1、 2011 年普通高等学校全国统一考试（山东卷） 理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个 项是符合题目要求的。 （1）设集合 2 60Mx xx， 13Nxx ，则MN （ ） A.1,2) B. 1,2 C. (2,3 D. 2,3 解析：32Mxx ，1,2)MN ，答案应选 A。 （2）复数 2 ( 2 i zi i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 2 2(2)34 255 iii z i 对应的点为 34 ( ,) 55 在第四象限，
2、答案应选 D. （3）若点( ,9)a在函数3xy 的图象上，则tan 6 a 的值为（ ） A.0 B. 3 3 C. 1 D. 3 解析： 2 393 a ，2a，tantan3 63 a ，答案应选 D. （4）不等式5310xx的解集是（ ） A. 5,7 B. 4,6 C. (, 57,) D. (, 46,) 解析：当5x 时，原不等式可化为2210x，解得6x；当35x 时，原不等式可化 为810，不成立；当3x时，原不等式可化为2210x，解得4x.综上可知6x， 或4x，答案应选 D。 另解 1：可以作出函数53yxx的图象，令5310xx=可得4x=或6x，观察 图像可得6
3、x，或4x可使5310xx成立，答案应选 D。 另解 2：利用绝对值的几何意义，53xx表示实数轴上的点x到点3x与5x 的距离之 和， 要使点x到点3x与5x 的距离之和等于 10， 只需4x=或6x， 于是当6x， 或4x 可使5310xx成立，答案应选 D。 （5）对于函数( )yf x，xR，“( )yf x的图象关于y轴对称”是“( )yf x是奇函数” 的（ ） A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 解析： 若( )yf x是奇函数， 则( )yf x的图象关于y轴对称； 反之不成立， 比如偶函数( )yf x， 满足( )yf x的图象关
4、于y轴对称，但不一定是奇函数，答案应选 B。 （6）若函数( )sin(0)f xx在区间0, 3 上单调递增，在区间, 3 2 上单调递减，则 A.3 B. 2 C. 3 2 D. 2 3 解析：函数( )sin(0)f xx在区间0, 2 上单调递增，在区间 3 , 22 上单调递减， 则 23 ，即 3 2 ，答案应选 C。 另解 1：令2,2() 22 xkkk Z得函数( )f x在 22 , 22 kk x 为增函数， 同理可得函数( )f x在 223 , 22 kk x 为减函数，则当0, 23 k 时符合题意，即 3 2 ，答案应选 C。 另解 2：由题意可知当 3 x 时，
5、函数( )sin(0)f xx取得极大值，则)0 3 f ，即 cos0 3 ，即() 32 kk Z，结合选择项即可得答案应选 C。 另解 3：由题意可知当 3 x 时，函数( )sin(0)f xx取得最大值， 则2() 32 kk Z， 3 6() 2 kkZ，结合选择项即可得答案应选 C。 （7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元 ） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ybxa中的b为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额为（ ） A.63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D.
6、 72.0 万元 解析：由题意可知3.5,42xy，则429.4 3.5,9.1,a a9.4 6 9.165.5y ，答案应 选 B。 （8）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均和圆 22 :650C xyx相切，且双 曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A. 22 1 54 xy B. 22 1 45 xy C. 22 1 36 xy D. 22 1 63 xy 解析：圆 22 :(3)4Cxy，3,c 而 3 2 b c ，则 2 2,5ba，答案应选 A。 （9）函数2sin 2 x yx的图象大致是（ ） 解析： 函数2sin 2 x
7、 yx为奇函数， 且 1 2cos 2 yx ， 令0y 得 1 cos 4 x ， 由于函数cosyx 2 x A. O y 4 2 x B. O y 4 2 x C. O y 4 2 x D. O y 4 为周期函数，而当2x时，2sin0 2 x yx，当2x时，2sin0 2 x yx，则答案应 选 C。 （10） 已知( )f x是R上最小正周期为 2 的周期函数， 且当02x时， 3 ( )f xxx， 则函数( )f x 的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：当02x时 32 ( )(1)f xxxx x，则(0)(1)0ff，而(
8、 )f x是R上最小正周期 为 2 的周期函数，则(2)(4)(6)(0)0ffff，(3)(5)(1)0fff，答案应选 B。 (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题： 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。 其中真，命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 解析：均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱， 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真， 答案选 A。 （12）设 1234 ,A A A A是平
9、面直角坐标系中两两不同的四点，若 1312( )AAAAR, 1412( )AAAAR,且 11 2 ，则称 34 ,A A调和分割 12 ,A A，已知平面上的点,C D调和分 割点,A B，则下面说法正确的是 A. C 可能是线段 AB 的中点 B. D 可能是线段 AB 的中点 C. C,D 可能同时在线段 AB 上 D. C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解析：根据题意可知 11 2 cd ，若 C 或 D 是线段 AB 的中点，则 1 2 c ，或 1 2 d ，矛盾； 若 C,D 可能同时在线段 AB 上，则01,01,cd则 11 2 cd 矛盾，若 C,D 同时在线段
10、 AB 的延 长线上，则1,1cd， 11 02 cd ，故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上，答案选 D。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （13）执行右图所示的程序框图，输入2,3,5lmn， 则输出的 y 的值是 。 解析：1406375278,y 278 105173,173 10568yy。 答案应填：68. （14）若 6 2 () a x x 展开式的常数项为 60， 则常数a的值为 。 解析： 6 2 () a x x 的展开式 6 16 2 () kkk k a TC x x 6 3 6( ) kk Ca x ，令630,2,kk 正
11、（主）视图 俯视图 开始 输入非负整数 l，m， 222 0lmn 702115ylmn105y 105y 105yy 输出 y 结束 22 6( )1560,4Caaa，答案应填：4. （15）设函数( )(0) 2 x f xx x ，观察： 1( ) ( ) 2 x f xf x x ， 21 ( )( ) 34 x fxf f x x ， 32 ( )( ) 78 x fxf fx x ， 43 ( )( ) 1516 x fxf fx x ， 根据上述事实，由归纳推理可得： 当*nN，且2n时， 1 ( )( ) nn fxf fx 。 解析： 21 22 ( )( ) (21)2
12、x fxf f x x ， 32 33 ( )( ) (21)2 x fxf fx x ， 43 44 ( )( ) (21)2 x fxf fx x ，以此类推可得 1 ( )( ) (21)2 nn nn x fxf fx x 。 答案应填： (21)2 nn x x 。 16.已知函数( )log(0, a f xxxb a且1)a 。 当234ab 时函数( )f x的零点为 0 ( ,1)(*)xn nnN， 则n 。 解析：根据(2)log 22log230 aa fba ， (3)log 32log340 aa fba ，而函数( )f x在(0,)上连续，单调递增，故函数( )
13、f x 的零点在区间(2,3)内，故2n。答案应填：2. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 cos2cos2 cos ACca Bb ， （）求 sin sin C A 的值；（）若 1 cos,2 4 Bb，求ABC的面积 S。 解：（）在ABC中，由 cos2cos2 cos ACca Bb 及正弦定理可得 cos2cos2sinsin cossin ACCA BB ， 即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB 则sinsinsincos2sinc
14、os2cossinABABCBCB sin()2sin()ABCB，而ABC，则sin2sinCA， 即 sin 2 sin C A 。 另解 1：在ABC中，由 cos2cos2 cos ACca Bb 可得 cos2 cos2 coscosbAbCcBaB 由余弦定理可得 222222222222 22 bcaabcacbacb caac ， 整理可得2ca，由正弦定理可得 sin 2 sin Cc Aa 。 另解 2：利用教材习题结论解题，在ABC中有结论 coscos ,coscos,coscosabCcB bcAaC caBbA. 由 cos2cos2 cos ACca Bb 可得c
15、os2 cos2 coscosbAbCcBaB 即coscos2 cos2 cosbA aBcBbC，则2ca， 由正弦定理可得 sin 2 sin Cc Aa 。 （）由2ca及 1 cos,2 4 Bb可得 222222 42cos44,caacBaaaa则1a ，2c ， S 2 1115 sin1 21 cos 224 acBB ，即 15 4 S 。 （18）（本题满分 12 分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘。已知 甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。 （）求红
16、队至少两名队员获胜的概率； （）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E。 解析：（）记甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘中甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件,D E F,则甲 不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 分别为事件,D E F，根据各盘比赛结果相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()PP DEFP DEFP DEFP DEF () ( ) ( )() ( ) ( )() ( ) ( )() ( ) ( )P D P E P FP D P E P FP D P E P FP D P E P F 0.6 0.5 (1 0.5)0.6 (1 0.5) 0
17、.5(1 0.6) 0.5 0.50.6 0.5 0.50.55. （）依题意可知0,1,2,3， (0)()() ( ) ( )(1 0.6) (1 0.5) (1 0.5)0.1PP DEFP D P E P F； (1)()()()PP DEFP DEFP DEF 0.6 (1 0.5) (1 0.5)(1 0.6) 0.5 (1 0.5)(1 0.6) (1 0.5) 0.50.35; (2)()()()PP DEFP DEFP DEF 0.6 0.5 (1 0.5)(1 0.6) 0.5 0.50.6 (1 0.5) 0.50.4; (3)()0.6 0.5 0.50.15PP DE
18、F.故的分布列为 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故0 0.1 1 0.352 0.43 0.151.6E . 19. （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， 0 90ACB，EA 平面ABCD，/EFAB， /FGBC，/EGAC，2ABEF （） 若M是线段AD的中点， 求证：/GM平面ABFE； （）若2ACBCAE，求二面角A BFC的大小 几何法： 证明：（）/EFAB，2ABEF可知延长BF交AE于 点P，而/FGBC，/EGAC， 则PBF平面,BFGC PAE平面AEGC，即P平面BFGC平面AEGCGC， 于是,B
19、F CG AE三线共点， 1 / / 2 FGBC，若M是线段AD的中点，而/ /ADBC, 则/ /FGAM，四边形AMGF为平行四边形，则/GMAF，又GM 平面ABFE， 所以/GM平面ABFE； （）由EA 平面ABCD，作CHAB，则CH 平面ABFE，作HTBF，连接CT，则 CTBF，于是CTH为二面角A BFC的平面角。 若2ACBCAE，设1AE ，则2ACBC，2 2,2ABCH，H为AB的中点， 222 tan 22 2 AEAE FBA ABEFAB ， 3 sin 3 FBA， 36 sin2 33 HTBHABF，在Rt CHT中tan3 CH CTH HT , 则
20、60CTH，即二面角A BFC的大小为60。 坐标法：（）证明：由四边形ABCD为平行四边形， 0 90ACB，EA 平面ABCD，可得 以点A为坐标原点，,AC AD AE所在直线分别为, ,x y z建立直角坐标系， 设= ,AC a ADb AEc，则(0,0,0)A, 1 ( ,0,0),(0, ,0),(0,0), ( ,0) 2 C aDbMbB ab. 由/EGAC可得()EGACR， 1 (,) 2 GMGEEAAMabc 由/FGBC可得()FGBCADR, 11 22 GMGFFAAMADBAEAAD 1 (,(1) ,) 2 abc ，则 1 2 ， 1 2 GMBAEA
21、，而GM 平面ABFE， 所以/GM平面ABFE； （）（）若2ACBCAE，设1AE ，则2ACBC， (2,0,0),(0,0,1),(2, 2,0),(1, 1,1)CEBF,则(0,2,0)BCAD,( 1,1,1)BF , (2, 2,0)AB ,设 11112222 ( , ),(,)x y zx y zn =n分别为平面ABF与平面CBF的法向量。 则 11 111 220 0 xy xyz ，令 1 1x ，则 11 1,0yz， 1 (1,1,0)n =； 2 222 20 0 y xyz ，令 2 1x ，则 22 0,1yz， 2 (1,0,1)n。 于是 12 12 1
22、2 1 cos 2 n n n ,n nn ，则 12 60n ,n， 即二面角A BFC的大小为60。 A B C D E F G M 20. （本小题满分 12 分）等比数列 n a中， 123 ,a a a分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 123 ,a a a中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足：1ln n nnn baa ，求数列 n b的前n项和 n S 解析：（）由题意可知 123 2,6,18aaa，公比 32 12 3 aa q a
23、a ， 通项公式为 1 2 3n n a ； （） 111 1ln2 3( 1) ln2 32 3( 1) ln2(1)ln3 n nnnnn nnn baan 当2 (*)nk kN时， 122nk Sbbb 21 2(1 33) 1 ( 23)( (22)(21)ln3 k kk 2 1 3 2ln331ln3 1 32 k n n k 当21(*)nkkN时 1221nk Sbbb 22 2(1 33) (1 2)(23)(22)ln3 ln2 k kk 21 1 3 2(1)ln3ln2 1 3 k k (1) 31ln3ln2 2 n n 故 31ln3, 2 (1) 31ln3ln
24、2 2 n n n n n S n n 为偶数； ， 为奇数. 另解：令 1 1 ( 1) ln2 3 n nn n T ，即 11 ( 1) ln2( 1) (1)ln3 nn nn n Tn 223 1 ( 1)( 1) ln2( 1)1 ( 1)2( 1)(1)ln3 nn n Tn 231341 ( 1)( 1)( 1)ln2( 1) 1 ( 1)2( 1)(1)ln3 nn n Tn 则 1231 2 1 ( 1)ln2( 1)( 1)( 1)( 1)(1)ln3 nnn n Tn 21 11 11 ( 1)( 1) 1 ( 1)ln2( 1)(1)ln3 222 n nn n Tn
25、 121 11 1 ( 1)ln2( 1)( 1)(21)ln3 24 nn n Tn 故 1 12 2(1 33) n nnn SbbbT 121 11 31 1 ( 1)ln2( 1)( 1)(21)ln3 24 nnn n . 21. （本小题满分 12 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的 中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 80 3 立方米，且2lr假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部 分每平方米建造费用为c（3c ）千元设该容器的建造费用为y千元 （）写出y关于r的函数表达
26、式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小时的r 解析：（）由题意可知 23 480 () 33 r lrlr 2，即 2 804 2 33 lrr r ，则02r. 容器的建造费用为 22 2 804 2346()4 33 yrlrcrrr c r ， 即 22 160 84yrr c r ，定义域为 02rr. （） 2 160 168yrrc r ，令0y ，得 3 20 2 r c . 令 3 20 2, 2 r c 即4.5c ， （1）当34.5c时，3 20 2, 2c 当02r，0y，函数y为减函数，当2r 时y有最小 值； （2）当4.5c 时，3 20 2, 2c
27、 当 3 20 0 2 r c ，0y；当 3 20 2 r c 时0y ， 此时当 3 20 2 r c 时y有最小值。 22. （本小题满分 12 分）已知动直线l与椭圆C： 22 1 32 xy 交于 1122 ,P x yQ x y两不同点， 且OPQ的面积 6 2 OPQ S，其中O为坐标原点 （）证明： 22 12 xx和 22 12 yy均为定值； （）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值； （）椭圆C上是否存在三点,D E G，使得 6 2 ODEODGOEG SSS ？若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由 解析：（）当直线l的斜率不存在时，,P Q两点关于x轴
28、对称，则 1212 ,xxyy ， 由 11 ,P x y在椭圆上，则 22 11 1 32 xy ，而 11 6 2 OPQ Sx y ，则 11 6 ,1 2 xy 于是 22 12 3xx， 22 12 2yy. 当直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，代入 22 1 32 xy 可得 22 23()6xkxm，即 222 (23)6360kxkmm，0 ，即 22 32km 2 1212 22 636 , 2323 kmm xxx x kk 222 12121 2 11()4PQkxxkxxx x 22 2 2 2 6 32 1 23 km k k 2 1 m d k ， 22 2 1
29、12 6 326 22232 POQ km Sd PQm k 则 22 322km，满足0 2 2222 121212 22 63(2) ()2()23 2323 kmm xxxxx x kk ， 222222 121212 222 (3)(3)4()2 333 yyxxxx， 综上可知 22 12 3xx， 22 12 2yy. （）当直线l的斜率不存在时，由（）知 1 6 26; 2 OMxPQ 当直线l的斜率存在时，由（）知 12 3 22 xxk m ， 2 1212 31 () 222 yyxxk kmm mm ， 2 2 22 1212 222 9111 ()()(3) 2242
30、xxyyk om mmm 222 2 2 2 222 24(32)2(21)1 (1)2(2) (23) kmm PQk kmm 22 22 1125 (3)(2) 4 OMPQ mm ，当且仅当 22 11 32 mm ，即2m 时等号成立，综 上可知OMPQ的最大值为 5 2 。 （）假设椭圆上存在三点,D E G，使得 6 2 ODEODGOEG SSS ， 由（）知 222222 3,3,3 DEEGGD xxxxxx， 222222 2,2,2 DEEGGD yyyyyy. 解得 222 3 2 DEG xxx, 222 1 DEG yyy， 因此, DEG xxx只能从 6 2 中选取，, DEG yyy只能从1中选取， 因此,D E G只能从 6 (, 1) 2 中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与 6 2 ODEODGOEG SSS 相矛盾， 故椭圆上不存在三点,D E G，使得 6 2 ODEODGOEG SSS 。
