1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案（苏科版）（苏科版） 专题专题 0101 数与式问题数与式问题 【方法指导】【方法指导】 1.实数运算： （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又 可以进行开方运算，其中正实数可以开平方 （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加 减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行 （3）实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切 负实数，两个负实数绝对值大的
2、反而小利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两 个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小 2.整式的化简求值： 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值有乘方、乘除的混合运算中， 要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似 常涉及到整体思想和乘法公式的灵活应用 3.因式分解 （1）因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等 （2）实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示） ，一些式子在有 理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式 （3）因式分解是研究代数式
3、的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具 体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入 4.分式的化简求值问题： 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 要化成最简分式或整式分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤， 代入求值的模式一般为“当时，原式=” （2） 代入求值时， 有直接代入法， 整体代入法等常用方法 解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法 当 未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原
4、式中的各分式都有意义，且除数不能为 0 5.二次根式的计算： （1）在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“ （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式 （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往 往能事半功倍 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】实数综合计算】实数综合计算 【例 1】 （2019苏州）计算： （）2+|2|（2）0 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案 【解析】原式3+214 方法小结：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解
5、决此类题目的关键是熟 记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 【变式 1-1】 （2019宿迁）计算： （ ） 1（1）0+|1 | 【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解析】原式211 【变式 1-2】 （2019连云港）计算（1）2（ ） 1 【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解 【解析】原式2+2+33 方法小结：本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及 负整数指数幂 【变式 1-3】 （2019盐城）计算：|2|+（sin36）0
6、tan45 【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算，然后根据实数的运算法 则求得计算结果， 【解析】原式2+12+12 【类型【类型 2 2】 ：】 ：整式的化简求值整式的化简求值 【例 2】 （2019南京）计算（x+y） （x2xy+y2） 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b） （m+n）am+an+bm+bn，计算即可 【解析】 （x+y） （x2xy+y2） ， x3x2y+xy2+x2yxy2+y3， x3+y3 故答案为：x3+y3 方法小结：本题主要考查多项式乘以多项式的法则注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项 【变式 2-1
7、】 （2019建湖县二模）先化简，再求值： （x3）2+2（x2） （x+7）（x+2） （x2） ，其中 x2+2x 30 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简 结果，求出方程的解得到 x 的值，代入计算即可求出值 【解析】原式x26x+9+2x2+10x28x2+42x2+4x15， 由 x2+2x30，得到 x2+2x3， 则原式2（x2+2x）156159 【变式 2-2】 （2019宜兴市二模） （1）计算： （3）0（） 2tan30 （2）化简： （2ab）2（ab） （4ab） 【分析】 （1）根据零指数幂，负整数指数幂，特
8、殊角的三角函数值进行计算，再求出即可； （2）先算乘法，再合并同类项即可 【解析】 （1）原式14 3； （2）原式4a24ab+b24a2+ab+4abb2 ab 【变式 2-3】 （2019江都区一模） （1）计算：2cos45+|1|（2019）0 （2）化简： （2+a） （2a）+a（a1） 【分析】 （1）先算三角函数值，去绝对值，根式化简和零指数，然后分数约分和去括号，最后合并同类 二次根式 （2）是整式加减乘除混合运算，平方差公式，再单项式多项式，最后合并同类项 【解析】 （1）原式2（1）21 121 0 （2）原式22a2+a2a 4a 方法小结：第（1）题考查了学生对实数
9、运算的基本运算能力是否具有方向性，同时求三角函数值、零指 数，无理数的估算，去绝对值、二次根式化简等放到实数运算中，让一部分学生计算中不知道怎样处理， 这给课堂提出了更高的要求；第（2）考查了整式的运算，学生只要理解整式运算顺序，才会计算此题， 同时平方差公式的运用既体现多项式多项式的法则通法通解，也体现了该公式特殊性两个小题放在 一起，既可以类比学习从熟悉的实数运算到式的运算，又为梯度式教学设计提供一个很好的教学素材模 式 【类型【类型 3 3】 ：因式分解】 ：因式分解 【例 3】 （2019苏州）因式分解：x2xy 【分析】直接提取公因式 x，进而分解因式即可 【解析】x2xyx（xy）
10、 故答案为：x（xy） 方法小结：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 【变式 3-1】 （2019南京）分解因式（ab）2+4ab 的结果是 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案 【解析】 （ab）2+4ab a22ab+b2+4ab a2+2ab+b2 （a+b）2 故答案为： （a+b）2 【变式 3-2】 （2019无锡）分解因式 4x2y2的结果是（ ） A （4x+y） （4xy） B4（x+y） （xy） C （2x+y） （2xy） D2（x+y） （xy） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解析】4
11、x2y2（2x+y） （2xy） 故选：C 【变式 3-3】 （2019广陵区校级二模）下列多项式因式分解的结果不含 a1 的是（ ） Aa21 Ba2a Ca2a2 Da41 【分析】各项分解得到结果，即可作出判断 【解析】A、原式（a+1） （a1） ，不符合题意； B、原式a（a1） ，不符合题意； C、原式（a2） （a+1） ，符合题意； D、原式（a2+1） （a+1） （a1） ，不符合题意， 故选：C 方法小结：此题考查了因式分解十字相乘法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键 【类型【类型 4 4】 ：分式的】 ：分式的化简求值化简求值 【例 4】 （201
12、9南通）先化简，再求值： （m），其中 m2 【分析】先化简分式，然后将 m 的值代入计算 【解析】原式 m2+2m， 当 m2 时， 原式m（m+2） （2） （2+2） 22 【变式 4-1】 （2019淮安）先化简，再求值：（1） ，其中 a5 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可 【解析】（1） （） a+2， 当 a5 时，原式5+27 【变式 4-2】 （2019苏州）先化简，再求值：（1） ，其中，x3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解析】原式（） ， 当 x3 时， 原式 【变式 4-3】 （2019盐城）
13、【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜， 两人每次买菜的单价相同，例如： 第一次 菜价 3 元/千克 质量 金额 甲 1 千克 3 元 乙 1 千克 3 元 第二次： 菜价 2 元/千克 质量 金额 甲 1 千克 2 元 乙 1.5 千克 3 元 （1）完成上表； （2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价 （均价总金额总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为 m 千克的菜，乙每次买金额为 n 元的菜，两次的单价分别是 a 元/千克、 b 元/千克，用含有 m、n、a、b 的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大 小，并说明理由 【知识迁移】某船在相
14、距为 s 的甲、乙两码头间往返航行一次在没有水流时，船的速度为 v，所需时间 为 t1；如果水流速度为 p 时（pv） ，船顺水航行速度为（v+p） ，逆水航行速度为（vp） ，所需时间为 t2请借鉴上面的研究经验，比较 t1、t2的大小，并说明理由 【分析】 （1）金额单价质量可求第二次甲的金额与乙的质量； （2）利用均价总金额总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价； 【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案； 【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于 0，从而得结论 【解析】 （1）212（元） ，321.5（元/千克） 故答案为
15、2；1.5 （2）甲两次买菜的均价为： （3+2）22.5（元/千克） 乙两次买菜的均价为： （3+3）（1+1.5）2.4（元/千克） 甲两次买菜的均价为 2.5（元/千克） ，乙两次买菜的均价为 2.4（元/千克） 【数学思考】， 0 【知识迁移】t1，t2 t1t2 0pv t1t20 t1t2 【类型【类型 5 5】 ：】 ：代数代数计算计算的创新的创新考法考法 【例 5】 （2019宿迁模拟）若 2019 个数 a1、a2、a3、a2019满足下列条件：a12，a2|a1+5|，a3 |a2+5|，a2019|a2018+5|，则 a1+a2+a3+a2019（ ） A5040 B5
16、045 C5047 D5051 【分析】通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第 3 个数开始，按2，3 依次循环，按此规 律即可得出 a1+a2+a3+a2019的值 【解析】依题意，得：a12， a2|2+5|7， a3|7+5|2， a4|2+5|3， a5|3+5|2， a6|2+5|3， 由上可知，这 2019 个数 a1、a2、a3、a2019从第三个数开始按2，3 依次循环， 故这 2019 个数中有 1 个 2，1 个7，1009 个2，1008 个3， a1+a2+a3+a20192721009310085047， 故选：C 【变式 5-1】（2019徐州二模） 如图所示
17、， 将形状、 大小完全相同的 “ ” 和线段按照一定规律摆成下列图形 第 1 幅图形中“ ”的个数为 a1，第 2 幅图形中“ ”的个数为 a2，第 3 幅图形中“ ”的个数为 a3，以此 类推，则的值为 【分析】首先根据图形中“”的个数得出数字变化规律，进而求出即可 【解析】a1313，a2824，a31535，a42446，ann（n+2） ； （1）（） ， 故答案为：， 【变式 5-2】 （2019莘县一模）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2） 、 （3）是由这样的小正方 体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 【分析】可用逐条分
18、析的方法，从最高的那条开始计数根据所给图形可知，从上到下逐层条是添加四 个小正方体，通过计算得出结果 【解析】根据题意可得知： 图（1）中有 111 个小正方体； 图（2）中有 12+416 个小正方体； 图（3）中有 13+42+4115 个小正方体； 以此类推第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 16+45+44+43+42+4166 个 故答案为：66 方法小结：此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力注意此题中第六个叠放的图形中，小正方体木块 总数应是 16+45+44+43+42+4166 个 【变式 5-3】 （2019临清市一模）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案
19、的形成”的演示 案例：作一个正方形，设每边长为 4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a 的小正方形，得到图 形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3） ，称为第 二次变化如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案如不断发展下去到第 n 次变化时，图 形的面积是否会变化， （填写“会”或者“不会” ） ，图形的周长为 【分析】观察图形，发现对正方形每进行 1 次分形，周长增加 1 倍；每增加一个小正方形同时又减少一 个相同的小正方形，即面积不变 【解析】周长依次为 16a，32a，64a，128a，2n+4a，即无限增加， 所以不断发展下去
20、到第 n 次变化时，图形的周长为 2n+4a； 图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值 16a2 故答案为：不会、2n+4a 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2019南通）下列计算，正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a2aa Ca6a2a3 D （a2）3a6 【答案】D 【解析】a2a3a5， 选项 A 不符合题意； 2a2aa， 选项 B 不符合题意； a6a2a4， 选项 C 不符合题意； （a2）3a6， 选项 D 符合题意 故选：D 2 （2019常州）下列各数中与 2的积是有理数的是（
21、） A2 B2 C D2 【答案】D 【解析】（2） （2）431； 故选：D 3 （2019常州）若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx3 Cx1 Dx3 【答案】D 【解析】代数式有意义， x30， x3 故选：D 4 （2019泰州）若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为（ ） A1 B1 C2 D3 【答案】B 【解析】4a26ab+3b， 2a（2a3b）+3b， 2a+3b， （2a3b） ， 1， 故选：B 5 （2019南京）实数 a、b、c 满足 ab 且 acbc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） 【答案】A 【解析】因为 ab 且
22、 acbc， 所以 c0 选项 A 符合 ab，c0 条件，故满足条件的对应点位置可以是 A 选项 B 不满足 ab，选项 C、D 不满足 c0，故满足条件的对应点位置不可以是 B、C、D 故选：A 6 （2019镇江一模）小明根据右表，作了三个推测： x 2 1 2 10 1.1 1000 1.001 10000 1.0001 （1）2（x0）的值随着 x 的增大越来越小； （2）2（x0）的值有可能等于 1； （3）2（x0）的值随着 x 的增大越来越接近于 1； 则推测正确的是（ ） A （1） （2） B （1） （3） C （2） （3） D （1） （2） （3） 【答案】B 【解
23、析】22（1）1， （1）当 x0 时， 会随着 x 的增大而减小 所以，1会随着 x 的增大而减小，故（1）对； （2） 不为 0，故，1的值不可能等于 1，故（2）不对； （3）又因为当 x0 时，0，所以 11，且会随着 x 的增大而越来越接近 1，故正确 故选：B 7 （2019鼓楼区校级模拟）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，在 C 地相遇后，甲又经过 t1小时到达 B 地，乙又经过 t2小时到达 A 地，设 ACS1，BCS2，那么 t1：t2等于（ ） AS1：S2 B 22 12 SS： CS2：S1 D 22 21 SS： 【答案】D 【解析】设甲的速度为 v
24、甲，乙的速度 v乙， 由相遇时的时间相同，可得，即， t1：t2S22：S12 故选：D 8 （2019相城区校级二模）下列运算中，正确的是（ ） A3 B （a+b）2a2+b2 C （ ）2（a0） Da3a4a12 【答案】C 【解析】 （3）327，负数没有平方根，故 A 错误； （a+b）2a2+2ab+b2，故 B 错误； （ ）2，故 C 正确； a3a4a7，故 D 错误 故选：C 9 （2019宿迁三模）若（2x+1）4a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则 a0+a2+a4的值为（ ） A82 B81 C42 D41 【答案】D 【解析】令 x1，得 34a0+a1
25、+a2+a3+a4， 令 x1，得 1a0a1+a2a3+a4， +得：2（a0+a2+a4）82， 则 a0+a2+a441， 故选：D 10 （2019昆山市一模）若 2x3y23，则 1xy2的值是（ ） A2 B C D4 【答案】B 【解析】2x3y23， xy2， 则原式1（xy2） 1 ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11 （2019海州区校级模拟）某市在一次扶贫活动中，共捐款 21900000 元，将 2190000 科学记数法表示 为 【答案】2.19106 【解析】21900002.19106， 故答案为：2.19106 12 （2019工业园区
26、校级二模）当 x1 时，代数式 ax3+bx+1 的值为 5，则代数式 4ab 的值 【答案】0 【解析】由题意得，a+b+15， a+b4， 当 a+b4 时， 原式4（a+b） 44 0 故答案为 0 13 （2019常熟市二模）若 a+b4，ab1，则（a+2）2（b2）2的值为 【答案】20 【解析】a+b4，ab1 （a+2）2（b2）2（a+2）+（b2）（a+2）（b2）（a+b） （ab+4）4（1+4） 20 故答案为：20 14 （2019建邺区校级二模）计算（）2的结果是 【答案】 【解析】原式2 2 故答案为 15 （2019玄武区二模）分解因式（ab） （a9b）+4
27、ab 的结果是 【答案】 （a3b）2 【解析】 （ab） （a9b）+4ab a29abab+9b2+4ab a26ab+9b2 （a3b）2 故答案为： （a3b）2 16 （2019兴化市二模）已知：abbc1，a2+b2+c22，则 ab+bc+ac 的值等于 【答案】1 【解析】abbc1， ac2， a2+b2+c2abbcac（2a2+2b2+2c22ab2bc2ac）（ab）2+（bc）2+（ca）23， ab+bc+aca2+b2+c23231； 故答案为：1 17 （2019常州一模）已知分式的值为 2，且 y1，则分式的值为 【答案】2 【解析】， 3x2x+2y， x2
28、y， 原式2， 故答案为：2 18 （2019高邮市一模）对于每个正整数 n，设 g（2n）表示 2+4+6+2n 的个位数字如：当 n1 时，g （2）表示 2 的个位数字，即 g（2）2；当 n2 时，g（4）表示 2+4 的个位数字，即 g（4）6；当 n 4 时，g（8）表示 2+4+6+8 的个位数字，即 g（8）0则 g（2）+g（4）+g（6）+g（2022）的 值为 【答案】2022 【解析】g（2）2， g（4）6， g（6）2， g（8）0， g（10）0， 从 10 以后，每 5 组就是一组循环， g（2）+g（4）+g（6）+g（8）+g（10）10， 又g（2）+g（
29、4）+g（6）+g（2022）有 202 组余下 g（2022） ， 根据规律可得 g（2022）2， g（2）+g（4）+g（6）+g（2022）20210+22022 故答案为 2022 19 （2019姑苏区校级二模）已知 x+y2，则 5xy 的值是 【答案】3 【解析】x+y2， 5xy5（x+y）523 故答案是：3 20 （2019徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形第 1 幅图形中“ ”的个数为 a1，第 2 幅图形中“ ”的个数为 a2，第 3 幅图形中“ ”的个数为 a3，以此类 推，则的值为 【答案】 【解析】a1313，a282
30、4，a31535，a42446，ann（n+2） ； （1）（） ， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 21 （2019建湖县二模）先化简，再求值： （x3）2+2（x2） （x+7）（x+2） （x2） ，其中 x2+2x30 【答案】9 【解析】原式x26x+9+2x2+10x28x2+42x2+4x15， 由 x2+2x30，得到 x2+2x3， 则原式2（x2+2x）156159 22 （2019宜兴市二模） （1）计算： （3）0（） 2tan30 （2）化简： （2ab）2（ab） （4ab） 【答案】(1) 3；(2) ab 【解析】 （1）原式14 3；
31、（2）原式4a24ab+b24a2+ab+4abb2 ab 23 （2019宿豫区模拟）计算：12020（ ） 22sin60 【答案】1 【解析】原式1（2）+4 124 1 24 （2019海陵区校级三模） （1）计算：|1| （2）化简： 【答案】 【解析】 （1）原式11+4 11+2 ； （2）原式 a 25 （2019工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中 x3+2 【答案】 【解析】原式 ， 当 x3+2时， 原式 26 （2019宿豫区模拟）先化简，再求值： （x1），其中 x 的值从不等式组的整 数解中选取 【答案】3 【解析】原式， 解不等式 2x3，得 x1， 解不等式 2x41，得 x， 不等式组的解集为1x，它的整数数解为1，0，1，2， x1，0，2， x1， 当 x1 时，原式3
