1、 济源平顶山许昌济源平顶山许昌 2020 年高三第三次质量检测年高三第三次质量检测 理科数学理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。目要
2、求的。 1.已知集合 2 2 ,Ay yxx xR， 22 2,Bx xyxyRR，则AB （ ） A.1,2 B.1,2 C. 1,2 D.1, 2 2.若复数 z 满足 1 iRt 1 i z ，则 z 的虚部为（ ） A. 21 2 B. 21 2 C.1 D.21 3.双曲线 22 1 4 yx m 的离心率为 3 2 ，则其渐近线方程是（ ） A. 5 4 yx B. 4 5 yx C. 5 2 yx D. 2 5 5 yx 4.已知直线 l 是平面和平面的交线，异面直线 a，b 分别在平面和平面内。 命题 p：直线 a，b 中至多有一条与直线 l 相交；命题 q：直线 a，b 中至
3、少有一条与直线相交； 命题 s：直线 a，b 都不与直线 l 相交.则下列命题中是真命题的为（ ） A.pq B.ps C.qs D. pq 5.刘微是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一。他全面证明了九章算术中的方 法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如右图在圆的直径CD上任取一 点 E，过点 E 的弦AB和CD垂直，则AB的长不超过半径的概率是（ ） A. 3 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D.1 3 4 6.已知0AC BC，3BCAC， 点 M 满足1CMtCAt CB， 若60ACM， 则t （ ） A. 1 2 B. 3 2 C
4、.1 D.2 7.已知函数 sincosf xxax（0a ） ，满足 3 fxfx ，则直线0axyc的倾斜角 为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 8.若 7 28 0128 11 2xxaa xa xa x，则 127 aaa的值是（ ） A.2 B.3 C.131 D.125 9.设01x，则 ex a x ， 2 ex b x ， 2 2 ex c x 的大小关系是（ ） A.abc B.acb C.cab D.bac 10.已知区间, a b是关于 x 的一元二次不等式 2 210mxx 的解集，则32ab的最小值是（ ） A. 32 2 2 B.52 6 C.
5、 5 6 2 D.3 11.数列 n a满足 1 2a ， 1 1 1 1 n n n a a a ，其前 n 项的积为 n T，则 2020 T（ ） A.1 B.6 C.2 D.3 12.已知函数 ln x f xa x ， 3 ln ln xax g x x ，若方程 f xg x有 2 不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A.,e B. 1 0, e C. ,0e, D.e, 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.已知数列 n a是等差数列，其前 n 项和为 n S， 3 3a ， 4 11S ，则 7
6、 S _. 14.2020 年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决 定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队 A、B、C、D，前往四个国家 E、F、G、H 进行抗疫技 术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有_（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知 A 医 疗队被派到 H 国家，那么此时 B 医疗队被派造到 E 国的概率是_。 （第 1 空 2 分，第 2 空 3 分） 15.已知矩形ABCD中，2AB ，3BC ，E 是CD边的中点.现以AE为折痕将ADE折起，当三棱 锥DABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为_。 16.已知
7、F 是椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左焦点，AB是椭圆 C 过 F 的弦，AB的垂直平分线交 x 轴于点 P.若2AFFB，且 P 为OF的中点，则椭圆 C 的离心率为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17.（12 分） 在ABC中，角 A、B、C 所对的边长是
8、 a、b、c，向量,mb c，且满足 2 2 mabc. （1）求角 A 的大小； （2）若3a ，求ABC的周长的最大值. 18.（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形， 平面PAD 平面ABCD，PAPD，60BAD. （1）求证：ADPB； （2）当直线PB与平面ABCD所成角为45时，求二面角BPCD平面角的大小. 19.（12 分） 流行病学资料显示，50 岁以上男性静息心率过高将会增加患心血管疾病的风险，相反，静息心率相对稳定 的 50 到 60 岁的男性， 在未来 10 年内患心血管疾病的几率会降低 44%.研究员们还表示， 其中静息心率超过 75bpm
9、（次/分）的人比静息心率低于55bpm的人罹患心血管疾病的风险高出一倍.某单位对其所有的离、 退休老人进行了静息心率监测，其中一次静息心率的茎叶图和频率分布直方图如下，其中，频率分布直方 图的分组区间分别为50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，由于扫描失误，导致部分数据 丢失.据此解答如下问题： （1）求此单位离、退休人员总数和静息心率在80,100之间的频率； （2）现从静息心率在80,100之间的数据中任取 3 份分析离、退休人员身体情况，设抽取的静息心率在 90,100的份数为 X，求 X 的分布列和数学望期. 20.（12 分） 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点
10、，准线方程为 1 2 y ，F 为抛物线 C 的焦点，点 P 为直线 1 2 3 yx上任 意一点，以 P 为圆心，PF为半径的圆与抛物线 C 的准线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作准线的垂线交抛 物线 C 于点 D，E. （1）求抛物线 C 的方程； （2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标。 21.（12 分） 已知函数 2 1 2ln 2 f xxaxx，xR. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个极值点 1 x， 2 x（ 12 xx） ，求 21 2f xf x的取值范围。 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题
11、中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做 答时，用答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 以直角坐标系xOy的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 1 cos20 ，直线 l 的直角坐标方程为30xy. （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 与直线 l 相交于 A、B 两点，求弦AB的长度. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 11f xxxx 的最小值为
12、 M. （1）求 M 的值； （2）若0a ，0b，且abM，向量,2mab，求m的最小值。 济源平顶山许昌济源平顶山许昌 2020 年高三第三次质量检测年高三第三次质量检测 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题：一、选择题：DBDCA ACDBC AB 二、填空题：二、填空题：13. 1 24 2 14.24、 1 3 （2 分，3 分） 15.16 3 16. 5 3 三、解答题：三、解答题： 17.解： （1）由复数模的定义结合题中条件可得： 222 bcabc. 所以 222 1 cos 22 bca A bc .又0,A，故 3 A . （2）由3a ， 3 A 及正弦定理得
13、：2 sinsinsin bca BCA . 所以2sinbB， 2 2sin2sin 3 cCB . 所以 2 32sin2sin2 3sin3 36 f BabcBBB . 由 2 0 3 B 得 5 666 B . 所以当 62 B ，即 3 B 时 max3 3f B. 18.解： （1）证明：取AD中点 M，连接PM，BM，PAPD，PMAD. 四边形ABCD是菱形，且60BAD，60BAD，ABD 是正三角形. BMAD，又PMBMM，AD平面PMB. 又PB 平面PMB，ADPB. （2）解：PMAD，面PAD 面ABCD，交线为AD，PM平面ABCD. 又MB 平面ABCD，P
14、MMB，MA，MB，MP两两互相垂直. 以 M 为原点，MA的方向为 x 轴的正方向，如图所示建立空间直角坐标系。 PM 面ABCD，PBM即为PB与面ABCD所成角：45PBM. MBMP. 在正三角形ABC中，BMAD，假设2AD .3MB. 0,0, 3P，1,0,0D ， 0, 3,0B， 2, 3,0C . 2, 3,3PC ，2,0,0BC ， 1,0,3PD . 设面PBC的法向量为 111 ,mx y z，则 111 1 2330 20 m PCxyz m BCx . 不妨取 1 1y ，则0,1,1m . 同理，设面PCD的法向量为 222 ,nxy z，则 222 22 2
15、330 30 n PCxyz n PDxz . 不妨取 2 1z ，则 3, 1,1n . 0m n，面PBC 面PDC，二面角BPCD平面角为90. 19. 解： （1）由茎叶图知，静息心率在50,60的人数为 8 人；静息心率在60,70的人数为 6 人；静息心率在 70,80的人数为 8 人. 此单位离、退休人员总数为 8 32 0.0250 10 . 静息心率在80,100的人数为32 8 6 810 人，频率为 105 3216 . （2）静息心率在80,90的人数为 6 人；静息心率在90,100的人数为 4 人. X 的可能取值为 0，1，2，3 3 6 3 10 201 0 1
16、206 C P X C 21 64 3 10 601 1 1202 C C P X C 12 64 3 10 363 2 12010 C C P X C 3 4 3 10 41 3 12030 C P X C 则分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 6 5 E X. 20.解： （1）依题意， 1 1 22 p p，抛物线 C 的方程为 2 2xy （2） 1 0, 2 F ，设,P t s，则 1 2 3 st， 2 2 2 15 32 PFtt ， 于是圆 P 的方程为 2 22 2 1 2 xtysts 令 1 2 y ，得 2 220xtxs 设 2 1
17、 1, 2 x D x ， 2 2 2, 2 x E x ，由式得 12 2xxt， 12 2 24 3 x xst 注意到 22 12 12 12 22 2 DE xx xx kt xx ，则直线DE的方程为 22 112121121212 1 222222 xxxxxxx xxxx x yxxxyx ， 代入式就有 11 22 33 ytxtyt x ，因为上式对tR恒成立， 故 11 0, 33 202. xx yy 即直线DE过定点 1 , 2 3 M 21.解： （1） 2 121 2 xax fxxa xx ，0x ， 2 21yxax. 当 2 440a ，即11a 时， 0y
18、，此时 f x在0,上单调递增； 当1a时， 2 210xax 有两个负根，此时 f x在0,上单调递增； 当1a 时， 2 210xax 有两个正根，分别为 2 1 1xaa ， 2 2 1xaa ， 此时 f x在 1 0,x， 2, x 上单调递增，在 12 ,x x上单调递减 综上可得：1a 时， f x的单调递增区间是：0,，无递减区间。 1a 时， f x的单调递增区间是 2 0,1aa， 2 1,aa， 单调递减区间是： 22 1,1aaaa. （2）由（1）可得 12 2xxa， 12 1x x，1a ， 2 11 21axx， 2 22 21axx， 1a 1 0,1x ，
19、2 1,x ， 22 21222111 11 22ln22ln 22 f xf xxaxxxaxx 22 2121 1 ln2ln1 2 xxxx 2 22 2222 2 222 11111 ln2ln13ln1 22 xxxx xxx 令 2 2 tx，则1t ， 113 ( )ln1 22 g ttt t ， 2 222 1211332 2222 tttt g t tttt 当12t 时， 0g t ，当2t 时， 0g t . g t在1,2单调递增，在2,单调递减 13 2ln2 22 g. 21 2f xf x的取值范围是 13 ,ln2 22 . 22.解： （1）曲线 C：1 c
20、os20可得： 2 2 cos2， 由cosx，siny可得： 2 41yx. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 41yx. （2）直线 l 的直角坐标方程为30xy，所以直线 l 分成两条射线，其极坐标方程分别为： 3 （0）或 4 3 （0） 联立 3 1 cos20 和 4 3 1 cos20 分别解得4和 4 3 ， 所以 416 4 33 AB . 23.解： （1）函数 3 ,1 2,01 11 2, 10 3 ,1 x x xx f xxxx xx x x ， 函数在,0上单调递减，在0,上单调递增， 02f， 所以函数 f x的最小值为2M . （2）2ab，0a ，0b. 2 22 4mab. 方法 1: 2 2 2 2222 21616 4245445 555 mabbbbbb . 所以 4 5 5 m ，当且仅当 8 5 a ， 2 5 b 时取等号. 故m的最小值为 4 5 5 . 方法 2：利用柯西不等式， 2 2 22 15 41 44 ababm ， 又2ab，所以 2 16 5 m ， 此时 2 1 1 2 ab 即 8 5 a ， 2 5 b 时取等号. 故m的最小值为 4 5 5 .
