1、2 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性123 963,321121例例共线共线与与21 2,1kk不全为零的数不全为零的数 线线性性相相关关共共线线 线性无关线性无关不共线不共线 0.st2211 kk321 321,111,4322321例例共面共面321,321,0kkk的数的数不全为不全为 线线性性相相关关共共面面0.332211 kkkst线性无关线性无关不共面不共面 设有向量组设有向量组使使mkkk,21则称向量组则称向量组 A A 是是的的.否则，称它是线性无关的否则，称它是线性无关的.)(02211 mmakakak使使()式成立
2、，式成立，也就也就是，是，当当则称向量组则称向量组 A A 是是的的.如果如果120mkkk L L L L时时，12:,mA a aaL L L L说明：说明：21 ，0kk2121 k 0 k00 或或者者解齐次线性方程组解齐次线性方程组11221mmxxx0L L（）若（若（1）有）有判定判定向量组向量组12,m L L，若（若（1）只有只有，判定判定向量组向量组12,m L L，例例31231110,2,2124aaa 02321 aaa ,321线性相关线性相关所以向量组所以向量组aaa设有数设有数 0332211 axaxax111022124 Q Q102 011000r使得使得
3、,321xxx的线性相关性的线性相关性.讨论讨论解：解：例例4123100:0,1,0001E eee ,0321 xxx则则0332211 exexex设有数设有数 123,x xx所以向量组所以向量组 E E 线性无关线性无关.使得使得 的线性相关性的线性相关性.讨论讨论解：解：定理定理1.0axaxaxmm2211 向量组向量组 A:a1,a2,am 有非零解有非零解0 Ax其中矩阵其中矩阵 A=(a1,a2,am).秩秩 R(A)m向量组向量组 A:a1,a2,am 定理定理 2.0axaxaxmm2211 只有零解只有零解0 Ax秩秩 R(A)=m矩阵矩阵 A=()向量组向量组 A:
4、若秩若秩 R(A)=m,12,m L L，12,m L L，12,m L L，若秩若秩 R(A)m,12,m L L，例例 5 讨论向量组讨论向量组1231110,1,1001aaa 向量组向量组 a1,a2,a3是线性无关的是线性无关的.因为因为R(A)=3，的线性相关性的线性相关性.解：解：例例 6 讨论向量组讨论向量组 的线性相关性的线性相关性.解：解：123112,21 7130a a a 知知 R(a1,a2,a3)=2 3,所以向量组所以向量组 a1,a2,a3 线性相关线性相关.1231122,1,7130aaa 31rr 212rr 3223rr 练习：练习：讨论下列向量组的线
5、性相关性讨论下列向量组的线性相关性.5231,4253,5112,0231:4321aaaaAR(a1,a2,a3,a4)=3向量组向量组 a1,a2,a3,a4 线性相关线性相关.RowReduce1231315321220545MatrixForm107500145000010000例例 8 8已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关线性无关，证一证一 b1=a1+a2,b2=a2+a3 ,b3=a3+a1 证明向量组证明向量组也线性无关也线性无关.向量组向量组 a1,a2,a3 线性无关线性无关 ,也就是也就是 000322131xxxxxx x1=0，x2=0，x3=0向量组向
6、量组 b1,b2,b3线性无关线性无关.0332211 bxbxbx设有数设有数 x1,x2,x3 使使10111020011Q Q例例 8 8已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a3 ,b3=a3+a1 证明向量组证明向量组也线性无关也线性无关.),(321aaaA 令令),(213 3bbbB 证二：证二：，则则AKB ,2 K,是可逆方阵是可逆方阵K,3)()()(ARAKRBR 所以向量组所以向量组 b1,b2,b3线性无关线性无关.例例 8 8已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a
7、3 ,b3=a3+a1 证明向量组证明向量组也线性无关也线性无关.),(321aaaA 令令123(,),Bb b b 证三：证三：0,Bx 令令101110011K,2 K()3,R K 所以向量组所以向量组 b1,b2,b3线性无关线性无关.0AKx 即即因因a1,a2,a3 线性无关线性无关,0KxBAK 0 x 例例 91234,b b b b证明向量组证明向量组线性相关线性相关.证一证一使得使得设有数设有数,4321xxxx1 12233440,(1)x bx bx bx b 000043322141xxxxxxxx而而有非零解，有非零解，存在不全为零的存在不全为零的.)1(,432
8、1成成立立使使得得的的数数xxxx.,4321线性相关线性相关bbbb112223334441,baa baa baa baa 例例 91234,b b b b证明向量组证明向量组线性相关线性相关.证二证二112223334441,baa baa baa baa),(4321aaaaA 令令),(4321bbbbB ，则则AKB 3)(KR()()R BR AK1001010100110000r .,4321线性相关线性相关bbbb()34,R K 例例 91234,b b b b证明向量组证明向量组线性相关线性相关.证三证三112223334441,baa baa baa baa12340b
9、bbbQ Q.,4321线性相关线性相关bbbb定理定理3 几个结论：几个结论：(1)向量组向量组 A:a1,a2,am (m2)线性相关线性相关其余其余m-1个个向量向量向量向量 能由能由线性表示线性表示.证明证明设设maaa,21ma112211 mmma 中有一个向量（比如中有一个向量（比如能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.）故故 01112211 mmma 故故 线性相关线性相关.m ,21设设 线性相关线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0 0的数的数,21mkkk.02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设不妨设,01 k.1
10、3132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.使使则有则有定理定理3 几个结论：几个结论：(2)若向量组若向量组 A:a1,a2,am 线性相关线性相关,组组 B:a1,a2,am,am+1 也线性相关也线性相关.则则(2)若若 a1,a2,am,am+1 线性无关线性无关，a1,a2,am 线性无关线性无关.(3)若向量组若向量组 A:12,1,2,.jjjnjaaajmaL LL LM M线性无关，线性无关，.,2,1,11mjaaabjnjnjj 也线性无关也线性无关.则向量组则向量组 B:(3)(3)若若B B 组组线性相关，线性相关，则
11、则A A组组也线性相关也线性相关.例例101231000,1,0001eee 例例11 11 121012402221231 0 22,1 21,2 2 T TT TT T（，）（，）（，）123,，1122331,0,2,2,1,2,1,2,2,TTTkkk(4)向量个数大于向量维数向量个数大于向量维数，(5)如果向量组如果向量组 A:a1,a2,am 线性无关线性无关，a1,a2,am,b 那么那么且表法唯一且表法唯一.而向量组而向量组 B:特别有特别有n+1 个个 n 维向量维向量，向量向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示,必线性相关必线性相关.必线性相关必线性相关.线性
12、相关线性相关,12(,)mmR a aa L L12(,)1mR a aabm L L 线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时线性组合时，这个方程就是多余的，这时方程组（各个方程）是线性相关的；方程组（各个方程）是线性相关的；高斯消元法和矩阵的初等行变换法求高斯消元法和矩阵的初等行变换法求解方程组可以说成化相关为无关的问题解方程组可以说成化相关为无关的问题 当方程中没有多余方程，就称该方程组当方程中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）（各个方程）线性无关（或线性独立）.
