1、第第1414章章 全等三角形全等三角形14.1 14.1 全等三角形全等三角形1课堂讲解课堂讲解u全等形全等形 u全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素 u全等三角形的性质全等三角形的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的重要内容全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的重要内容.ABC ABC（SAS）ABC EDC（ASA）ABC DEF（SSS）1知识点知识点全全 等等 形形 如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们的形状相同、大小一样的形状相同、大小一样.知知1 1导导知知1 1
2、导导 像如图那样，把像如图那样，把ABC叠到叠到DEF上，两个上，两个三角形能够完全重合，表明它们的形状和大小一样三角形能够完全重合，表明它们的形状和大小一样.能够完全重合的两个图形，叫做全等形能够完全重合的两个图形，叫做全等形.知知1 1讲讲 1.定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形 要点精析：要点精析：(1)图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够 完全重合即可完全重合包含两层含义：图形完全重合即可完全重合包含两层含义：图形 的形状相同、大小相等；的形状相同、大小相等；(2)全等形的周长、面积分别相等，但周长或
3、面积全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积 相等的两个图形不一定是全等形相等的两个图形不一定是全等形2.几种常用的全等变换方式：平移、翻折、旋转几种常用的全等变换方式：平移、翻折、旋转 知知1 1讲讲例例1 如图中是全等形的是如图中是全等形的是_ 导引：上述图形中，和形状相同，但大小不同，和导引：上述图形中，和形状相同，但大小不同，和 大小、形状都不同；和、和、大小、形状都不同；和、和、和和尽管方尽管方 向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，和都是五角星，大小、形状都相同，是全等形和都是五角星，大小、形状都相同，是全等形 和、和、和、
4、和、和、和、和和 总总 结结知知1 1讲讲 (1)此题运用定义识别全等形，确定两个图形全此题运用定义识别全等形，确定两个图形全 等要符合两个条件：等要符合两个条件：形状相同，形状相同，大小相等；是否是全等形与位置无关大小相等；是否是全等形与位置无关(2)判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻 折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能 否完全重合，即用叠合法判断否完全重合，即用叠合法判断 1 如图，有如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形个条形方格图，图中由实线围成的图形 2 中，全等形有：中，全等形有：(1)与与_
5、；(2)与与_32 下列四组图形中，是全等形的一组是下列四组图形中，是全等形的一组是()知知1 1练练 3 下列说法中正确的有下列说法中正确的有()用一张底片冲洗出来的用一张底片冲洗出来的10张张1寸相片是全等形；寸相片是全等形；我国国旗上的我国国旗上的4颗小五角星是全等形；颗小五角星是全等形；所有的正方形是全等形；所有的正方形是全等形；全等形的面积一定相等全等形的面积一定相等 A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练 4 下列命题：两个图形全等，它们的形状相同；下列命题：两个图形全等，它们的形状相同；两个图形全等，它们的大小相同；面积相两个图形全等，它们的大小相同；面积相 等的两
6、个图形全等；周长相等的两个图形全等的两个图形全等；周长相等的两个图形全 等其中正确的个数为等其中正确的个数为()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练 2知识点知识点全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素知知2 2讲讲1.全等三角形的定义：全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2.全等三角形对应元素：全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，把两个全等的三角形重合到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；对应顶点：重合的顶点；(2)对应边：重合的边；对应边：重合的边；(3)对应角：重合的角对应角：重合的角知知2 2讲讲3
7、.全等三角形的表示法：全等三角形的表示法：如图，如图，ABC和和DEF全等，记作全等，记作ABC DEF，符号符号“”读作全等于其中读作全等于其中“”表示形状相同，表示形状相同，“”表示大小相等记两个三角形全等时，通常把表示大小相等记两个三角形全等时，通常把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点A和点和点 D，点，点B 和点和点E，点，点C和点和点F是对应顶点；是对应顶点；AB和和DE，BC和和EF，AC和和DF是对应边；是对应边；A和和D，B和和 E，C和和F是对应角是对应角知知2 2讲讲4教你一招：对应元素的确定方法：教你一招：对应元素的确定方法
8、：(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确 定对应边、对应角，如定对应边、对应角，如CAB FDE，则，则AB与与 DE、AC与与DF、BC与与EF是对应边，是对应边，A和和D、B和和E、C和和F是对应角；是对应角；(2)图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共 角一定是对应角；对顶角一定是对应角；角一定是对应角；对顶角一定是对应角；(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角角)是对应边是对应边(角角)，最小的边，最小的边(角角)是对应边是对应边(角角)
9、知知2 2讲讲 (4)对应边对应边(或角或角)与对边与对边(或角或角)的区别：对应边、对应的区别：对应边、对应 角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的 关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的 位置关系对边是与角相对的边，对角是与边相位置关系对边是与角相对的边，对角是与边相 对的角对的角5.易错警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应易错警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意 书写书写 知知2 2讲讲 解：解：AB
10、与与ED，AC与与EC，BC与与DC是对应边；是对应边；A与与E，B与与D，ACB与与ECD 是对应角是对应角导引：用导引：用“”表示两个三角形全等时，对应顶点的字母表示两个三角形全等时，对应顶点的字母 写在对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母写在对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母 按照同样的顺序排成一排：按照同样的顺序排成一排：ABC，ED C，然后按照同样的顺序写出对应元素，然后按照同样的顺序写出对应元素例例2 已知已知ABC EDC，指出其对应边和对应角，指出其对应边和对应角总总 结结知知2 2讲讲 根据字母顺序找对应元素的前提条根据字母顺序找对应元素的前提条件是：用件是：用“”表
11、示两个三角形全等时，表示两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上对应顶点的字母必须写在对应的位置上 知知2 2讲讲 解：其他的对应边是解：其他的对应边是AB和和BA，对应角是，对应角是CBA和和 DAB，CAB和和DBA，ACB和和BDA.导引：因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边导引：因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边 是对应边根据对应边所对的角是对应角，容易是对应边根据对应边所对的角是对应角，容易 发现对应角，所以比较容易发现发现对应角，所以比较容易发现AC的对角的对角CBA 和和BD的对角的对角DAB是对应角，是对应角，BC的对角的对角CAB 和和AD的对角的对
12、角DBA是对应角，剩下的一组角是对应角，剩下的一组角 ACB和和BDA是对应角是对应角 例例3 如图，如图，ACB BDA，AC和和 BD对应，对应，BC和和AD对应，写出对应，写出 其他的对应边及对应角其他的对应边及对应角总总 结结知知2 2讲讲 根据对应边根据对应边(角角)找对应角找对应角(边边)的方法：对应边所对的角是对应角，的方法：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边对应角所对的边是对应边知知2 2讲讲 解：由题意得解：由题意得ABC DBE，AB与与DB，AC与与DE，BC与与BE是对应边，是对应边，A与与BDE，ABC与与DBE，C与与E是对应角是对应角导引：将导引：将A
13、BC绕其顶点绕其顶点B旋转得到旋转得到DBE，只改变了图形，只改变了图形 的位置，而没有改变形状和大小，故的位置，而没有改变形状和大小，故ABC与与 DBE全等，再写出对应边与对应角全等，再写出对应边与对应角 例例4 如图，将如图，将ABC绕其顶点绕其顶点B顺时针旋转顺时针旋转 一定角度后得到一定角度后得到DBE，请说出图中，请说出图中 两个全等三角形的对应边和对应角两个全等三角形的对应边和对应角总总 结结知知2 2讲讲 旋转变换前后位置的边是对应边，旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是对应角前后位置的角是对应角 1 已知：如图，已知：如图，ABC CED,2 B与与DEC是对应角，是
14、对应角，BC与与3 ED是对应边是对应边.说出另外两组对说出另外两组对4 应角和对应边应角和对应边.5 如图，沿直线如图，沿直线AC对折，对折，ABC6 与与ADC重合，则重合，则ABC 7 _，AB的对应边是的对应边是 8 _，BCA的对应角是的对应角是_知知2 2练练 3 如图，将如图，将ABC沿沿BC所在的直线平所在的直线平 4 移到移到ABC的位置，则的位置，则ABC5 _ABC，图中，图中A与与_，6 B与与_，ACB与与_是是7 对应角对应角知知2 2练练 3知识点知识点全等三角形的性质全等三角形的性质知知3 3讲讲1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等性质：全等三角形的对应
15、边相等，对应角相等 还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应 边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形 的周长相等、面积也相等的周长相等、面积也相等 要点精析：要点精析：(1)全等三角形的对应元素相等其中，对应元素全等三角形的对应元素相等其中，对应元素 包括：对应边、对应角、对应中线、对应高、包括：对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等；对应角平分线、对应周长、对应面积等；知知3 3讲讲 (2)在应用全等三角形性质时，要先确定两在应用全等三角形性质时，要先确定两 个条件：个条件
16、：两个三角形全等；找对应元素；两个三角形全等；找对应元素；(3)全等三角形的性质是证明线段、角相等全等三角形的性质是证明线段、角相等 的常用方法的常用方法2.易错警示：周长相等的两个三角形不一定易错警示：周长相等的两个三角形不一定 全等，面积相等的两个三角形也不一定全等全等，面积相等的两个三角形也不一定全等 知知3 3讲讲解：解：ABC FDE，ABFD.ABDBFDDB，即，即ADFB.AB8 cm，BD6 cm，ADABDB862(cm)FBAD2cm.例例5 如图，已知点如图，已知点A，D，B，F在同一在同一 条直线上，条直线上，ABC FDE，AB 8 cm，BD6 cm.求求FB的长
17、的长导引：由全等三角形的性质知导引：由全等三角形的性质知ABFD，由等式的性，由等式的性 质可得质可得ADFB，所以要求，所以要求FB的长，只需求的长，只需求 AD的长的长 总总 结结知知3 3讲讲 (1)全等三角形的性质在几何证明和计算中起全等三角形的性质在几何证明和计算中起 着重要作用，当所求线段不是全等三角形着重要作用，当所求线段不是全等三角形 的对应边时，可利用等式的性质进行转换，的对应边时，可利用等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关系从而找到所求线段与已知线段的关系(2)本题运用转化思想，通过全等三角形的性本题运用转化思想，通过全等三角形的性 质，可把线段质，可把线段A
18、B转化成线段转化成线段DF，再利用，再利用 等式的性质可把求线段等式的性质可把求线段FB的长转化成求线的长转化成求线 段段AD的长的长知知3 3讲讲 例例6 如图，如图，RtABC RtCDE，BD90，且，且B，C，D 三点在一条直线上，求三点在一条直线上，求ACE的的 度数度数导引：要求导引：要求ACE，求，求ACB、ECD或或ACB ECD即可由于即可由于ACB和和ECD无法求出，无法求出，因此必须求因此必须求ACBECD.由由RtABC RtCDE，可知，可知BACDCE，结合直角，结合直角 三角形两锐角互余的性质，可求三角形两锐角互余的性质，可求ACB与与 ECD的度数和，再根据平角
19、的定义可求的度数和，再根据平角的定义可求 ACE的度数的度数知知3 3讲讲解：解：RtABC RtCDE，BACDCE.又又在在RtABC中，中，B90，ACBBAC90.ACBECD90.ACE180(ACBECD)1809090.总总 结结知知3 3讲讲 (1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换，从而求出所要求的角的度数之间的转换，从而求出所要求的角的度数(2)本题主要利用了全
20、等三角形对应角相等的性本题主要利用了全等三角形对应角相等的性 质，通过全等三角形把属于两个三角形的质，通过全等三角形把属于两个三角形的 ACB、ECD联系在一起，并将它们作为联系在一起，并将它们作为 一个整体求出其度数的和一个整体求出其度数的和知知3 3讲讲 例例7 如图，将长方形如图，将长方形ABCD沿沿AE折叠，使点折叠，使点D落落 在在BC边上的点边上的点F处，若处，若BAF56，则，则 DAE_.导引：因为导引：因为AEF是由是由AED沿直线沿直线AE折叠而成的，折叠而成的，所以所以ADE AFE，所以，所以DAEFAE.因为因为BAF56，BAD90，所以，所以 DAF90BAF90
21、5634，所以所以DAE DAF 3417.121217总总 结结知知3 3讲讲 解决折叠问题的关键是弄清在折叠解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是全等变换，即折叠前后过程中发生的是全等变换，即折叠前后的两个图形的两个图形(本例是三角形本例是三角形)全等，其折全等，其折叠前后的对应边相等，对应角相等类叠前后的对应边相等，对应角相等类似地，还有平移和旋转问题在此过程似地，还有平移和旋转问题在此过程中，往往产生了全等三角形，然后根据中，往往产生了全等三角形，然后根据全等三角形的性质解题全等三角形的性质解题知知3 3讲讲解：方法一：相等解：方法一：相等 ADC ECD，SADCSECD.又又
22、ABD与与ADC同底等高，同底等高，SABDSADC.SABDSECD.例例8 如图，四边形如图，四边形ABCD是梯形，是梯形，AD BC，若，若DEAC交交BC的延长线的延长线 于点于点E，且，且ADC ECD.试问：试问：梯形梯形ABCD的面积和的面积和BDE的面积相等吗？谈谈的面积相等吗？谈谈 你的看法你的看法知知3 3讲讲SABDSBCDSECDSBCD，即即S梯形梯形ABCDSBED.方法二：相等方法二：相等ADC ECD，ADEC.又又ADBE，SECDSABD(等底等高的两个三角形等底等高的两个三角形 面积相等面积相等)SABDSBCDSECDSBCD，即即S梯形梯形ABCDSB
23、DE.总总 结结知知3 3讲讲 两种解法的入手点分别是两种解法的入手点分别是“同底等高、等底同底等高、等底等高的三角形面积相等等高的三角形面积相等”，这一结论要结合具体，这一结论要结合具体图形理解如图，图形理解如图，l1l2，点，点A，B，F在在l1上，上，ABBF，点，点C，D，E是是l2上任取的点，则根据上述上任取的点，则根据上述结论，知结论，知SABCSABDSBFE.知知3 3练练 1 若若ABC与与DEF全等，点全等，点A和点和点E，点，点B和点和点D 2 分别是对应点，则下列结论错误的是分别是对应点，则下列结论错误的是()3 ABCEF BBD4 CCF DACEF5 如图，如图，
24、ABC CDA，AC7 cm，AB5 cm，6 BC8 cm，则，则AD的长是的长是()7 A7 cm B5 cm8 C8 cm D无法确定无法确定知知3 3练练 3 如图，如图，ABC AEF，ABAE，4 B E，则对于结论：，则对于结论：AC5 AF；FABEAB；BC6 EF；EABFAC.7 其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是()8 A1个个 B2个个 C3个个 D4个个9 如图，将长方形纸片如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点折叠，使点D 10 与点与点B重合，点重合，点C落在落在C处，折痕为处，折痕为EF.11 若若AB1，BC2，则，则ABE和和BCF 12 的周长之和为
25、的周长之和为()13 A3 B4 C6 D8第第1414章章 全等三角形全等三角形14.2 14.2 三角形全等的判定三角形全等的判定第第1 1课时课时 两边及其夹角分别两边及其夹角分别 相等的两个三角形相等的两个三角形1课堂讲解课堂讲解u判定两三角形全等的基本事实：边角边判定两三角形全等的基本事实：边角边 u全等三角形判定全等三角形判定“边角边边角边”的简单应用的简单应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升操作操作 三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三其中的一个元
26、素或两个元素，能够确定一个三 角形的形状角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判断和大小吗？通过画图，说明你的判断.1.只给定一个元素：只给定一个元素：（1）一条边长为）一条边长为4 cm；（2）一个角为）一个角为45.2.只给定两个元素：只给定两个元素：（1）两条边长分别为）两条边长分别为4 cm，5 cm；（2）一条边长为）一条边长为4 cm，个角为个角为45；（3）两个角分别为）两个角分别为45,60.1知识点知识点判定两三角形全等的基本事实：边角边判定两三角形全等的基本事实：边角边探究探究1.如图如图,把圆规平放在桌面上，在圆规的两把圆规平放在桌面上，在圆规的两 脚上各取一点脚上各取一
27、点A，C，自由转动其一个脚，自由转动其一个脚，ABC的形状、大小随之改变，那么还需的形状、大小随之改变，那么还需 增加什么条件才可以确定增加什么条件才可以确定ABC的形状、大小呢？的形状、大小呢？知知1 1导导知知1 1导导2.如图如图,把两块三角尺的一条直角把两块三角尺的一条直角 边放在同一条直线边放在同一条直线l上，其中上，其中 B，C已知，并记两块三角已知，并记两块三角 尺斜边的交点为尺斜边的交点为A.沿着直线沿着直线l分分 别向左右移动两个三角尺，别向左右移动两个三角尺，ABC的大小随之改变，这直的大小随之改变，这直 观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不观地说明一个三角形，
28、只知道两个角，这个三角形是不 确定的确定的.那么还需增加什么条件才可以使那么还需增加什么条件才可以使ABC确定呢？确定呢？知知1 1讲讲 由上可知，确定一个三角形的形状、大小至由上可知，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素少需要有三个元素.确定三角形的形状、大小的确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？条件能否作为判定三角形全等的条件呢？下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研究两个三角形全等的条件究两个三角形全等的条件.知知1 1讲讲两边及其夹角分别相等的两个三角形两边及其夹角分别相等的两个三角形已知：已知：ABC如图（如图（1
29、）.求作：求作：ABC，使，使AB=AB，B=B，BC=BC.作法：作法：（1）作）作 MBN=B；（2）在）在BM上截取上截取BABA，在，在BN上截取上截取BC=BC；（3）连接）连接 AC.则则 ABC如图（如图（2）就是所求作的三角形就是所求作的三角形.将所作的将所作的 ABC与与ABC叠一叠，看看它们能否叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？完全重合？由此你能得到什么结论？知知1 1讲讲归归 纳纳判定两个三角形全等的第判定两个三角形全等的第1种方法是如下的基本事实种方法是如下的基本事实.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为简记
30、为“边角边角边边”或或“SAS”（S表示边，表示边，A表示角）表示角）.知知1 1讲讲 判定两三角形全等的基本事实：边角边：判定两三角形全等的基本事实：边角边：1.判定方法一：两边及其夹角分别相等的两个三判定方法一：两边及其夹角分别相等的两个三 角形全角形全 等等(简记为简记为“边角边边角边”或或“SAS”)2.证明书写格式：在证明书写格式：在ABC和和ABC中，中，ABC ABC.要点精析：（要点精析：（1）全等的元素：两边及这两边的夹角；）全等的元素：两边及这两边的夹角；（2）在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、）在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、角、边的顺序来写，即把夹
31、角相等写在中间，以突出两角、边的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两 边及其夹角对应相等边及其夹角对应相等，,ABA BABCA B CBCB C 知知1 1讲讲 3.易错警示：用两边一角证三角形全等时，角必须易错警示：用两边一角证三角形全等时，角必须 是两边的夹角两边和一边的对角分别相等时两是两边的夹角两边和一边的对角分别相等时两 个三角形不一定全等，即不存在个三角形不一定全等，即不存在“边边角边边角”如如图，图，ABC与与ADC的边的边ACAC，CBCD，其，其中中 A 是是CB，CD的对角，但的对角，但ABC与与ADC不不全全 等等 例例1 已知：如图，已知：如图，ADCB，AD=C
32、B.求证：求证：ADC CBA.证明：证明：ADCB，（已知），（已知）DAC=BCA.(两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）在在ADC 和和CBA中，中，ADC CBA.（SAS）知知1 1讲讲 ADCBDACBCAACCA=，（已已知知），（已已证证），（公公共共边边）例例2 如图，点如图，点A，F，E，C在同一条直线上，在同一条直线上，AF CE，BEDF，BEDF.求证：求证：ABE CDF.导引：导引：要证明要证明ABE CDF，已知，已知BEDF，只需证，只需证 AEBCFD和和AECF即可而即可而AEB CFD由由BEDF可得；可得；AECF由由AFCE可得可得知知1
33、 1讲讲 证明：证明：BEDF，AEBCFD.AFCE，AFFECEEF，即，即AECF.在在ABE和和CDF中，中，ABE CDF(SAS)知知1 1讲讲 AECFAEBCFDBEDF=，总总 结结知知1 1讲讲 证明两三角形全等时，常要证边相等，而证边相证明两三角形全等时，常要证边相等，而证边相等的方法有：公共边；等线段加等的方法有：公共边；等线段加(减减)等线段其和等线段其和(差差)相等，即等式性质；由中点得到线段相等；相等，即等式性质；由中点得到线段相等；同等于第三条线段的两线段相等，即等量代换；全同等于第三条线段的两线段相等，即等量代换；全等三角形的对应边相等等等三角形的对应边相等等
34、1 已知：如图，已知：如图，AB=AC，AD=AE.求证求证:ABE ACD.知知1 1练练 2 如图，如图，a，b，c分别表示分别表示ABC的三边长，则下面与的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是一定全等的三角形是()3 (中考中考莆田莆田)如图，如图，AEDF，AEDF，要使，要使EAC FDB，需要添加下列选项中的，需要添加下列选项中的()AABCD BECBF CAD DABBC知知1 1练练 4 如图，已知如图，已知ABAE，ACAD，下列条件中能判定，下列条件中能判定 ABC AED的是的是()AADEACB BBADEAC CBE DDACBAD知知1 1练练 5 如图，已知
35、如图，已知ABAC，ADAE，若要得到，若要得到 “ABD ACE”，必须添加一个条件，则，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是下列所添条件不成立的是()AABCADE BABDACE CBADCAE DBACDAE知知1 1练练 2知识点知识点全等三角形判定全等三角形判定“边角边边角边”的简单应用的简单应用知知2 2讲讲 例例3 如图，如图，ADBC且且ADBC，AEFC.求证：求证：BEDF.导引：根据题意证明导引：根据题意证明AFCE和和A=C，结合，结合AD BC，证明，证明ADF CBE(SAS)知知2 2讲讲证明：证明：AEFC，AEEFFCEF，即，即AFCE.ADBC，A
36、C.在在ADF和和CBE中，中，ADF CBE(SAS)BECDFA.BEDF.AFCEACADCB=，总总 结结知知2 2讲讲 本题可运用分析法寻找证明思路，分析法就本题可运用分析法寻找证明思路，分析法就是执果索因，由未知看须知，思维方式上就是是执果索因，由未知看须知，思维方式上就是从从问题入手，找能求出问题所需要的条件或可行问题入手，找能求出问题所需要的条件或可行思思路，若问题需要的条件未知，则把所需条件当路，若问题需要的条件未知，则把所需条件当成成中间问题，再找出解决中间问题的条件中间问题，再找出解决中间问题的条件知知2 2讲讲 例例4 如图如图,在湖泊的岸边有在湖泊的岸边有A,B两点两
37、点,难以直接量出难以直接量出A，B两两点点 间的距离间的距离.你能设计一种量出你能设计一种量出A，B两点之间距离的方两点之间距离的方 案吗？说明你这样设计的理由案吗？说明你这样设计的理由.解：在岸上取可以直接到达解：在岸上取可以直接到达A，B的的 一点一点C，连接，连接AC，延长延长AC到点到点 A，使，使AC=AC；连接连接BC，并延长，并延长BC到点到点B，使使BC=BC.连接连接AB，量出，量出AB 的长度，就是的长度，就是A，B两点间两点间 距离距离.知知2 2讲讲理由：在理由：在ABC与与ABC中，中，ABC ABC（SAS)AB=AB.(全等三角形对应边相等）全等三角形对应边相等）
38、ACA CACBA CBBCB C=，（已已知知），（对对顶顶角角相相等等），（已已知知）1 已知：如图，已知：如图，AC和和BD相交于点相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：求证：DCAB.知知2 2练练 2 如图，如图，AA，BB表示两根长度相同的木条，若表示两根长度相同的木条，若O是是AA，BB的中点，经测量的中点，经测量AB9 cm，则容器的内径，则容器的内径AB为为 ()A8 cm B9 cm C10 cm D11 cm知知2 2练练 3 (中考中考青海青海)如图，点如图，点B，F，C，E在同一直线上，在同一直线上，BF CE，ABDE，请添加一个条件，使，请添加一个条件，使AB
39、C DEF，这个添加的条件可以是，这个添加的条件可以是_(只需写只需写一个，不添加辅助线一个，不添加辅助线)知知2 2练练 应用应用“SAS”判定两个三角形全等的判定两个三角形全等的“两点注意两点注意”：对应：对应：“SAS”包含包含“边边”“”“角角”两种元素，一定要注意元两种元素，一定要注意元素的素的“对应对应”关系关系顺序：在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边角顺序：在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边角边的顺序来写，把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹边的顺序来写，把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等绝不能出现两边及一边的对角分别相等的错角对应相等绝不能出现两边及
40、一边的对角分别相等的错误，因为边边角误，因为边边角(或角边边或角边边)不能保证两个三角形全等不能保证两个三角形全等第第1414章章 全等三角形全等三角形14.2 14.2 三角形全等的判定三角形全等的判定第第2 2课时课时 两角及其夹边分别两角及其夹边分别 相等的两个三角形相等的两个三角形1课堂讲解课堂讲解u判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的基本事实：角边角 u全等三角形判定全等三角形判定“角边角角边角”的简单应用的简单应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的基本事实：角边角已
41、知：已知：ABC如图如图(1).求作：求作：ABC，使，使B=B，BC=BC，C=C.知知1 1导导知知1 1导导作法：作法：(1)作线段作线段BC=BC；(2)在在BC的同旁，分别以的同旁，分别以B，C为顶点为顶点 作作 MBC=ABC，NCB=C，BM与与CN交于点交于点A.则则ABC如图如图(2)就是所求作的三角形就是所求作的三角形.将所作的将所作的ABC与与ABC叠一叠，看看它们能否完全叠一叠，看看它们能否完全 重合？由此你能得到什么结论？重合？由此你能得到什么结论？知知1 1导导归归 纳纳判定两个三角形全等的第判定两个三角形全等的第2种方法是如下的基本事实种方法是如下的基本事实.两角
42、及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为简记为“角边角边角角”或或“ASA”.知知1 1讲讲判定两三角形全等的基本事实：角边角：判定两三角形全等的基本事实：角边角：1.判定方法二：两角及其夹边分别相等的两个三角形判定方法二：两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等全等(简记为简记为“角边角角边角”或或“ASA”)2.证明书写格式：在证明书写格式：在ABC和和ABC中，中，ABC ABC.,AAABA BBB ，例例1 已知：如图，已知：如图，1=2，3=4.求证：求证：DB=CB.证明：证明：ABD与与3互为邻补角，互为邻补角，ABC与与4互为邻补角，（已知）
43、互为邻补角，（已知）又又 3=4，（已知），（已知）ABD=ABC.（等角的补角相等）（等角的补角相等）在在ADB与与ACB中，中，ADB ACB.(ASA)DB=CB.(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)知知1 1讲讲 12ABABABDABC=，（已已知知），（公公共共边边），（已已证证）例例2 福建厦门福建厦门已知：如图，点已知：如图，点B、F、C、E在一条在一条 直线上，直线上，AD，ACDF，且，且ACDF.求证：求证：ABC DEF.知知1 1讲讲 证明：证明：ACDF，ACBDFE.又又AD，ACDF，ABC DEF(ASA)知知1 1讲讲 导引：要证明导引：要证明A
44、BC与与DEF全等，从条件看，已知有全等，从条件看，已知有 一边和一角相等，解决第三个元素有两个思路：一边和一角相等，解决第三个元素有两个思路：一个是找相等角的另一邻边相等；另一个是找一个是找相等角的另一邻边相等；另一个是找 相等线段的另一端点处的角相等相等线段的另一端点处的角相等归归 纳纳知知1 1讲讲 证明两个三角形全等，寻找条件时，应注意图形中的隐含条证明两个三角形全等，寻找条件时，应注意图形中的隐含条件，常见的有：件，常见的有：(1)(1)公共边或公共角相等；公共边或公共角相等；(2)(2)对顶角相等；对顶角相等；(3)(3)等等边加边加(或减或减)等边，其和等边，其和(或差或差)仍相
45、等；仍相等；(4)(4)等角加等角加(或减或减)等角，等角，其其和和(或差或差)仍相等；仍相等；(5)(5)同角或等角的余同角或等角的余(或补或补)角相等；角相等；(6)(6)由中线由中线或或角平分线的定义得出线段或角相等；角平分线的定义得出线段或角相等；(7)(7)由垂直定义得出直角相由垂直定义得出直角相等另外，一些自然规律如：等另外，一些自然规律如：“太阳光线可看成是平行的太阳光线可看成是平行的”，“光光的反射角等于入射角的反射角等于入射角”等也是常用的隐含条件等也是常用的隐含条件1 已知：如图，已知：如图，1=2，ABC=DCB.求证：求证：ABC DCB.知知1 1练练 2 如图，已知
46、如图，已知ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和个三角形中一定和ABC全等的图形是全等的图形是()A甲、乙甲、乙 B甲、丙甲、丙 C乙、丙乙、丙 D乙乙知知1 1练练 3 如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现 在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是方法是()A带带(1)和和(2)去去 B只带只带(2)去去 C只带只带(3)去去 D都带去都带去知知1 1练练 4 (中考中考宁波宁波)如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD中，中，
47、E，F是对是对 角线角线BD上的两点，如果添加一个条件，使上的两点，如果添加一个条件，使ABE CDF，则添加的条件不能为，则添加的条件不能为()ABEDF BBFDE CAECF D12知知1 1练练 5 广东湛江广东湛江如图，点如图，点B、F、C、E在一条直在一条直 线上，线上，FBCE，ABED，ACFD.求证：求证：ACDF.知知1 1练练 2知识点知识点全等三角形判定全等三角形判定“角边角角边角”的简单应用的简单应用知知2 2讲讲 例例3 重庆重庆如图，已知如图，已知ABAE，12，BE.求证：求证：BCED.导引：要证导引：要证BCED，需证它们所在的三角形全等，需证它们所在的三角
48、形全等，由于由于BE，ABAE，因此需证，因此需证BAC EAD，即需证，即需证BAD1BAD 2.知知2 2讲讲证明：证明：12，1BAD2BAD，即即BACEAD.在在BAC和和EAD中，中，BAC EAD(ASA)BCED.BEABAEBACEAD=，总总 结结知知2 2讲讲 在证两三角形全等所需要的角相等时，通常采用在证两三角形全等所需要的角相等时，通常采用的目前所学过的方法有：的目前所学过的方法有：(1)公共角、对顶角分别公共角、对顶角分别相相等；等；(2)等角加等角加(减减)等角，其和等角，其和(差差)相等，即等式的相等，即等式的性性质；质；(3)同角或等角的余同角或等角的余(补补
49、)角相等；角相等；(4)由角平分线由角平分线得得到相等角；到相等角；(5)由平行线得同位角、内错角相等；由平行线得同位角、内错角相等；(6)直角都相等；直角都相等；(7)全等三角形对应角相等；全等三角形对应角相等；(8)第三第三角角代换，即等量代换等代换，即等量代换等知知2 2讲讲 例例4 已知：如图，要测量河两岸相对的两点已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间之间 的距离，可以在的距离，可以在AB的垂线的垂线BF上取两点上取两点C，D（BF 在河岸在河岸 上），使上），使BC=CD，再过，再过 点点D作作BF的垂线的垂线DE，使点，使点A，C，E在一条直线上，这时测得在一条直线上，这时
50、测得 DE的长等于的长等于AB的长，请说明道的长，请说明道 理理.知知2 2讲讲证明：证明：ABBDABBD，EDBDEDBD，（已知），（已知）ABC=EDC=90ABC=EDC=90.（垂直的定义）（垂直的定义）在在ABCABC和和EDCEDC中，中，ABCABCEDC.(ASA)EDC.(ASA)AB=DE.(AB=DE.(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）ABCEDCBCCDACBECD=，（已已证证），（已已知知），（对对顶顶角角相相等等）1 已知：如图，已知：如图，BAD=CAD，ADBC，点点D为垂足为垂足.求证：求证：ABD ACD.知知2 2练练 知知2 2练练
