1、 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 1 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 24 二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题 【方法指导】【方法指导】 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。 解决动点产生
2、的面积问题，常用到的知识和方法有： （1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式 （2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补” 的方法 （3）同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等 （4）同底三角形的面积比等于高的比 （5）同高三角形的面积比等于底的比 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】二次函数与面积最值问题】二次函数与面积最值问题 【例 1】如图，抛物线 2 (1)yxk与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧） ，与y轴相交于点 (0, 3)CP为抛物线上一点，横坐标为m，且0m
3、（1）求此抛物线的解析式； （2）当点P位于x轴下方时，求ABP面积的最大值； （3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点)P最高点与最低点的纵坐标之差为h 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； 当9h 时，直接写出BCP的面积 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 2 【变式训练】如图，抛物线 2 2(0)yaxaxc a与y轴交于点(0,4)C，与x轴交于点A、B，点A坐标 为(4,0) （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CKKN最小，并求出点K的坐标； （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作/ /QEAC，交BC于点E，
4、连接CQ当CQE的面积最大时， 求点Q的坐标； 【类型【类型 2 2】二次函数与面积定值问题】二次函数与面积定值问题 【例 2】抛物线 2 2 9 yxbxc 与x轴交于( 1,0)A ，(5,0)B两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P 为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合） 过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于 点F （1）求抛物线的解析式； （2）当PCF的面积为 5 时，求点P的坐标； （3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 3 【变式训练】已知抛物线 2 3yaxbx经过点(1,0)A和点( 3,0)B
5、 ，与y轴交于点C，点P为第二象限内 抛物线上的动点 （1）抛物线的解析式为_，抛物线的顶点坐标为_； （2）如图 1，连接OP交BC于点D，当:1:2 CPDBPD SS 时，请求出点D的坐标； （3） 如图 2， 点E的坐标为(0, 1)， 点G为x轴负半轴上的一点，15OGE， 连接PE， 若2P E GO G E ， 请求出点P的坐标； （4）如图 3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为 8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由 【类型【类型 3 3】二次函数与等面积问题】二次函数与等面积问题 【例 3】 如图， 二次函数 2 3yxbx的图象与x轴交于点A、B， 与y
6、轴交于点C， 点A的坐标为( 1,0)， 点D为OC的中点，点P在抛物线上 （1）b _； （2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存 在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 4 （3）若点P的横坐标小于 3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且2 PQ BQ RB SS ， 求点P的坐标 【变式训练】如图，抛物线 2 yaxbxc的图象过点( 1,0)A 、(3,0)B、(0,3)C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存
7、在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合） ，使得 PAMPAC SS ？若存 在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【类型【类型 4 4】二次函数与面积数量关系】二次函数与面积数量关系 【例 4】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的 坐标为(1,3) （1）求该二次函数的表达式； （2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且EDEF，求点E的坐标 （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，
8、使得ADG的面积是BDG的面积的 3 5 ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 5 【变式训练】如图抛物线 2 yaxbxc经过点( 1,0)A ，点(0,3)C，且OBOC （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E在直线1x 上的两个动点，且1DE ，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小 值 （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标 【达标检测】【达标检测】 1 如图， 已知抛物线 2 3yaxbx与x轴交于点( 3,0)A 和点(1,0)B， 交y轴于点C
9、， 过点C作/ /CDx轴， 交抛物线于点D （1）求抛物线的解析式； （2）若直线( 30)ymm 与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EGx轴于点E，过点H 作HFx轴于点F，求矩形GEFH的最大面积； （3）若直线1ykx将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为 1 S， 2 S，且 12 :4:5SS ，求k的 值 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 6 2如图，抛物线 2 (0)yaxbx a过点(10,0)E，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边） ， 点C，D在抛物线上设( ,0)A t，当2t 时，4AD （1）求抛物线的函数表达式 （2
10、）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持2t 时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H， 且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 3已知：如图，抛物线 2 23yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M （1）求点A、B、C的坐标 （2）求直线BM的函数解析式 （3）试说明：90CBMCMB （4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 7 4如图 1，抛物线 2 1: Cyxa
11、x与 2 2: Cyxbx相交于点O、C， 1 C与 2 C分别交x轴于点B、A，且B 为线段AO的中点 （1）求 a b 的值； （2）若OCAC，求OAC的面积； （3）抛物线 2 C的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下： 点P为抛物线 2 C对称轴l上一动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标； 如图 2，点E在抛物线 2 C上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出 面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由 5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 3 2 yxbxc与x轴交于( 1,0)A ，(2,0)B两点，与y轴交于 点C （1）求该抛物线
12、的解析式； （2）直线yxn 与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且 4BEEC 求n的值； 连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由； 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 8 （3） 直线(0)ym m与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧） ， 点M关于y轴的对称点为点 M ， 点H的坐标为(1,0)若四边形OM NH的面积为 5 3 求点H到OM的距离d的值 6如图，已知二次函数 2 3 (2)3 4 yaxax的图象经过点(4,0)A，与y轴交于点B在x轴上有一动点 (C m，0)(04)m，过点C作
13、x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D （1）求a的值和直线AB的解析式； （2）过点D作DFAB于点F，设ACE，DEF的面积分别为 1 S， 2 S，若 12 4SS，求m的值； （3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四 边形，且DEGH周长取最大值时，求点G的坐标 7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 3yaxbx经过点( 1,0)A 、(3,0)B两点，且与y轴交于 点C （1）求抛物线的表达式； （2）如图，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与 抛物线相交于P、
14、Q两点 （点P在点Q的左侧） ， 连接PQ， 在线段PQ上方抛物线上有一动点D， 连接DP、 DQ （）若点P的横坐标为 1 2 ，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标； 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 9 （）直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由 8已知抛物线 2 (1)ya x过点(3,1)，D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点B、C均在抛物线上，其中点 1 (0, ) 4 B，且90BDC，求点C的坐标； （3）如图，直线4ykxk与抛物线交于P、Q两点 求证：90PDQ； 求PDQ面积的最小值 9如图
15、，在平面直角坐标系中，抛物线 2 22 4 33 yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧） ，与y轴 交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒 2 个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在 线段BC上以每秒 1 个单位长度的速度向C点运动， 当其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动 设 运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积； 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 10 （3） 在 （2） 的条件下， 当PBQ面积最大时， 在BC下方的抛物线上是否存在点M， 使B M C的面积是PBQ 面积的 1.6 倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由 10 如图， 已知抛物线 2 3 4 2 yaxx的对称轴是直线3x ， 且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧） 与y轴交于C点 （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合） ，则是否存在一点P，使PBC的 面积最大若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当3MN 时，求M点的坐 标
