点 （1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； （2）当2x时，请直接写出 x 的取值范围 【分析】 （1）将 A 坐标代入正比例函数 y2x 求出 m 的值，将 A（2，4
14、）代入反比例解析式求 k 的 值，根据 A、B 关于 O 点对称即可确定出 B 坐标； （2）根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时 x 的范围即可 【解析】 （1）将 A（m，4）代入正比例函数 y2x 得：42m， 解得 m2， A（2，4） ， 反比例函数 y的图象经过 A（2，4） ， k248， 则反比例解析式为 y， A、B 关于 O 点对称 B（2，4） ； （2）由图象得：当2x时，x 的取值范围为2x0 或 x2 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法 确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定
15、系数法是解本题的关键 【变式 3-1】 （2019如皋市一模）定义：把函数 y（m0）的图象叫做正值双曲线把函数 y（m 0）的图象叫做负值双曲线 （1）请写出正值双曲线的两条性质； （2）如图，直线 l 经过点 A（1，0） ，与负值双曲线 y（m0）交于点 B（2，1） P 是射线 AB 上的一点，过点 P 作 x 轴的平行线分别交该负值双曲线于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左边） 求直线 l 的解析式和 m 的值； 是否存在点 P，使得 SAMN4SAPM？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 【分析】 （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）运用
16、待定系数法求出直线 l 的解析式； 若存在，设点 P 的坐标为（p，p+1） ，则点 M（，p+1） ，点 N（，p+1） ，再根据三角形的面 积公式可得AMN 的面积，然后分 3 种情况讨论：若点 P 在线段 AB 上；若点 P 与点 B 重合；若点 P 在 线段 AB 的延长线上 【解析】 （1）当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；无论 x 取何值， y0；图象与坐标轴没有交点；图象分布在第一、二象限，等等； （2）设直线 l 的解析式为 ykx+b 直线 l 过点 A（1，0）和点 B（2，1） ， 解得， 直线 l 的解析式为 yx+1 双曲
17、线 y（m0）交于点 B（2，1） ， m2（1）2， 即：m 的值为2； 若存在，设点 P 的坐标为（p，p+1） ，则点 M（，p+1） ，点 N（，p+1） SAMN|p+1|2， 若点 P 在线段 AB 上， 则 SAPM（p）（p+1）（P2P+2） SAMN4SAPM， 24（P2P+2） ，即 P2+P10 解得 p1，p2（舍去） ， 若点 P 与点 B 重合，APM 不存在； 若点 P 在线段 AB 的延长线上，则 SAPM（p）（p+1）（P2+P2） SAMN4SAPM， 24（P2+P2） ，即 P2+P30 解得 p3，p4（舍去） 故存在点 P（，）和（，） ，使得
18、 SAMN4SAPM 【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算 三角形的面积 【变式 3-2】 （2019滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，ACB90，点 C 的坐标为（2，0） ，点 A 的坐标为（0，4） ，一次函数 ykx+b 的图象经过点 B、C，反比例函数 y的图象经过点 B （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b0 的解集 【分析】 （1）过点 B 作 BFx 轴于点 F根据 AAS 证明BCFCAO，从而求得点 B 的坐标，利用待 定系
19、数法可求出反比例函数的关系式； （2）在第二象限内，找出一次函数值 ykx+b 落在反比例函数 y图象下方的部分对应的 x 的取值范 围即可 【解析】 （1）如图，过点 B 作 BFx 轴于点 F BCA90， BCF+ACO90， 又CAO+ACO90， BCFCAO 在BCF 与CAO 中， ， BCFCAO（AAS） ， CFAO4，BFCO2， OFOC+CF2+46， 点 B 的坐标为（6，2） ， 将点 B 的坐标代入 y，可得：m6212， 故可得反比例函数解析式为 y； （2）结合点 B 的坐标及图象，可得当 x0 时，kx+b0 的解集为：6x0 【点睛】本题考查了反比例函数
20、与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数 的解析式，利用了数形结合思想求得点 B 的坐标是解题的关键 【类型【类型 4 4】 ：反比例函数的应用问题】 ：反比例函数的应用问题 【例 4】 （2019河池三模）制作一种产品，需先将材料加热达到 60后，再进行操作设该材料温度为 y （） ， 从加热开始计算的时间为 x（分钟） 据了解， 设该材料加热时， 温度 y 与时间 x 成一次函数关系； 停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图） 已知该材料在操作加工前的温度为 15， 加热 5 分钟后温度达到 60 （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y
21、 与 x 的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料的温度低于 15时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了 多少时间？ （3）该种材料温度维持在 40以上（包括 40）的时间有多长？ 【分析】 （1）分成 0x5 和 x5 两种情况，利用待定系数法即可求解； （2）在当 x5 时的函数解析式中，求得 y15 时对应的自变量 x 的取值即可； （3）在两个函数解析式中求得 y40 时对应的自变量的值，求差即可 【解析】 （1）当 0x5 时， 设函数的解析式是 ykx+b，则， 解得： 则函数的解析式是：y9x+15； ； （2）把 y15 代入，得，x20； 经检验：x20 是原方
22、程的解 则当材料的温度低于 15时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟； （3）把 y40 代入 y9x+15 得 x；把 y40 代入得 x7.5， 所以材料温度维持在 40以上（包括 40）的时间为 7.5分钟 【点睛】本题考查了二次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的 关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式 【变式 4-1】 （2019大洼区一模）小明家饮水机中原有水的温度为 20，通电开机后，饮水机自动开始加热 此过程中水温 y（）与开机时间 x（分）满足一次函数关系，当加热到 100时自动停止加热，
23、随后 水温开始下降此过程中水温 y（）与开机时间 x（分）成反比例关系，当水温降至 20时，饮水机又 自动开始加热，重复上述程序（如图所示） ，根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0x8 时，求水温 y（）与开机时间 x（分）的函数关系式； （2）求图中 t 的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为多 少？ 【分析】 （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出 t 的值； （3）利用已知由 x5 代入求出饮水机内的温度即可 【解析】 （1）当 0x8 时，设水温 y（）与开机时间 x
24、（分）的函数关系为：ykx+b， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：y10x+20； （2）在水温下降过程中，设水温 y（）与开机时间 x（分）的函数关系式为：y， 依据题意，得：100， 即 m800， 故 y， 当 y20 时，20， 解得：t40； （3）454058， 当 x5 时，y105+2070， 答：小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 70 【点睛】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键 【变式 4-2】 （2018东台市一模）某农户共摘收草莓 1920 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 6 天试销， 试销中
25、发现这批草莓每天的销售量 y（千克）与售价 x（元/千克）之间成反比例关系，已知第 1 天以 20 元/千克的价格销售了 45 千克现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量 y（千克）与销售价格 x（元 /千克）之间都满足这一关系 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）在试销期间，第 6 天的销售价格比第 2 天低了 9 元/千克，但销售量却是第二天的 2 倍，求第二天 的销售价格； （3）试销 6 天共销售草莓 420 千克，该农户决定将草莓的售价定为 15 元/千克，并且每天都按这个价格 销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【分析】 （1）直接利用第 1 天以 20 元/千
26、克的价格销售了 45 千克，得出函数解析式即可； （2）利用第 6 天的销售价格比第 2 天低了 9 元/千克，但销售量却是第二天的 2 倍，得出等式求出答案； （3）把 x15 代入函数解析式得出 y 的值，进而求出答案 【解析】 （1）y 与 x 的函数关系式：y； （2）设第二天的销售价格是 x 元/千克，则 2， 解得 x18，经检验 x18 是原方程的解 答：第二天的销售价格为 18 元/千克； （3）草莓的销售价定为 15 元/千克时，每天的销售量： y60（千克） ， 由题意25（天） ， 所以余下的草莓预计还要销售 25 天 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的
27、应用，正确得出反比例函数解析式是解题关 键 【类型【类型 5 5】 ：反比例函数的几何综合问题】 ：反比例函数的几何综合问题 【例 5】 （2019靖江市校级一模）如图，已知 C，D 是反比例函数 y（m0）图象的两点，直线 CD 分 别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，连接 OC、OD，tanBOC，OC （1）求点 C 的坐标； （2）若BOCAOD，求直线 CD 的解析式 【分析】 （1）过点 C 作 CEy 轴于点 E，通过解直角三角形可求出 CE，OE 的长，结合点 C 在第二象限 即可得出点 C 的坐标； （2） 由点 C 的坐标， 利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函
28、数解析式， 由BOCAOD 可求出点 D 的坐标，再根据点 C，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 CD 的解析式 【解析】 （1）过点 C 作 CEy 轴于点 E，如图所示 在 RtOCE 中，tanBOC，OC， OE3CE， CE1，OE3， 点 C 的坐标为（1，3） （2）点 C（1，3）是反比例函数 y图象上的点， m133， 反比例函数的解析式为 y BOCAOD， 设点 D 的坐标为（3a，a） （a0） 又点 D 为反比例函数 y图象上的点， 3a（a）3，解得：a11，a21（舍去） ， 点 D 的坐标为（3，1） 设直线 CD 的解析式为 ykx+b（k0） ， 将 C
29、（1，3） ，D（3，1）代入 ykx+b，得：， 解得：， 当BOCAOD 时，直线 CD 的解析式为 yx+2 【点睛】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式， 解题的关键是： （1）通过解直角三角形，求出点 C 的坐标； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征， 求出点 D 的坐标 【变式 5-1】 （2019广陵区校级二模）对于平面直角坐标系内的点 P（m，n）和点 Q（km+n，k2m+kn） ，其 中 k 为常数，我们把点 Q 叫做点 P 的 k 倍随点 例如：点 A（1，3）的 2 倍随点 B 的坐标为（21+3，221+23） ，即点
30、 B 的坐标为（5，10） （1）C（2，0）的 3 倍随点 D 的坐标为 ； 若点 E（0，n）的 k 倍随点 F 的坐标为（2，8） ，则 k ，n ； （2）已知点 O 为平面直角坐标系的坐标原点，点 G 在 x 轴上，若点 H 是点 G 的 k 倍随点，GHO 是 等腰直角三角形，求 k 的值； （3）若反比例函数 y图象上的点 M 的横坐标为1，且点 M 的 k 倍随点也在反比例函数 y的图象 上，求 k 的值 【分析】 （1）根据伴随点的定义，可求出点 D 的坐标及 k，n 的值； （2）设点 G 的坐标为（a，0） （a0） ，则点 H 的坐标为（ka，k2a） ，分OGH90及
31、OHG90 两种情况，利用等腰直角三角形的性质求出 k 值；同理，可求出当点 G 在 x 轴负半轴时 k 的值，此问得 解； （3）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 M 的坐标，结合伴随点的定义可求出点 M 的 k 倍随 点 N 的坐标，由该点在反比例函数图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于 k 的方程， 解之取其非零值即可得出结论 【解析】 （1）点 C（2，0）的 3 倍随点 D 的坐标为（23+0，232+30） ，即点 D 的坐标为（ 6，18） ； 点 E（0，n）的 k 倍随点 F 的坐标为（2，8） ， ，解得： 故答案为： （6，18） ；4；2 （2）设
32、点 G 的坐标为（a，0） （a0） ，则点 H 的坐标为（ka，k2a） GHO 是等腰直角三角形， 分两种情况考虑： 当OGH90时，k2aka， 解得：k1； 当OHG90时， 无解 同理，当点 G 在 x 轴负半轴时，可求出 k1 综上所述：k 的值为 1 （3）当 x1 时，yk， 点 M 的坐标为（1，k） ， 点 M 的 k 倍随点 N 的坐标为（2k，2k2） 点 N 在反比例函数 y的图象上， 2k（2k2）k， 解得：k10（舍去） ，k2，k3 k 的值为 或 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、解方程组、等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的 坐标特征，解题的关键
33、是： （1）利用伴随点的定义，求出点 D 的坐标及 k，n 的值； （2）利用等腰直角 三角形的性质，找出关于 k 的方程（或方程组） ； （3）利用伴随点的定义及反比例函数图象上点的坐标特 征，找出关于 k 的方程 【变式 5-2】 （2019海陵区二模）如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点 A，连接 AO 并延长与另一分支交于点 B，以 AB 为边作一个等边ABC，使得点 C 落在第四象限内 （1）当 BC 平行 x 轴时，试求出点 C 的坐标； （2）在点 A 运动过程中，直接写出ABC 面积的最小值 18 ； （3）在点 C 的运动路径上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D
34、 四个点构成的四边形为菱形？如果存在， 请求出一个点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）过点 A 作 AEx 轴于点 E，由等边三角形及平行线的性质可得出AOE60，通过解直 角三角形及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 A 的坐标，利用中点对称可求出点 B 的坐标，再利 用轴对称可求出点 C 的坐标； （2）利用等边三角形的性质及三角形的面积公式可得出 SABCAB2，设点 A 的坐标为（x，） ， 则点 B 的坐标为（x，） ，利用两点间的距离公式及完全平方公式可求出 AB2的最小值，进而可得 出ABC 面积的最小值； （3）过点 A 作 AFx 轴于点 F，过点 C
35、作 CMx 轴于点 M，连接 CO，易证COMOAF，利用相 似三角形的性质可得出 CMOM9，进而可得出点 C 在函数 y（x0）的图象上当 BC x 轴时，由（1）结合菱形的性质（对角线互相垂直平分）可求出点 D 的坐标，利用反比例函数图象上 点的坐标特征验证后即可得出结论；当 ACx 轴时，由等边三角形的性质及反比例函数图象上点的坐 标特征可求出点 A 的坐标，利用中心对称可求出点 B 的坐标，利用轴对称可得出点 C 的坐标，利用菱形 的性质（对角线互相垂直平分）可求出点 D 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征验证后即可得 出结论 （写出一个点的坐标即可） 【解析】 （1）过点 A
36、 作 AEx 轴于点 E，如图 1 所示 BCx 轴，ABC 为等边三角形， AOEABC60， AEOE 又点 A 在反比例函数的图象上， AEOE3， OE，AE3， 点 A 的坐标为（，3） 点 A，B 关于原点 O 对称， 点 B 的坐标为（，3） 点 B，C 关于直线 x对称， 点 C 的坐标为（3，3） （2）ABC 为等边三角形， SABCABABAB2 设点 A 的坐标为（x，） ，则点 B 的坐标为（x，） ， AB2（xx）2+（）2（2x）2+（）2（2x）2+22x （2x）20， AB222x24， SABCAB218 故答案为：18 （3）过点 A 作 AFx 轴于
37、点 F，过点 C 作 CMx 轴于点 M，连接 CO，如图 2 所示 COM+AOF90，OAF+AOF90， COMOAF 又CMOOFA90， COMOAF， ， CMOF，OMAF 又OFAF3， CMOM9， 点 C 在函数 y（x0）的图象上 当 BCx 轴时，如图 3 所示 由（1）得：点 A 的坐标为（，3） ，点 B 的坐标为（，3） ，点 C 的坐标为（3，3） 四边形 ABDC 为菱形， 点 D 的坐标为（3，333） ，即（，9） （9）9， 存在点 D（，9） ，使得以 A、B、C、D 四个点构成的四边形为菱形； 当 ACx 轴时，如图 4 所示 ABC 为等边三角形，
38、 BAC60 同（1）可得出：点 A 的坐标为（3，） ， 点 B 的坐标为（3，） ，点 C 的坐标为（3，3） 四边形 ABCD 为菱形， 点 D 的坐标为（3+3（3） ，3（） ） ，即（9，） 9（）9， 存在点 D（9，） ，使得以 A、B、C、D 四个点构成的四边形为菱形 （写出一个点的坐标即可） 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角 三角形、三角形的面积、完全平方公式、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1） 利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的对称性，求出点 A，B 的坐标； （2）利用完全平
39、方 公式及偶次方的非负性，求出 AB2的最小值； （3）利用相似三角形的性质，找出点 C 的运动路径的函数 解析式 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2019徐州）若 A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在函数 y的图象上，且 x10x2，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【答案】A 【解答】解：函数 y， 该函数图象在第一、三象限、在每个象限内 y 随 x 的增大而减小， A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在函数 y的图象上，且 x10x2， y1y2， 故选：A 2 （2019扬州）若反比例函数 y的图象上有两个不同的
40、点关于 y 轴的对称点都在一次函数 yx+m 的图象上，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2或 m2 D2m2 【答案】C 【解答】解：反比例函数 y的图象上有两个不同的点关于 y 轴的对称点在反比例函数 y的图象 上， 解方程组得 x2mx+20， y的图象与一次函数 yx+m 有两个不同的交点， 方程 x2mx+20 有两个不同的实数根， m280， m2或 m2， 故选：C 3 （2019无锡）如图， 已知 A 为反比例函数 y（x0）的图象上一点， 过点 A 作 ABy 轴， 垂足为 B 若 OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 【答案】D
41、【解答】解： ABy 轴， SOAB|k|， |k|2， k0， k4 故选：D 4 （2019姑苏区校级二模）设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两点，当 x1x2 0 时，y1y2，则一次函数 y2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解答】解：当 x1x20 时，y1y2， 反比例函数 y图象上，y 随 x 的增大而减小， 图象在一、三象限，如图 1， k0， 一次函数 y2x+k 的图象经过二、四象限，且与 y 轴交于正半轴， 一次函数 y2x+k 的图象经过一、二、四象限，如图 2， 故选 C
42、 5 （2019宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点 O 重合，顶点 B 落在 x 轴 的正半轴上，对角线 AC、BD 交于点 M，点 D、M 恰好都在反比例函数 y（x0）的图象上，则的 值为（ ） A B C2 D 【答案】A 【解答】解：设 D（m，） ，B（t，0） ， M 点为菱形对角线的交点， BDAC，AMCM，BMDM， M（，） ， 把 M（，）代入 y得k， t3m， 四边形 ABCD 为菱形， ODABt， m2+（）2（3m）2，解得 k2m2， M（2m，m） ， 在 RtABM 中，tanMAB， 故选：A 6 （2019淮安
43、）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长 y 和宽 x 之间函数关系的是（ ） 【答案】根据题意得到 xy矩形面积（定值） ，故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x、y 实 际意义 x、y 应0，其图象在第一象限；于是得到结论 【解答】解：根据题意 xy矩形面积（定值） ， y 是 x 的反比例函数， （x0，y0） 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7 （2019南通）如图，过点 C（3，4）的直线 y2x+b 交 x 轴于点 A，ABC90，ABCB，曲线 y （x0）过点 B，将点 A 沿 y 轴正方向平移 a 个单位长度恰好落在该曲线上，则 a 的
44、值为 【答案】4 【解答】解：作 CDx 轴于 D，BFx 轴于 F，过 B 作 BECD 于 E， 过点 C（3，4）的直线 y2x+b 交 x 轴于点 A， 423+b，解得 b2， 直线为 y2x2， 令 y0，则求得 x1， A（1，0） ， BFx 轴于 F，过 B 作 BECD 于 E， BEx 轴， ABEBAF， ABC90， ABE+EBC90， BAF+ABF90， EBCABF， 在EBC 和FBA 中 EBCFBA（AAS） ， CEAF，BEBF， 设 B（m，） ， 4m1，m3， 4（m3）m1， 解得 m4，k4， 反比例函数的解析式为 y， 把 x1 代入得
45、y4， a404， a 的值为 4 故答案为 4 8 （2019镇江）已知点 A（2，y1） 、B（1，y2）都在反比例函数 y的图象上，则 y1 y2 （填“” 或“” ） 【答案】 【解答】解：反比例函数 y的图象在二、四象限，而 A（2，y1） 、B（1，y2）都在第二象限， 在第二象限内，y 随 x 的增大而增大， 21 y1y2 故答案为： 9 （2019无锡）某个函数具有性质：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 yx2 （答案不唯一） （只要写出一个符合题意的答案即可） 【答案】, yx2（答案不唯一） 【解答】解：yx2中开口向上，对称轴为 x0， 当 x0 时 y 随着 x 的增大而增大， 故答案为：yx2（答案不唯一） 10 （2018无锡）已知点 A、B 都在反比例函数 y（x0）的图象上，其横坐标分别是 m、n（mn） 过 点 A 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是 C、D；过点 B 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是 E、F， AC 与 BF 交于点 P当点 P 在线段 DE 上、且 m（n2）3 时，m 的值等于 【答案】 【解答】解：
