1、初初中中数数学学七七年年级级下下册册（苏苏科科版版）计计算算与与交交流流计计算算：3 37 75 52.8+3754.9+3752.3如如何何计计算算上上面面的的算算式式？请请把把你你的的想想法法与与你你的的同同伴伴交交流流。小小明明很很快快就就能能报报出出答答案案，你你知知道道他他是是怎怎么么想想的的吗吗？小小明明的的方方法法：3752.8+3754.9+3752.3=375（2.8+4.9+2.3）=37510=3750为为什什么么3752.8+3754.9+3752.3可可以以写写成成375（2.8+4.9+2.3）？依依据据是是什什么么？乘乘法法分分配配律律你你能能把把多多项项式式ab
2、+ac+ad写写成成积积的的形形式式吗吗？请请说说明明你你的的理理由由根根据据乘乘法法分分配配律律 ab+ac+ad=a（b+c+d）换换一一种种看看法法，就就是是把把单单项项式式乘乘多多项项式式的的法法则则a(b+c+d)=ab+ac+ad反反过过来来，就就得得到到ab+ac+ad=a（b+c+d）观观察察多多项项式式ab+ac+ad的的每每一一项项，你你有有什什么么发发现现吗吗？a是是多多项项式式ab+ac+ad各各项项都都含含有有的的因因式式。一一个个多多项项式式各各项项都都含含有有的的因因式式，称称为为这这个个多多项项式式各各项项的的公公因因式式。例例如如a就就是是多多项项式式ab+a
3、c+ad各各项项的的公公因因式式找找出出下下列列多多项项式式各各项项的的公公因因式式并并填填写写下下表表多项式公因式4x+4y-8ax+12ay8a3bx+12a2b2y4-4a4a2b给给就就上上面面的的填填表表过过程程，你你能能归归纳纳出出找找一一个个多多项项式式的的公公因因式式的的方方法法吗吗？找找一一个个多多项项式式的的公公因因式式的的方方法法一一般般分分三三个个步步骤骤：一一看看系系数数：当当多多项项式式的的各各项项系系数数多多是是整整数数时时，公公因因式式的的系系数数应应取取各各项项系系数数的的最最大大公公约约数数。总总结结二二看看字字母母：公公因因式式的的字字母母应应取取多多项项
4、式式中中各各项项都都含含有有的的相相同同字字母母三三看看指指数数：相相同同字字母母的的指指数数取取次次数数 最最低低的的。练练一一练练填填表表多项式公因式a2b+ab23x2-6x39abc-6a2b2+12ab2cab3x23ab填填空空并并说说说说你你的的方方法法：（1）a2b+ab2=ab（）（2）3x2-6x3=3x（）（3）9abc-6a2b2+12abc2=3ab()像像这这样样，把把一一个个多多项项式式写写成成几几个个整整式式的的积积的的形形式式叫叫做做多多项项式式的的因因式式分分解解。a+bX-2x23c-2ab+4c连连一一连连：把把下下面面左左右右两两列列具具有有相相等等关
5、关系系的的式式子子用用线线连连起起来来4a2b(a-2b)x2-2xy+y2 (x-y)2 m2-n2(m+n)(m-n)4a3b-8a2b2观观察察上上面面从从左左到到右右与与从从右右到到左左的的变变形形过过程程，你你能能说说出出因因式式分分解解和和整整式式乘乘法法的的区区别别和和联联系系吗吗？区区别别：整整式式乘乘法法：有有几几个个整整式式积积的的形形式式转转化化 成成一一个个多多项项式式的的形形式式。因因式式分分解解：有有一一个个多多项项式式的的形形式式转转化化成成 几几个个整整式式的的积积的的形形式式。联联系系：多多项项式式的的因因式式分分解解与与整整式式乘乘法法是是两两种种相相反反方
6、方向向的的变变形形，它它们们互互为为逆逆过过程程。4a3b-8a2b2 4a2b(a-2b)例例1、(1)把把6a3b-9a2b2c分分解解因因式式想想一一想想：1、多多项项式式6 6a a3 3b b-9 9a a2 2b b2 2c c各各项项的的公公因因式式是是什什么么？2、你你能能把把多多项项式式6a3b-9a2b2c各各项项写写成成公公因因式式与与另另一一个个因因式式的的积积吗吗？向向你你的的同同伴伴说说说说你你是是如如何何得得到到另另一一个个因因式式的的？总总结结：多多项项式式的的各各项项分分别别除除以以公公因因式式就就能能得得到到各各项项的的另另一一个个因因式式用用提提取取公公因
7、因式式分分解解因因式式的的一一般般步步骤骤：第第一一步步：找找出出多多项项式式各各项项的的公公因因式式；第第二二步步：把把多多项项式式各各项项写写成成公公因因式式 与与另另一一个个因因式式的的积积的的形形式式；第第三三步步：逆逆用用单单项项式式乘乘多多项项式式法法则则写写成成公公因因式式与与另另一一个个多多项项式式的的积积。（2 2）把把6 6a a3 3b b-9 9a a2 2b b2 2c c+3 3a a2 2b b分分解解因因式式解解：6 6a a3 3b b-9 9a a2 2b b2 2c c+3 3a a2 2b b =3 3a a2 2b b.2 2a a-3 3a a2 2
8、b b.3 3b bc c+3 3a a2 2b b.1 1 =3 3a a2 2b b（2 2a a-3 3b bc c+1 1）注注意意：1 1、如如果果提提取取公公因因式式与与多多项项式式中中的的某某一一项项相相同同，那那么么提提取取后后多多项项式式中中的的这这一一项项剩剩下下“1 1”结结果果中中的的“1 1”不不能能漏漏写写；2 2、多多项项式式有有几几项项，提提取取公公因因式式后后另另一一项项也也有有几几项项。（3 3）把把-8 8a a2 2b b2 2+4 4a a2 2b b-2 2a ab b分分解解因因式式；解解：-8 8a a2 2b b2 2+4 4a a2 2b b
9、-2 2a ab b =-（8 8a a2 2b b2 2-4 4a a2 2b b+2 2a ab b）=-（2 2a ab b.4 4a ab b-2 2a ab b.2 2a a+2 2a ab b.1 1）=-2 2a ab b（4 4a ab b-2 2a a+1 1）当当多多项项式式第第一一项项的的系系数数是是负负数数时时，通通常常把把负负号号作作为为公公因因式式的的负负号号写写在在括括号号外外，使使括括号号内内第第一一项项的的系系数数化化为为正正数数，在在提提出出负负号号时时，多多项项式式的的各各项项都都要要变变号号！例例2 2：把把3 3a a(x x+y y)-2 2b b(
10、x x+y y)分分解解因因式式；分分析析：这这个个多多项项式式就就整整体体而而言言可可分分为为两两大大项项，即即3 3a a(x x+y y)与与-2 2a ab b(x x+y y)每每项项中中都都含含有有(x x+y y)因因此此，可可把把（x x+y y）作作为为公公因因式式提提出出来来。解解：3 3a a(x x+y y)-2 2b b(x x+y y)=(x x+y y)3 3a a-(x x+y y)2 2b b =(x x+y y)(3 3a a-2 2b b)总总结结：用用提提公公因因式式法法分分解解因因式式时时，公公因因式式可可以以 是是一一个个单单项项式式也也可可以以是是
11、一一个个多多项项式式。例例2 2：分分解解因因式式（1 1）x x(a a-b b)+y y(b b-a a)（2 2）6 6(mm-n n)3 3-1 12 2(n n-mm)2 2分分析析：例例2 2应应用用如如下下关关系系：(b b-a a)=-(a a-b b)(b b-a a)2 2=(a a-b b)2 2(b b-a a)3 3=-(a a-b b)3 3 (b b-a a)4 4=(a a-b b)4 4即即:当当n n为为正正偶偶数数时时(b b-a a)n n=(a a-b b)n n当当n n为为正正奇奇数数时时(b b-a a)n n=-(a a-b b)n n下下列列
12、各各式式由由左左到到右右的的变变形形那那些些是是因因式式分分解解(1)ab+ac+d=a(b+c)+d(2)a2-1=(a+1)(a-1)(3)(a+1)(a-1)=a2-1(4)x2+1=x(x+)x1答答案案（1）不不是是；（2）是是；（3）不不是是；（4）不不是是课课堂堂练练习习：把把下下列列各各式式分分解解因因式式：（1 1）4 4x x2 2-1 12 2x x3 3（2 2）-x x2 2y y+4 4x xy y-5 5y y解解:（1 1）4 4x x2 2-1 12 2x x3 3 （2 2）-x x2 2y y+4 4x xy y-5 5x xy y2 2 =4 4x x2
13、 2.1 1-4 4x x2 2.x x =-（x x2 2y y-4 4x xy y+5 5x xy y2 2）=4 4x x2 2（1 1-x x）=-x xy y（x x-4 4+5 5y y）计计算算：2.3752.5+0.6352.5-452.5解解:2.3752.5+0.6352.5-452.5=52.5(2.37+0.63-4)=52.5(-1)=-52.5小小 结结（1）公公因因式式与与分分解解因因式式的的概概念念；（2）如如何何找找公公因因式式？（3）因因式式分分解解与与整整式式乘乘法法的的区区别别和和联联系系；（4）如如何何确确定定提提出出公公因因式式后后的的另另一一个个因因式式；（5）用用提提取取公公因因式式分分解解因因式式的的一一般般步步骤骤。再 见
