1、- 1 - 教师版高中数学必修教师版高中数学必修+ +选修知识点归纳选修知识点归纳 引言引言 1.1.课程内容：课程内容： 必修课程必修课程由 5 个模块组成： 必修必修 1 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、：集合、函数概念与基本初等函数（指、 对、幂函数）对、幂函数） 必修必修 2 2：立体几何初步、平面解析几何初步。：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修必修 3 3：算法初步、统计、概率。：算法初步、统计、概率。 必修必修 4 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、 三角恒等变换
2、。三角恒等变换。 必修必修 5 5：解三角形、数列、不等式。：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。 选修课程选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修
3、12：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修选修 2 21 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。空间向量与立体几何。 选修选修 2 22 2：导数及其应用，推理与证明、数系：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数的扩充与复数 选修选修 2 23 3：计数原理、随机变量及其分布列，：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案统计案例。例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。 选修 32：信息安全与密码。 选修 33：球面上的几何
4、。 选修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修选修 4 41 1：几何证明选讲。：几何证明选讲。 选修 42：矩阵与变换。 选修 43：数列与差分。 选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程。：坐标系与参数方程。 选修选修 4 45 5：不等式选讲。：不等式选讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2 2重难点及考点：重难点及考点： 重
5、点重点：函数，数列，三角函数，平面向量， 圆锥曲线，立体几何，导数 难点：难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：高考相关考点： 集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 不等式：概念与性质
6、、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 - 2 - 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 必修必修 1 1 数学数学知识点知识点 第一章：集合与函数概念第
7、一章：集合与函数概念 1.1.1、集合、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合： * N或 N，整数集合： Z，有理数集合：Q，实数集合：R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作BA. 2、 如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax， 则称集合 A 是集合 B 的
8、真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 n 2个子 集，21 n 个真子集. 1.1.3、集合间的基本运算、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作：BA. 2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作：BA. 3、全集、补集？ |, U C Ax xUxU且 1.2.1、函数的概念、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定
9、的对应 关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集 合 B 中都有惟一确定的数 xf和它对应， 那么就 称BAf:为集合 A 到集合 B 的一个函数，记 作： Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同， 并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：定义法：设 2121 ,xxbaxx、那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数；
10、 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数. 步骤：取值作差变形定号判断 格式：解：设baxx, 21 且 21 xx ，则： 21 xfxf= (2)导数法：导数法：设函数)(xfy 在某个区间内可导， 若0)( x f，则)(xf为增函数； 若0)( x f，则)(xf为减函数. 1.3.2、奇偶性、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数 xf的定义域内任意一个 x，都有 xfxf，那么就称函数 xf为 偶函数.偶函数图象关于y轴对称. 2、 一般地，如果对于函数 xf的定义域内任意一个 x，都有 xfxf，那么就称函数 xf为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导
11、数知识链接：函数与导数 1、函数)(xfy 在点 0 x处的导数的几何意义： 函数)(xfy 在点 0 x处的导数是曲线)(xfy 在 )(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 x f ， 相应的切线方 程是)( 000 xxxfyy. 2、几种常见函数的导数 ' C0； 1' )( nn nxx； xxcos)(sin ' ； xxsin)(cos ' ； aaa xx ln)( ' ； xx ee ' )(； ax x a ln 1 )(log ' ； x x 1 )(ln ' 3
12、、导数的运算法则 （1） ''' ()uvuv. （2） ''' ()uvuvuv. - 3 - （3） '' ' 2 ( )(0) uuvuv v vv . 4、复合函数求导法则 复合函数( ( )yf g x的导数和函数 ( ),( )yf u ug x的导数间的关系为 xux yyu ， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积. 解题步骤:分层层层求导作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义： 极值是在 0 x附近所有的点，都有)(xf)( 0 xf， 则)( 0 xf是函数
13、)(xf的极大值； 极值是在 0 x附近所有的点，都有)(xf)( 0 xf， 则)( 0 xf是函数)(xf的极小值. (2)判别方法： 如果在 0 x附近的左侧)( ' xf0，右侧)( ' xf0， 那么)( 0 xf是极大值； 如果在 0 x附近的左侧)( ' xf0，右侧)( ' xf0， 那么)( 0 xf是极小值. 6、求函数的最值 (1)求( )yf x在( , )a b内的极值 （极大或者极小值） (2)将( )yf x的各极值点与( ),( )f af b比较， 其中 最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注：注：极值是在局部
14、对函数值进行比较（局部性质） ； 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。 第二章：基本初等函数（）第二章：基本初等函数（） 2.1.1、指数与指数幂的运算、指数与指数幂的运算 1、 一般地， 如果ax n ， 那么x叫做a 的n次方根。 其中 Nnn, 1. 2、 当n为奇数时，aa nn ； 当n为偶数时，aa nn . 3、 我们规定： mn m n aa 1, 0 * mNnma； 0 1 n a a n n ； 4、 运算性质： Qsraaaa srsr , 0； Qsraaa rs s r , 0； Qrbabaab rr r , 0, 0. 2.1.2、指数函数及其性质、
15、指数函数及其性质 1、记住图象：1, 0aaay x 2、性质： 2.2.1、对数与对数运算、对数与对数运算 1、指数与对数互化式：log x a aNxN； 2、对数恒等式： logaN aN. 3、基本性质：01log a ，1loga a . 4、运算性质：当0, 0, 1, 0NMaa时： NMMN aaa logloglog； NM N M aaa logloglog ； MnM a n a loglog. 1a 10 a 图 象 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2246 0 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2246 0 1 性 质 (1)定义域：R （2）值域： （0，
16、+） （3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 (5)0,1 x xa; 0,01 x xa (5)0,01 x xa; 0,1 x xa 00，02或0，等 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点 与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一 多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是( , )x y， 极坐标是( , ) ，从图中可以得出： 222 cos ,sin ,t n(0). xy y xyax x 4、简单曲线的极坐标方程 圆的极坐标方程圆的极坐
17、标方程 以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 a； （如图 1） 以( ,0)a)0(a为圆心， a为半径的圆的极坐标方 程是 cos2a； （如图 2） 以( ,) 2 a )0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方 程是sin2a； （如图 4） 直线的极坐标方程直线的极坐标方程 过极点的直线的极坐标方程是)0(和 (0) . （如图 1） 过点)0)(0 ,(aaA，且垂直于极轴的直线 l 的极坐 标方程是acos. 化为直角坐标方程为xa. （如图 2） 过点( ,) 2 A a 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程 是sina. 化为直角坐标方程为
18、ya.（如图 4） co x si y 2 2 2 y x ) 0 ( ta x x y y y x O M H N cos2a axO M 图2 sin2a a x O M 图4 sin2a a xO M 图5 cos2a axO M 图3 a a xO M 图1 ),(a )cos(2 a a xO M 图6 - 11 - 5、柱坐标系与球坐标系 柱坐标：空间点P的直角坐标( , , )x y z与柱坐标 ( , , ) z 的变换关系为： cos sin x y zz . 球坐标系 空间点P直角坐标),(zyx与球坐标),(r的变 换关系： 2222 sincos sinsin cos
19、xyzr xr yr zr . 6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 yx,都是某个变数t的函数 ),( ),( tgy tfx 并且对于t的 每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在 这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方参数方 程程，联系变数yx,的变数t叫做参变数参变数，简称参数参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程普通方程。 7、常见曲线的参数方程 （1）圆 222 ()()xaybr的参数方程为 cos sin xar ybr （为参数） ； （2）椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程
20、为 cos sin xa yb （为参数） ； 椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 的参数方程为 cos sin xb ya （为参数） ； （3）双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程 s ec t an xa yb （为参数） ； 双曲线 22 22 1(0) yx ab ab 的参数方程 c o t c s c xb ya （为参数） ； （4）抛物线 2 2ypx参数方程 2 2 2 xpt ypt (t为参 数， 1 tan t ） ； 参数参数t的几何意义：的几何意义： 抛物线上除顶点外的任意一点抛物线上除顶点外的任意一点 与原
21、点连线的斜率的倒数与原点连线的斜率的倒数. （6）过定点),( 00 yxP、倾斜角为() 2 的直线 的参数方程 sin cos 0 0 tyy txx （t为参数）. 8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时， 要注明参数及参数的取 值范围。 在参数方程与普通方程的互化中， 必须使在参数方程与普通方程的互化中， 必须使yx, 的取值范围保持一致的取值范围保持一致. . 参数方程化为普通方程的关键是消参数， 并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要 通过)(),(tgytfx。根据 t 的取值范围导出yx, 的取值范围. 0 0 xO M 图1 （ ， ） cos a aO M 图2 cos a a O M 图3 sin a O M 图4 a sin a O M 图5 a ),(a )cos( a O M p N 图6 （ ， ） a - 1 -
