1、1如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD（1）求抛物线的解析式（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标（3）在（2）的条件下，作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F
2、是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标3如图，已知抛物线y=ax2+bx3过点A（1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E过点N作NFx轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点M的横坐标4.(2015
3、贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由5. (2016 辽宁省铁岭市) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物
4、线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标6. (2016 广东省茂名市) 如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G
5、为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD（1）求抛物线的解析式（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标（3）在（2）的条件下，作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（3，0），抛物线的解析式为y=x2+2x3；（2）由（1）
6、知，抛物线的解析式为y=x2+2x3；C（0，3），抛物线的顶点D（1，4），E（1，0），设直线BD的解析式为y=mx+n，直线BD的解析式为y=2x6，设点P（a，2a6），C（0，3），E（1，0），根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（2a6）2，PC2=a2+（2a6+3）2，PC=PE，（a+1）2+（2a6）2=a2+（2a6+3）2，a=2，y=2（2）6=2，P（2，2），（3）如图，作PFx轴于F，F（2，0），设M（d，0），G（d，d2+2d3），N（2，d2+2d3），以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，|d+2|=|d2+2d3|，d=或
7、d=，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=（x2）2
8、+8，D（2，8）；（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设F（x，x2+2x+6），则FG=|x2+2x+6|，FBA=BDE，FGB=BED=90，FBGBDE，=，B（6，0），D（2，8），E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，BG=6x，=，当点F在x轴上方时，有=，解得x=1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（1，）；当点F在x轴下方时，有=，解得x=3或x=6（舍去），此时F点坐标为（3，）；综上可知F点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O，点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对
9、称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2n，n），点M在抛物线y=x2+2x+6的图象上，n=（2n）2+2（2n）+6，解得n=1+或n=1，满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，22）3如图，已知抛物线y=ax2+bx3过点A（1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E过点N作NFx轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点M的横坐标【解答】解
10、：（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x22x3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x22x3=（x1）24，该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，4）如图，设点M坐标为（m，m22m3），其中m1，ME=|m2+2m+3|，M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，点N的横坐标为2m，MN=2m2，四边形MNFE为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分两种情况：当m2+2m+3=2m2时，解得：m1=、m2=（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（22）2=248；当m2+2m+3=22m时，解得：m3=2
11、+，m4=2（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为2（2+）22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或248（3）设BC所在直线解析式为y=px+q，把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：，解得：，直线BC的函数表达式为y=x3，设点M的坐标为（t，t22t3），其中t1，则点N（2t，t22t3），点D（t，t3），MN=2tt=22t，MD=|t22t3t+3|=|t23t|MD=MN，|t23t|=22t，分两种情况：当t23t=22t时，解得t1=1，t2=2（不符合题意，舍去）当3tt2=22t时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）综上所述，点M的横坐
12、标为1或4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据轴对称，可得M的坐标，根据待定系数法，可得AM的解析式，根据解方程组，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可
13、得函数解析式解答：解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x22x3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x1）24，M点的坐标为（1，4），M点的坐标为（1，4），设AM的解析式为y=kx+b，将A、M点的坐标代入，得，解得，AM的解析式为y=2x+2，联立AM与抛物线，得，解得，C点坐标为（5，12）SABC=412=24；（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，由ABPQ是正方形，A（1，0）B（3，0），得P（1，2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，2），当顶点P（1，2）时，设抛物线的解析式为
14、y=a（x1）22，将A点坐标代入函数解析式，得a（11）22=0，解得a=，抛物线的解析式为y=（x1）22，当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x1）2+2，将A点坐标代入函数解析式，得a（11）2+2=0，解得a=，抛物线的解析式为y=（x1）2+2，综上所述：y=（x1）22或y=（x1）2+2，使得四边形APBQ为正方形5. (2016 辽宁省铁岭市) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上
15、的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标分析（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段BF与y轴交点为点F，设点F的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F的坐标，根据点B、F的坐标利用待定系数法可求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；（3）设对角线MN、PQ交于点O，如图2所示根据抛物线的对称性结合正方
16、形的性质可得出点P、Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2n，n）由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论解答解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=x2+bx+c中，得：，解得：，抛物线的解析式为y=x2+2x+6y=x2+2x+6=（x2）2+8，点D的坐标为（2，8）（2）设线段BF与y轴交点为点F，设点F的坐标为（0，m），如图1所示FBO=FBA=BDE，FOB=BED=90，FBOBDE，点B（6，0），点D（2，8），点E（2，0），BE=64=4，DE=80=8，OB=6，OF
17、=OB=3，点F（0，3）或（0，3）设直线BF的解析式为y=kx3，则有0=6k+3或0=6k3，解得：k=或k=，直线BF的解析式为y=x+3或y=x3联立直线BF与抛物线的解析式得：或，解方程组得：或（舍去），点F的坐标为（1，）；解方程组得：或（舍去），点F的坐标为（3，）综上可知：点F的坐标为（1，）或（3，）（3）设对角线MN、PQ交于点O，如图2所示点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2n，n）点M在抛物线y=x2+2x+6的图象上，n=+2（2n）+6，即n2+
18、2n16=0，解得：n1=1，n2=1点Q的坐标为（2，1）或（2，1）6. (2016 广东省茂名市) 】如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标分析（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接P
19、C、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可解答解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=1，当x=1时，y=4，点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，直线BD的解析式为y=2x+6，设点P的坐标为（x，2x+6），则PC2=x2+（3+2x6）2，PE2=（x1）2+（2x+6）2，PC=PE，x2+（3+2x6）2=（x1）2+（2x+6）2，解得，x=2，则y=22+6=2，点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，a2+2a+3），以F、M、G为顶点的四边形是正方形，FM=MG，即|2a|=|a2+2a+3|，当2a=a2+2a+3时，整理得，a23a1=0，解得，a=，当2a=（a2+2a+3）时，整理得，a2a5=0，解得，a=，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）
