1、2.8 静态场的边值问题静电场的边值问题 一般情况下电位满足两个方程 无源Laplaces Equation 有源Poissions Equation 边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程 Poissions Equation+边界条件 Laplaces Equation+边界条件唯一性定理：满足偏微分方程和边界条件的解是唯一的。202边值问题的分类 第1类:已知整个边界上的电位 Dirichlet Problems 狄理赫利问题 第2类:已知整个边界上电位的法导 Neumann Problems 纽曼问题 第3类:已知部分边界电位+另一部分边界电位法导 Hybrid Problems 混
2、合问题例.两块无限大接地导体平板分别置于 和 处，在两板之间的 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。xba0S0 x xaxb212222()0,0()0,dxxbdxdxbxadx211122()()xC xDxC xD此方程的解为：解：在两块无限大接地导体平板之间，除xb处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程：121200,(0)0;,()0,()()12()()Sx bxxaaxbbbxxxx2100120()0SSSbaCabCaDbDa 利用边界条件，得：于是有：1020110220()()0()()()()()
3、()()SSSxSxabxxxbabxaxbxaaabE xxeabExxea 问题的引入：问题的引入：如图一张纸，下列何种情况可以填满残缺的部分？可以看出第一，第四种形状可以满足要求。下面可以看到求解静电场的问题与此问题类似。2.8.2 分离变量法求解二维拉氏方程分离变量法的主要思想：分离变量法的主要思想：将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；最后将这些通解“组装”起来。直角坐标系中分离变量法求解直角坐标系中分离
4、变量法求解22222220 xyzZYXzZyYxXzyx)()()(),(2222222222220d Xd Yd ZYZXZXYxyzdxdydz0111222222dzZdZdyYdYdxXdXZYX0111222222dzZdZdyYdYdxXdX2221xkdxXdX2221ykdyYdY2221zkdzZdZ0222XkdxXdx0222YkdyYdy0222ZkdzZdz0222zyxkkk的求解的求解02XkXx02xkkkxkxBkxAXcossinjkxjkxBeAeX02xk0 xkBxAX02xkjkkxkxBkxAXcoshsinhkxkxBeAeX直角坐标中解的形式
5、的选择直角坐标中解的形式的选择 确定Y和Z通解的步骤类似 最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起 最后代入边界条件确定待定常数)()()(),(zZyYxXxyx例2-15.解直角坐标系下的二维拉氏方程 简化的步骤：判断解的形式 有界：正余弦和双曲函数；无界：指数函数 求特征值，写出通解形式 代入边界，求待定系数 写出问题的解什么是什么是“镜像法镜像法”？h hq qx xy yz zh hq*q*平面镜像平面镜像0|0z0|x0|z0|y),(),(zyxzyx),(),(zyxzyx002z“像点像点”q*：满足：满足“导体板导体板”存在时的存在时的条件条件*0*114),(qqqqRRq
6、zyxh hq qx xy yz zh hq*q*qR*qR(x,y,zx,y,z)zqahPRzqahPR*球面镜像球面镜像*qq*0*41MQMQrQrQ00*MQMQrQrQDadOQQDaQ2*cos2cos2222*222addaraDDarMQMQ在所研究的区域外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，如果这些电荷和场原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件，则其电位的叠加即是我们所要求的电位解。其中的假想电荷称为镜像电荷。一般多是点电荷或线电荷。镜像法：用于一些特殊的边界情况，如无限大平面（地面）、球面的镜像。将求解边值问题转换成无边界问题。q-qP(x,y,z)hhRR1）像电荷必须位于待求解的场域外，场域内电荷不变；2）像电荷的参数（大小，位置和符号）以满足边界条件来确定。
