1、 2014 年高考山东卷理科数学年高考山东卷理科数学试题试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）已知, a bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则 2 ()abi （A）54i （B）5 4i （C）3 4i （D）3 4i 1.【答案】D 【解析】 ia 与bi2互为共轭复数，1, 2ba iiiibia4344)2()( 222 （2）设集合 |1| 2Axx， |2 ,0,2 x By yx，则AB （A）0,2 （B）(1,3) （C）1,3) （D）(1,4) 2.【答案】C 【解析】. 31,
2、 212, 21xxx 4 , 1 2 , 0,2yxy x )3 , 1 BA （3）函数 2 2 1 ( ) (log)1 f x x 的定义域为 （A） 1 (0, ) 2 （B）(2,) （C） 1 (0, )(2,) 2 （D） 1 (0, 2,) 2 3.【答案】C 【解析】01)(log 2 2 x1log1log 22 xx或 2 1 02xx或 （4）用反证法证明命题： “已知, a b为实数，则方程 2 0xaxb至少有一个实根”时，要 做的假设是 （A）方程 2 0xaxb没有实根 （B）方程 2 0xaxb至多有一个实根 （C）方程 2 0xaxb至多有两个实根 （D）
3、方程 2 0xaxb恰好有两个实根 4.【答案】A 【解析】 “至少有一个”的对立面应是“没有”,故选 A （5）已知实数, x y满足 xy aa（01a） ，则下列关系式恒成立的是 （A） 22 11 11xy （B） 22 ln(1)ln(1)xy （C）sinsinxy （D） 22 xy 5.【答案】D 【解析】yxaaa yx 10 ,但不能判断 22 yx （如1, 0yx）排除 A,B;xysin是周期函数，排除 C; 3 xy 是单调递增函数，D 正确. （6）直线4yx与曲线 3 yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A）2 2 （B）4 2 （C）2 （D）4 6.【
4、答案】D 【解析】联立 2 4 xy xy ，且在第一象限，得)8 , 2(),0 , 0(BA 所求面积4| ) 4 1 2()4( 2 0 42 2 0 3 xxdxxxS （7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)， 15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组.右图是 根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人， 第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 （A）1 （B）8 （C）12 （D）18 7.【答案
5、】C 【解析】第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4， 12618,1836. 050,804 . 020 （8）已知函数( ) |2| 1f xx，( )g xkx，若( )( )f xg x有两个不相等的实根，则实数 k的取值范围是 （A） 1 (0, ) 2 （B） 1 ( ,1) 2 （C）(1,2) （D）(2,) 8.【答案】B 【解析】画出)(xf的图像，最低点是) 1 , 2(，kxxg)(过原点和) 1 , 2(时斜率最小为 2 1 ；斜 率最大时)(xg的斜率与1)( xxf的斜率一致. （9） 已知, x y满足约束条件 10, 230, xy xy 当目标
6、函数(0,0)zaxby ab在该约束条 件下取到最小值2 5时， 22 ab的最小值为 （A）5 （B）4 （C）5 （D）2 9.【答案】B 【解析】联立 032 01 yx yx ，得交点坐标) 1 , 2(，则522ba，即圆心（0,0）到直线 0522ba的距离的平方4) 5 52 ( 2 . （10）已知ab，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 xy ab ，双曲线 2 C的方程为 22 22 1 xy ab ， 1 C与 2 C 的离心率之积为 3 2 ，则 2 C的渐近线方程为 （A）20xy（B）20xy（C）20xy（D）20xy 10.【答案】A 【解析】, 2 22
7、2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 a ba a c e a ba a c e 4 3 )( 4 44 2 21 a ba ee 2 2 a b 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的 值为 . 11.【答案】3 【解析】根据判断条件034 2 xx，得31 x 输入1x 第一次判断后循环，11, 21nnxx 第二次判断后循环，21, 31nnxx 第三次判断后循环，31, 41nnxx 第四次判断不满足条件，结束循环，输出3n （12）在ABC中，已知tanAB ACA，当 6 A 时，ABC的面积
8、为 . 12.【答案】 6 1 【解析】由条件可知 AAcbACABtancos 当 6 1 sin 2 1 , 3 2 , 6 AbcSbcA ABC （13） 三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点， 记三棱锥DABE的体积为 1 V， PABC的体积为 2 V，则 1 2 V V . 13.【答案】 4 1 【解析】分别过CE,向平面 PAB 做高 21,h h，由E为PC的中点得 2 1 2 1 h h ， 由D为PB的中点得 ABPABD SS 2 1 ，所以 4 1 ) 3 1 ( : ) 3 1 (: 2121 hShSVV ABPABD （14）若 62 )( x b
9、ax 的展开式中 3 x项的系数为 20，则 22 ab的最小值为 . 14.【答案】2 【解析】将 62 )( x b ax 展开，得到 rrrr r xbaCT 3126 61 ，令3, 3312rr得. 由20 333 6 baC，得1ab，所以22 22 abba. （15）已知函数( )()yf x xR.对函数( )()yg x xI，定义( )g x关于( )f x的“对称函 数”为( )()yh x xI，( )yh x满足：对任意xI，两个点( , ( )x h x，( , ( )x g x关于点 ( ,( )x f x对称.若( )h x是 2 ( )4g xx关于( )3
10、f xxb的“对称函数” ，且( )( )h xg x 恒成立，则实数b的取值范围是 . 15.【答案】102b 【解析】由题意得)()(xhxg与的图像位于直线bxxf 3)(的两侧，要使)()(xgxh恒成 立，则)(xg的图像应位于直线bxxf 3)(的右下方.根据图像分析得，当bxxf 3)(与 2 4)(xxg在第二象限相切时，102b，由)()(xgxh恒成立得102b. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. （16） （本小题满分 12 分） 已知向量( ,cos2 )amx，(sin2 , )bx n，设函数( )f xa b，且( )yf x的图象过点 (, 3)
11、12 和点 2 (, 2) 3 . （）求,m n的值； （）将( )yf x的图象向左平移（0）个单位后得到函数( )yg x的图象.若 ( )yg x的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求( )yg x的单调增区间. 16.解： （）已知xnxmbaxf2cos2sin)(， )(xf过点)2, 3 2 (),3, 12 ( 3 6 cos 6 sin) 12 ( nmf 2 3 4 cos 3 4 sin) 3 2 ( nmf 2 2 1 2 3 3 2 3 2 1 nm 解得 1 3 n m （）) 6 2sin(22cos2sin3)( xxxxf )(xf左移后得到
12、) 6 22sin(2)( xxg 设)(xg的对称轴为 0 xx ，11 2 0 xd解得0 0 x 2)0(g，解得 6 xxxxg2cos2) 2 2sin(2) 63 2sin(2)( zkkxk,222 zkkxk, 2 )(xf的单调增区间为zkkk, 2 （17） （本小题满分 12 分） 如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是等腰梯形，60DAB， 22ABCD，M是线段AB的中点. （）求证： 111 /C MA ADD； （）若 1 CD垂直于平面ABCD且 1 3CD ，求平面 11 C D M和平面ABCD所成的角（锐 角）的余弦值. 17.解：
13、 （）连接 1 AD 1111 DCBAABCD为四棱柱， 11 /DCCD 11D CCD 又M为AB的中点，1AM B1 C1 D1 A1 D C B M A AMCD/,AMCD 11 /DCAM, 11D CAM 11D AMC为平行四边形 11/MC AD 又 111 ADDAMC平面 111 ADDAAD平面 111/ ADDAAD平面 （）方法一： 11 /BAAB 1111 /DCBA 共面与面 1111 DABCMCD 作ABCN ,连接ND1 则NCD1即为所求二面角 在ABCD中， 60, 2, 1DABABDC 2 3 CN 在CNDRt 1 中，3 1 CD, 2 3
14、 CN 2 15 1 ND 方法二：作ABCP 于p点 以C为原点，CD为x轴，CP为y轴， 1 CD为z轴建立空间坐标系， )0 , 2 3 , 2 1 (),3, 0 , 0(),3, 0 , 1( 11 MDC )3, 2 3 , 2 1 (),0 , 0 , 1 ( 111 MDDC 设平面MDC 11 的法向量为),( 111 zyxn 03 2 3 2 1 0 111 1 zyx x ) 1 , 2 , 0( 1 n 显然平面ABCD的法向量为)0 , 0 , 1 ( 2 n 5 5 5 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn. 显然二面角为锐角， 所以平面MDC 11
15、和平面ABCD所成角的余弦值为 5 5 5 5 15 3 2 15 2 3 cos 1 1 ND NC CND （18） （本小题满分 12 分） 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图， 甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分为两个不相交的区域,C D.某次测试要求队员接到 落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记 3 分，在D上记 1 分，其它情况记 0 分.对落点在A上 的来球，小明回球的落点在C上的概率为 1 2 ，在D上的概 率为 1 3 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 1 5 ，在D上的概率为 3 5 .假设 共有两次来球且落在,A B上各一次
16、，小明的两次回球互不影响.求： （）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望. 18.解： （I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A 10 3 5 4 6 1 5 1 6 5 )(AP （II）643210，的可能取值为 10 1 5 1 2 1 )6(, 30 11 5 1 3 1 5 3 2 1 )4( 15 2 5 1 6 1 5 1 2 1 )3(, 5 1 5 3 3 1 )2( 6 1 5 3 6 1 5 1 3 1 ) 1(, 30 1 5 1 6 1 )0( PP PP PP 的分布列为 0 1 2 3 4 6 P
17、30 1 6 1 5 1 15 2 30 11 10 1 30 91 10 1 6 30 11 4 15 2 3 5 1 2 6 1 1 30 1 0)(E其数学期望为. （19） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的公差为 2，前n项和为 n S，且 124 ,S SS成等比数列. （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 1 4 ( 1)n n nn n b a a ，求数列 n b的前n项和 n T. 19.解： （I）,64,2, 2 141211 daSdaSaSd 41 2 2421 ,SSSSSS成等比 解得12, 1 1 naa n （II）) 12 1 12 1
18、 () 1( 4 ) 1( 1 1 1 nnaa n b n nn n n ) 12 1 12 1 () 12 1 32 1 () 7 1 5 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1 ( nnnn Tn n 为偶数时，当 12 2 12 1 1 n n n Tn ) 12 1 12 1 () 12 1 32 1 () 7 1 5 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1 ( nnnn Tn n 为奇数时，当 12 22 12 1 1 n n n Tn 为奇数 为偶数 n n n n n n Tn , 12 22 , 12 2 （20） （本小题满分 13 分） 设函数 2 2 ( )(l
19、n ) x e f xkx xx （k为常数，2.71828e 是自然对数的底数）. （）当0k 时，求函数( )f x的单调区间； （）若函数( )f x在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围. 20.解： （I）函数)(xfy 的定义域为), 0( 2324 2 )2(2 ) 12 ( 2 )( x xk x exe xx k x xeex xf xxxx 3 )(2( x kxex x 由0k可得0kxex， 所以 当)2 , 0(x时，0)( xf，函数)(xfy 单调递减， 当), 2( x时，0)( xf，函数)(xfy 单调递增， 所以，)(xfy 的单调递减区间为)2 ,
20、 0(，单调递增区间为), 2( . (II)由（I）知，0k时，函数)(xf在)2 , 0(内单调递减， 所以)(xf在)2 , 0(内不存在极值点； 当0k时，设函数, 0,)(xkxexg x . xxx eekexg ln )(， 当10 k时，当)2 , 0(x时，)(, 0)( xgykexg x 单调递增. 所以)(xf在)2 , 0(内不存在两个极值点； 当1k时，得：当)ln, 0(kx时，0)( xg，函数)(xgy 单调递减， 当),(lnkx时，0)( xg，函数)(xgy 单调递增. 所以函数)(xgy 的最小值为)ln1 ()(lnkkkg. 函数)(xf在)2 ,
21、 0(内存在两个极值点,当且仅当 2ln0 0)2( 0)(ln 0)0( k g kg g 解得 2 2 e ke 综上所述，函数)(xf在)2 , 0(内存在两个极值点时，k的取值范围为) 2 ,( 2 e e. （21） （本小题满分 14 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线 l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有| |FAFD.当点A的横坐标为 3 时， ADF为正三角形. （）求C的方程； （）若直线 1/ ll，且 1 l和C有且只有一个公共点E， （）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （）ABE的面积是否存
22、在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. （21）解： （I）由题意知)0 , 2 ( p F. 设，则FD的中点为).0 , 4 2 ( tp FDFA ,由抛物线的定义知 22 3 p t p ， 解得33tpt或（舍去） 由, 3 4 2 tp 解得. 2p 所以抛物线C的方程为xy4 2 . （II） （i）由（I）知)0 , 1 (F 设),0)(0 ,(),0)(,( 0000 DD xxDyxyxA 11, 0 xxFDFA D ， 由0 D x得).0 , 2(, 2 00 xDxxD 所以直线 AB 的斜率. 2 0 y kAB 因为直线 1 l与直线 AB 平
23、行， 所以设直线 1 l的方程为bx y y 2 0 ， 代入xy4 2 ，得, 0 88 00 2 y b y y y 由题意得, 0 3264 0 2 0 y b y 得. 2 0 y b 设),( EE yxE,则 2 00 4 , 4 y x y y EE . 当4 2 0 y时， 4 4 4 4 4 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 y y y y y y xx yy k E E ， 由xy4 2 0 ，整理得) 1( 4 4 2 0 0 x y y y， 直线 AE 恒过点).0 , 1 (F 当4 2 0 y时，直线 AE 的方程为1x，过点).0 , 1 (F 所以
24、直线 AE 过定点).0 , 1 (F （ii）由（i）得直线 AE 过焦点).0 , 1 (F . 2 1 ) 1 1 () 1( 0 0 0 0 x x x xPFAFAE 设直线 AE 的方程为, 1 myx 因为点),( 00 yxA在直线 AE 上，. 1 0 0 y x m 设),( 11 yxB,直线 AB 的方程为),( 2 0 0 0 xx y yy 0 0 0 2 2 , 0xy y xy， 代入抛物线方程，得：. 048 8 0 0 2 xy y y . 4 4 , 8 , 8 0 0 1 0 01 0 10 x x x y yy y yy 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ). 1 (4 ) 1(4 1 1) 8 (4 4 0 0 0 0 2 0 00 0 x x x x m y ymx x d 则ABC的面积,16)2 1 )( 1 (4 2 1 0 0 0 0 x x x xS 当且仅当 0 0 1 x x ，即1 0 x时等号成立. 所以ABC的面积的最小值为 16.
