1、 1990 年全国高中数学联赛 第一试 (10 月 14 日上午 8001000) 一选择题(本题满分 30 分，每小题 5 分) 1设 ( 4， 2),则(cos) cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是 A(cos)cos0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图 中的( ) (2,-1) O x y (2,1) (2,1) (5 ，0) y x O (2,1) y x O D. C. B. A. O x y (5，0) (2,1) (2,-1) 二填空题(本题满分 30 分，每小题 5 分) 1设 n 为自然数，a、b 为正实数，且满足
2、 a+b=2，则 1 1+an + 1 1+bn的最小值是 2设 A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60 )，cos(2t60 )为动点，则当 t 由 15 变到 45 时，线段 AP 扫过的面积是 3设 n 为自然数，对于任意实数 x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则 n 的最小值是 4对任意正整数 n，连结原点 O 与点 An(n，n+3)，用 f(n)表示线段 OAn上的整点个数(不计端点)，试求 f(1)+f(2)+f(1990) 5设 n=1990，则 1 2n(13C 2 n+3 2C4 n33C6n+3994C1998n3995C1990
3、n= 68 个女孩与 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排 列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 三(本题满分 20 分) 已知 a，b 均为正整数，且 ab，sin= 2ab a2+b2，(其中 0b0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图 中的( ) E F D I MN F1F2 P Ox y (2,-1) O x y (2,1) (2,1) (5 ，0) y x O (2,1) y x O D. C. B. A. O x y (5，0) (2,1) (2,-1) 解： 4 a2+ 1 b2=1，由
4、 a 2b2，故得1 b2b，sin= 2ab a2+b2，(其中 0r，同理 O 与平面 MCD 的距离r故球 O 是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径= 21 第二试 (10 月 14 日上午 10301230) 一(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P，设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆 圆心分别是 O1、O2、O3、O4求证 OP、O1O3、O2O4三直线共点 证明 O 为ABC 的外心， OA=OB O1为PAB 的外心，O1A=O1B OO1AB 作PCD 的外接圆O3，延长 PO3与所作圆交于点 E，并与
5、AB 交 于点 F，连 DE，则1=2=3，EPD=BPF， PFB=EDP=90 PO3AB，即 OO1PO3 同理，OO3PO1即 OO1PO3是平行四边形 O1O3与 PO 互相平分，即 O1O3过 PO 的中点 同理，O2O4过 PO 中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点 二(本题满分 35 分) 设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100 E 且 G 具有下列两条性质： 对任何 1i395，故每排至少可坐 5 所学校的学生 1990=19910，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在 10 排 就够了 现让这些学生先按学校顺序入坐，从第
6、一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接 下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行这样一个空位都不留，则坐 10 排，这些学生就 全部坐完这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第 11、12 排去由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、第九行末尾与 第十行开头这 9 处发生，故需要调整的学校不超过 10 所，于是第 11、12 行至多各坐 5 所学校的学生，就 可全部坐完这说明 12 行保证够坐 其次证明，11 行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=633+11990=3458+18 取 59 所学校，其中 58 所学校 34 人，1 所学校 18 人则对前 58 所学校的学生，每排只能坐 5 所学校 而不能坐 6 所学校故 11 排只能坐其中 55 所学校的学生即 11 排不够坐 综上可知，最少要安排 12 横排才能保证全部学生都能坐下
