1、考点二十六：解直角三角形 聚焦考点温习理解一、锐角三角函数的定义在RtABC中，C90，ABc，BCa，ACb正弦：sinA余弦：cosA余切：tanA二、特殊角的三角函数值sincostan3045160三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在RtABC中，C90，则：(1)三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：AB90；(3)边与角关系：sinAcosB，cosAsinB，tanA；(4)sin2Acos2A1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和
2、坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i_坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，itan坡度越大，角越大，坡面_3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角叫做方向角名师点睛典例分类考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，如果a2b2c2，那么下列结论正确的是( )AcsinAa BbcosBcCatanAb DctanBb【答案】A.【解析】试题分析：由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到ABC是直角三角形，且C=90，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项试题解析：a2+b2
3、=c2，ABC是直角三角形，且C=90考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是分清锐角三角函数的关系【举一反三】(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tanCAD的值（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：解：如图，延长AD，过点C作CEAD，垂足为E，tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA，CE=x，DE=，AE=，tanCAD=故选D考点：解直角三角形考点典例二、锐
4、角三角函数的计算【例2】在ABC中，如果A、B满足|tanA-1|+（cosB-）2=0，那么C= 【答案】75考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理【举一反三】在ABC中，若|cosA-|+（1-tanB）2=0，则C的度数是（）A45B60C75D105【答案】【解析】试题分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数
5、，根据三角形的内角和定理可得出C的度数试题解析：由题意，得 cosA=，tanB=1，A=60，B=45，C=180-A-B=180-60-45=75故选：C考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理考点典例三、解直角三角形【例3】在ABC中，AD是BC边上的高，C=45，sinB=，AD=1求BC的长【答案】2+1考点：解直角三角形；勾股定理【点睛】本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtADB与RtADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件【举一反三】如图，在AB
6、C中，A=30，B=45，AC=2，求AB的长【答案】3+【解析】试题分析：过C作CDAB于D，求出BCD=B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案试题解析：过C作CDAB于D，ADC=BDC=90，B=45，BCD=B=45，CD=BD，A=30，AC=2，CD=，BD=CD=，由勾股定理得：AD=3，AB=AD+BD=3+答：AB的长是3+考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45和35
7、，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：， ，【答案】233m【解析】试题分析：作ADCB延长线于点D，根据RtACD中ABD的正切值得出CD=AD；根据RtABD中ABD的正切值得出BD=AD，根据BC=CDDB=100求出AD的长度.试题解析：如图，作ADCB延长线于点D由题知：ACD=35、ABD=45 在RtACD中，ACD=35 所以在RtABD中，ABD=45 所以由题 所以 解得m 答：热气球到地面的距离约为233米考点：三角函数的应用.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角、俯角的定义，要
8、注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用【举一反三】（2015.山东烟台，第22题，9分）(本题满分9分)如图1，滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯。该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为，AB=1.5米，CD=1米。为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍旋转，叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？(利用科学计算器可求得，结果保
9、留两位小数)【答案】7.70答：灯杆OF至少要7.70米考点：解直角三角形课时作业能力提升一、选择题1. （2015乐山）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A B C D【答案】D【解析】试题分析：过B点作BDAC，如图，由勾股定理得，AB=，AD=，cosA=，故选D考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4网格型2.（2015辽宁大连）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点D在BC上，ADC=2B，AD=，则BC的长为（ ）A.-1 B.+1 C.-1 D.+1【答案】D考点：解直角三角形.3(2015黑龙江哈尔滨）如图：某飞机在空中A处探测到
10、它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）（A）1200m (B) 1200m (C)1200m (D)2400m【答案】D【解析】试题分析：根据平行线的性质可得：B=30，根据RtABC的三角函数可得：sinB=，则AB=2AC=21200=2400(m).考点：三角函数的应用.4.(2015湖北衡阳，12题，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（
11、）A B51 C D101【答案】C考点： 解直角三角形的应用5.（2015.山东泰安，第14题）（3分）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A20海里 B40海里 C海里 D海里【答案】D【解析】试题分析：如图，作AMBC于M由题意得，DBC=20，DBA=50，BC=60=40海里，NCA=10，则ABC=ABDCBD=5020=30，BDCN，BCN=DBC=20，ACB=ACN+BCN=10+20=30，ACB=ABC=30，AB=
12、AC，AMBC于M，CM=BC=20海里，在直角ACM中，AMC=90，ACM=30，AC=（海里）故选D考点：解直角三角形的应用-方向角问题6（3分）（2015聊城，第10题）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5（如图）已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（）A.34米 B.38米 C.45米 D.50米【答案】C【解析】试题分析：借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，过D作DEAB于E，在RtADE中利用三角函数即可求得AE AE=DEtan
13、41，5500.88=44米，则AB=AE+BE=44+1=45米.故选C考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题二、 填空题7. (2015.天津市，第2题，3分)的值等于( )（A）（B） （C）（D）【答案】B.【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值即可得=，故答案选B.考点：特殊角的三角函数值.8.（2015内江）在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC= 【答案】考点：1含30度角的直角三角形；2勾股定理9. (2015黑龙江哈尔滨）如图，点D在ABC的边BC上，C+BAD=DAC，tanBAD=，AD=，CD=13，则线段AC的长为_.【答案】4【解析】试题分析：过点A作
14、AEBC，然后根据BAD的正切值以及角度之间的关系和AD、CD的长度大小求出AC的长度.考点：三角函数的应用.10.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD=1，tanABD=，则CD的长为 【答案】或或考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理11.（2015辽宁大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32，底部C的俯角为45，观测点与楼的水平距离AD为31cm，则楼BC的高度约为_m(结果取整数）.（参考数据：sin320.5，cos320.8，tan320.6）【答案】50【解析】试题分析：BC=BD+CD=ADt
15、an32+ADtan45310.6+311=49.650，故答案为50m.考点：解直角三角形的应用.12.（2015湖北黄冈，20题，分）（7分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60方向前进实施拦截红方行驶1000 米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方求拦截点D 处到公路的距离（结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90，拦截点D处到公
16、路的距离DA=BE+CF解RtBCE，求出BE=BC=1000=500米；解RtCDF，求出CF=CD=米，则DA=BE+CF=（）米试题解析：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF在RtBCE中，E=90，CBE=60，BCE=30，BE=BC=1000=500米；在RtCDF中，F=90，DCF=45，CD=AB=1000米，CF=CD=米，DA=BE+CF=（）米，故拦截点D处到公路的距离是（）米考点：解直角三角形的应用-方向角问题13.(2015.宁夏，第13题
17、，3分)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为【答案】.【解析】试题分析：如图，过点A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=OA=2，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=.考点：解直角三角形的应用（方向角问题）；特殊角的三角函数值.三、解答题14.（2015湖北鄂州，21题，9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量 ，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30；小敏蹲着测量，眼睛
18、与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45. 两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上） （1）（6分）求小敏到旗杆的距离DF（结果保留根号） （2）（3分）求旗杆EF的高度（结果保留整数.参考数据：，）【答案】（1）4+米.(2)10米.【解析】试题分析：过点A作AMEF于M，过点C作CNEF于N，设CN=x,则EN=x，AM=5+x,可求EM，在RtAEM中利用三角函数关系可求出DF的长.(2)由EM+FM可求出EF的长.试题解析：（1）过点A作AMEF于点M,过点C作CNEF于点N.设CN= x 在RtECN中， ECN=45 EN=CN=x EM=x+0.71
19、.7=x1BD=5 AM=BF=5+x在RtAEM中， EAM=30 解得 即 DF= 4+(米)（2）EF= x +0.7=4+ +0.7=4+31.7+0.7=9.810（米） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题15.(2015湖北荆门，21题，分)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的
20、平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF解RtBCE，求出BE=BC=1000=500米；解RtCDF，求出CF=CD=米，则DA=BE+CF=（）米考点：解直角三角形的应用-方向角问题16.（2015辽宁丹东）23.如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米.某人站在A处测得C点的俯角为37，D点的俯角为48（人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD. 【答案】21米.【解析】试题分析：过点C作CEAB交AB于点E ，可证四边形EBDC为矩形,ADB=48，ACE=37在RtADB
21、中，AB= tan48BD，可求出AB，在RtACE中，AE= tan37CE，CE=BD，可求出AE，于是CD=BE=AB-AE,乙楼的高度CD就求出来了.试题解析：过点C作CEAB交AB于点E,则四边形EBDC为矩形,BE=CD CE=BD=60,如图，根据题意可得，ADB=48，ACE=37；在RtADB中，tan48=,则AB= tan48BD 60=66 (米),在RtACE中，tan37=,则AE= tan37CE60=45(米),CD=BE=AB-AE=66-45=21(米), 乙楼的高度CD为21米.E考点：1.锐角三角函数；2.矩形性质.17.（2015.河南省，第20题，9
22、分）（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48. 若坡角FAE=30，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin480.74，cos480.67，tan481.11，1.73）【答案】13米.由题意知：BGA=DAE=30，DA=6，GD=DA=6，GH=AH=6cos30=3，GA=6，设BC长为x米，GC=x米在RtABC中，AC=，GC-AC=GA,x-=6,即1.73x-0.90x=10.38,x13,大树的高度约是13米.考点：锐角三角函数的实际应用.
