1、第2章 二元一次方程组 2.1 二元一次方程237xy832xy5504xy()()()2x+3=7 5x=50+4x 8x=32 方程两边都是方程两边都是整式整式只含有只含有一个未知数一个未知数未知数的最高次是未知数的最高次是一次一次 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程二元一次方程 方程两边都是方程两边都是整式整式含有含有两个未知数两个未知数含未知数的项的次数都是未知数的项的次数都是1次次含有两个未知数含有两个未知数,且所含未知数的项的次数都是且所含未知数的项的次数都是1次次的方程叫做的方程叫做二元一次方程二元一次方程.二元一次方程的定义二元一次方程的定义 方程中含有未知数的项都是一次单
2、项式方程中含有未知数的项都是一次单项式1、请判断下列各方程中，哪些是二元、请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由。一次方程，哪些不是？并说明理由。(4)2(m-1)+5n=10(1)x+y+z=9(2)xy=x-72xy2412xy11+=xy2(5)(6)辨一辨辨一辨(3)3x+4y=19(2)(2)请你帮小红贴邮票请你帮小红贴邮票3 3角的邮票角的邮票 张，张，4 4角的邮票角的邮票 张。张。(1)(1)小红到邮局寄挂号信。需要邮资小红到邮局寄挂号信。需要邮资1 1元元9 9角。小红角。小红有票额为有票额为3 3角和角和4 4角的邮票若干张。问各需多少张这角的邮票若干
3、张。问各需多少张这两种面额的邮票？两种面额的邮票？x=5，y=1；x=1，y=4设设3 3角的邮票为角的邮票为x x张，张，4 4角的邮票为角的邮票为y y张。张。使二元一次方程两边的值相等的使二元一次方程两边的值相等的一对一对未知未知数的值数的值,叫做叫做二元一次方程的一个解二元一次方程的一个解记作：记作：x=5y=1x=1y=43x+4y=19小试牛刀小试牛刀 请检验下列各组解是否为方程请检验下列各组解是否为方程 2x-3y=12x-3y=1的解的解1(1)20 xy1(2)4xy1(3)1xy 例例 已知方程已知方程3x+2y=10（1 1）当）当x=2时，求所对应的时，求所对应的y 的
4、值；的值；（2 2）取一个你自己喜欢的数作为）取一个你自己喜欢的数作为x的值，求的值，求所对应的所对应的y 的值；的值；（3）用含）用含x的代数式表示的代数式表示 y；（4）当）当x=-2 ，0，5 时，所对应的时，所对应的y 的值是多少？的值是多少？(1)(1)用含用含y y的代数式表示的代数式表示x;x;已知二元一次方程已知二元一次方程2x+3y=22x+3y=2(2)(2)用含用含x x的代数式表示的代数式表示y;y;04321032bayx（1）已知方程是二元一次方程,则a=b=（2 2）如果）如果 X=3y=1是二元一次方程3-32kx+y=7的解的解,则则k=你学会了什么？你学会了
5、什么？(1)(1)二元一次方程二元一次方程 (2)(2)二元一次方程的解二元一次方程的解(3)(3)用一个未知数的代数式用一个未知数的代数式表示另一个未知数表示另一个未知数（不唯一性）（不唯一性）2.2 二元一次方程组二元一次方程组设苹果和梨的质量分别为设苹果和梨的质量分别为x(g)和和y(g)，你能列出几个方，你能列出几个方程？程？x+y=200,y=x+10.由两个由两个一次方程一次方程组成，并且含有组成，并且含有两个未知数两个未知数的方的方程组，叫做程组，叫做二元一次方程组二元一次方程组.二元一次方程组的概念注：二元一次方程组并不要求每个方程都是二元的，注：二元一次方程组并不要求每个方程
6、都是二元的，如如 2-x=22-x=2 2x+y=5 2x+y=5 也是二元一次方程组也是二元一次方程组.x+y=200,y=x+10.你能写出一个二元你能写出一个二元一次方程组吗一次方程组吗?方程的变形方程的变形分析：用关于分析：用关于x x的代数式表示的代数式表示y y，只要把，只要把3x+2y=103x+2y=10的的y y看成看成“未知数未知数”，而把，而把字母字母x x看成看成是是“常数常数”，解关于，解关于y y的方程即可的方程即可.已知方程已知方程3x+2y=103x+2y=10，用，用关于关于x x的代数式的代数式表示表示y y，则则y=_.y=_.5-1.5x判断下列各组是不
7、是二元一次方程组：x+y=3,x+y=3,y+z=4.x+5=2.+y=3,x+y=200,x+y=2.y=x+10.x1试一试试一试二元一次方程组二元一次方程组x+2y=10，y=2x的解是的解是 .（3）(1)x=4,y=3(2)x=3,y=6(3)x=2,y=4(4)x=4,y=2练一练练一练2.把下列各组数的序号填入图中适当的位置把下列各组数的序号填入图中适当的位置.x=1y=0 x=-2y=2121yx2121yx方程方程x+y=0的的解解方程方程2x+3y=2的解的解x+y=02x+3y=2方程组方程组的解的解二元一二元一次方程次方程二元一次二元一次方程组方程组概念概念二元一二元一
8、次方程次方程的解的解二元一次方二元一次方 程组的解程组的解解法解法变形变形概念概念数学方法数学方法:类比思想类比思想2.3 2.3 解二元一次方程组解二元一次方程组100g100g30g如如图所图所示的天平示的天平处于平处于平衡状态衡状态.设设每个的质量每个的质量为为xg,每个每个 的质量为的质量为yg,你你能根据图示能根据图示列出列出求求x,y的方程组吗的方程组吗?;10032,13034yxyx;10032,13034yxyx2x=30你能说说下面等式变形的理由吗你能说说下面等式变形的理由吗?归纳归纳:由此你发现了什么由此你发现了什么?得到了什么得到了什么结论结论?结论结论:对于二元一次方
9、程组对于二元一次方程组,当两个方程的当两个方程的同一个未知数的同一个未知数的系数相同系数相同或是或是互为互为相反数相反数时时,可以通过把两个方程的两可以通过把两个方程的两边边相加或相减相加或相减来消元来消元,转化为一元转化为一元一次方程求解一次方程求解.例：解方程组;162,232)1(tsts变式1;162,232tsts;162,23tsts变式2变式3;132,223tsts加减消元法加减消元法:通过将方程组中的两个方程相加通过将方程组中的两个方程相加或相减或相减,消消去其中的一个未知数去其中的一个未知数,转化为转化为一元一次方程一元一次方程.问题问题:你认为用加减法解二元一次方程你认为
10、用加减法解二元一次方程组的一般步骤是哪些组的一般步骤是哪些?用加减法解二元一次方程组的一般步骤是用加减法解二元一次方程组的一般步骤是:1,将其中一个未知数的将其中一个未知数的系数化成系数化成相同相同(或互为或互为相反数相反数);2,通过通过相减相减(或相加或相加)消去这个未知数消去这个未知数,得到得到一个一个一元一次方程一元一次方程;3,解解这个一元一次方程这个一元一次方程,得到这个未知数的值得到这个未知数的值;4,将求得的未知数的值将求得的未知数的值代入代入原方程组中的原方程组中的任一任一个方程个方程,求求得另一个未知数的值得另一个未知数的值;5,写写出方程组的解出方程组的解.byaxyx,
11、72提高题：提高题：已知方程组已知方程组 和和有相同的解，求有相同的解，求a,b的值的值83,yxabyx小结：小结：谈一谈你的收获！谈一谈你的收获！2.4 2.4 二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用课前复习课前复习家具厂生产一种餐桌，家具厂生产一种餐桌，1m3木材可做木材可做5张桌面张桌面或或30条桌腿。现在有条桌腿。现在有25m3木材，应怎样分配木材，应怎样分配木材，才能使生产出来的桌面和桌腿恰好配套木材，才能使生产出来的桌面和桌腿恰好配套（一张桌面配（一张桌面配4张桌腿）？共可生产多少张餐张桌腿）？共可生产多少张餐桌？桌？解：设用解：设用xm3木材生产桌面，用木材生产桌面，用ym3
12、木材生产桌腿，木材生产桌腿，根据题意得根据题意得 x+y=25 5x4=30y应用二元一次方程组解决实际问题的基应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤本步骤:理解问题理解问题(审题审题,搞清已知和未知搞清已知和未知,分析数量关系分析数量关系)制订计划制订计划(考虑如何考虑如何根据等量关系设元根据等量关系设元,列出方程组列出方程组)。执行计划（列出方程组并求解，得到答案）。执行计划（列出方程组并求解，得到答案）。回顾回顾(检查和反思解题过程检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否符合题意检验答案的正确性以及是否符合题意).例例1:一根金属棒在一根金属棒在0时的长度是时的长度是q米米,温度每
13、升高温度每升高 ，它就伸长，它就伸长p米米,当温度为当温度为t 时，金属棒的时，金属棒的长度长度l可用公式可用公式l=pt+q计算计算已测得当已测得当t100时，时，l=2.002米；米；当当t500 时，时，l=2.01米米（）求（）求p，q的值的值（）若这根金属棒加热后长度伸长到（）若这根金属棒加热后长度伸长到2.016米，问米，问此时金属棒的温度是多少？此时金属棒的温度是多少？求公式中未知系数的这种方法，叫做求公式中未知系数的这种方法，叫做“待定系数法待定系数法”(2)根据计算结果制作扇形统计图表示快餐成分的信息根据计算结果制作扇形统计图表示快餐成分的信息.例例2:通过对一份中学生营养快
14、餐的检测通过对一份中学生营养快餐的检测,得到以下信息得到以下信息:1.快餐总质量为快餐总质量为300克克2.快餐的成分快餐的成分:蛋白质蛋白质,碳水化合物碳水化合物,脂肪脂肪,矿物质矿物质3.蛋白质和脂肪含量占蛋白质和脂肪含量占50%,矿物质含量是脂肪含量的矿物质含量是脂肪含量的2倍倍;蛋白质和碳水化合物含量占蛋白质和碳水化合物含量占85%,根据上述数据回答下面的问题根据上述数据回答下面的问题:(1)分别求出营养快餐中蛋白质分别求出营养快餐中蛋白质,碳水化合物碳水化合物,脂肪脂肪,矿矿物质的质量和所占百分比物质的质量和所占百分比;根据以上计算，可得下面的统计表：根据以上计算，可得下面的统计表：
15、中学生营养快餐成分统计表中学生营养快餐成分统计表蛋白蛋白质质脂脂肪肪矿物矿物质质碳水化碳水化合物合物合计合计各种成分的各种成分的质量（质量（g）各种成分所各种成分所占百分比占百分比（%）135153012030045510401001 1：列二元一次方程组解应用题的关键是：列二元一次方程组解应用题的关键是：2:2:列二元一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题 的一般步骤分为的一般步骤分为找出两个等量关系（要求不同）找出两个等量关系（要求不同）审、设、列、解、检、答审、设、列、解、检、答回顾与反思实际问题分析分析抽象抽象方程（组）求解求解检验检验问题解决1.这节课你学到了哪些知识和方法这节课
16、你学到了哪些知识和方法?2.你还有什么问题或想法需要和大家交流吗你还有什么问题或想法需要和大家交流吗?2.5 2.5 三三元一次方程组及其解元一次方程组及其解法法（选学）（选学）解二元一次方程组有哪几种方法？它解二元一次方程组有哪几种方法？它们的基本思想是什么？们的基本思想是什么？二元一次方程组二元一次方程组代入代入加减加减消元消元一元一次方程一元一次方程复习导入复习导入1 1、了解三元一次方程组的定义；、了解三元一次方程组的定义；2 2、掌握简单的三元一次方程组的、掌握简单的三元一次方程组的解法；解法；3 3、进一步体会消元转化思想、进一步体会消元转化思想目标展示：目标展示：小明手头有小明手
17、头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共元的纸币，共计计2222元，其中元，其中1 1元的纸币的数量是元的纸币的数量是2 2 元纸币数量的元纸币数量的4 4倍。倍。求求1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币各多少张。元纸币各多少张。探究：探究：（1 1）这个问题中包含有）这个问题中包含有 个相等关系：个相等关系：三三1 1元纸币张数元纸币张数2 2元纸币张数元纸币张数5 5元纸币张数元纸币张数1212张张1 1元纸币的张数元纸币的张数2 2元纸币的张数的元纸币的张数的4 4倍倍1 1元的金额元的金额2 2元的金额元的金额5 5元的金额元的金额2222
18、元元（2 2）这个问题中包含有）这个问题中包含有 个未知数个未知数:1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币的张数元纸币的张数自主探究自主探究进入新课进入新课小明手头有小明手头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共元的纸币，共计计2222元，其中元，其中1 1元的纸币的数量是元的纸币的数量是2 2 元纸币数量的元纸币数量的4 4倍。倍。求求1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币各多少张。元纸币各多少张。设设1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币分别为元的纸币分别为x x张、张、y y张、张、z z张张根据题意，可以得到下面三个方程：根据题意，可以
19、得到下面三个方程：x+y+z=12x+y+z=12你能根据等量关你能根据等量关系列出方程吗系列出方程吗 自主探究自主探究x+2y+5z=22x=4y、1元纸币张数元纸币张数2元纸币张数元纸币张数5元纸币张数元纸币张数12张张、1 1元的金额元的金额2 2元的金额元的金额5 5元的金额元的金额2222元元、1元纸币的张数元纸币的张数2元纸币的张数的元纸币的张数的4倍倍x+y+z=12x+y+z=12x+2y+5z=22x+2y+5z=22x=4y观察方程、与二元一次方程（组）比较有什观察方程、与二元一次方程（组）比较有什么相同点？有什么不同点？请回答。么相同点？有什么不同点？请回答。&合作交流合
20、作交流问题：问题：1 1、什么叫三元一次方程？、什么叫三元一次方程？2 2、什么叫三元一次方程组？、什么叫三元一次方程组？2 2、含有、含有三个未知数三个未知数，每个方程中，每个方程中含未知数的项的含未知数的项的次数都是次数都是1 1，并且一共有三个方程，像这样的方程，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做组叫做三元一次方程组三元一次方程组 1 1、都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次、都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是数都是1 1，像这样的，像这样的整式整式方程叫做方程叫做三元一次方程三元一次方程三元一次方程组三元一次方程组 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程组二元一次方
21、程组1.1.化化“三元三元”为为“二元二元”总总结结消元消元消元消元三元一次方程组求法步骤：三元一次方程组求法步骤：2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”怎样解三元一次方程组？怎样解三元一次方程组？（也就是消去一个未知数）（也就是消去一个未知数）例例1 1 解方程组解方程组x-z=4.1.化化“三元三元”为为“二元二元”考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”。x-y+z=0 x+y+z=2 交流探究交流探究注：注：如果三个方程中有一个方程是二元一次如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例
22、方程（如例1 1中的），则可以先通过对另中的），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例元中这个二元一次方程（如例1 1中的）中中的）中缺少的那个元。缺少的那个元。缺某元，消某元。缺某元，消某元。x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.在三元化二元时，对于具体方法的选取应在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择该注意选择最恰当最恰当、最简便最简便的方法的方法。x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.228zyx3x4z=7 2x3yz=9 5x9y7z=8 2315zyx随堂练习随堂练习消消元元消
23、消元元解三元一次方程组解三元一次方程组 当堂训练，达标测评当堂训练，达标测评6123243zyxzyxzyx1 1、2 2、453xzzyyx解：解：1226312354 可可 得得再再 与与 消消 元元 可可 得得由由.-,zxzzxyxyyzzx 2231.xyz 293247xyyxzx 7813xyyzzx 说说你的说说你的 收获收获(1)(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法法 ，加减法比较常用，加减法比较常用.(2)(2)解三元一次方程组的基本思想是解三元一次方程组的基本思想是消元消元,关关键也是消元。我们一定要根据方程组的特点键也是消元。我们一定要根据方程组的特点,选选准消元对象准消元对象,定好消元方案定好消元方案.(3)(3)解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.课堂小结课堂小结
