1、 1 / 23 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 不等式的有关概念和性质 知识网络知识网络 重难突破重难突破 知识点一知识点一 不等式的有关概念和性质不等式的有关概念和性质 不等式的定义：不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a3 这样用符号“”表示不等关系 的式子也是不等式。 【注意】【注意】 1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“, , , , ”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小； “”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于） ，后者表示“
2、不大于”(小于或等于） ；“”表示左 右两边不相等。 3.在不等式 ab 或 ab，则 a+cb+c，a-cb-c。 基本性质基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即 若 ab,c0，则 acbc（或） 基本性质基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即 若 ab,cc，则 ac。 基本性质基本性质 6：如果ab，cd，那么acbd . 【注意】【注意】 1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或 除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。 2、不等号
3、方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 不等式性质与等式性质的相同和不同点不等式性质与等式性质的相同和不同点： 相同点相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点不同点： 1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数） ，结果依然成立 2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向 发生改变； 解不等式的概念：解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【典型例题】【典型例题】 考查题型一考查题型一 不等式的定义不等式的定义 典例典例 1（2019 临川市期中）在下列式子中20 ；a=3；x+2x+1；2a+3；x
4、2；4x+50， 是不等式的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 变式变式 1-1（2019 重庆市期中）下面4个式子中，其中( )是不等式. 3 / 23 A3x B1x C30 D47x 变式变式 1-2（2020 毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：x11；20；x3；x2；x 1 2 y 0；x2y0，其中不等式有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 变式变式 1-3 （2018 成都市期末） 根据天气预报， 2018 年 6 月 20 日双流区最高气温是30 C ， 最低气温是23 C ， 则双流区气温tC 的变化范围是( ) A30t B23t C2330t
5、 D2330t 典例典例 2（2020 杭州市期末）用不等式表示：“a的 1 2 与b的和为正数”，正确的是（ ） A 1 0 2 ab B 1 0 2 ab C 1 0 2 ab D 1 0 2 ab 变式变式 2-1（2019 丹江口市期中）a与-x2的和的一半是非负数，用不等式表示为（ ） A 2 1 0 2 ax B 2 1 0 2 x C 2 1 0 2 ax D 2 1 0 2 ax 变式变式 2-2（2019 南阳市期中）a的一半与b的差是负数，用不等式表示为( ) A 1 0 2 ab B 1 0 2 ab C 1 0 2 ab D 1 0 2 ab 考查题型二考查题型二 不等
6、式的解集不等式的解集 典例典例 3（2018 成都市期末）已知21x，则下列结论正确的是( ) A 1 2 x B 1 2 x C 1 2 x D 2 1 x 变式变式 3-1（2019 深圳市期末）下列各数中，能使不等式 1 20 2 x成立的是（ ） A6 B5 C4 D2 变式变式 3-2（2019 泉州市期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，由这两个不等式组成的不等式组的 解集为（ ） A1x B1x C31x D3x 4 / 23 变式变式 3-3 （2019 北京市期末） 如图,天平左盘中物体 A 的质量为mg，,天平右盘中每个砝码的质量都是 1g,则m 的取值范围在数轴上可
7、表示为（ ） A B C D 变式变式 3-4（2019 晋中市期末）下列实数中，能够满足不等式30x 的正整数是（ ） A-2 B3 C4 D2 变式变式 3-5（2019 大庆市期末）若不等式（a+1）xa+1 的解集是 x1，则 a 必满足（ ） Aa1 Ba1 Ca0 Da1 变式变式 3-6（2019 沙洋县期末）已知 ab，则下列不等式一定成立的是( ) Aa5b5 B2a2b C 3 2 a 3 2 b D7a7b0 考查题型三考查题型三 不等式的性质不等式的性质 典例典例 4（2019 诸城市期中）若,ab则下列不等式变形错误的是（ ） A 33ab B 55 ab C2121
8、ab D5 35 3ab 变式变式 4-1（2019 哈尔滨市期末）已知 ab，则下列不等式中不成立的是（ ） Aa+4b+4 B2a2b C5a5b D ab -1-1 33 变式变式 4-2（2018 运城市期中）设 a、b、c 表示三种不同物体的质量，用天枰称两次，情况如图所示，则这三 种物体的质量从小到大排序正确的是（ ） Acba Bbca Ccab Dbac 变式变式 4-3（2019 聊城市期中）下列不等式的变形正确的是（ ） A若 ,ambm 则ab B若 22 ambm，则a b 5 / 23 C若 ,ab 则 22 ambm D若ab且0,ab 则 11 ab 变式变式 4
9、-4（2019 佳木斯市期末）下列命题正确的是（ ） A若 ab，bc，则 ac B若 ab，则 acbc C若 ab，则 ac2bc2 D若 ac2bc2，则 ab 变式变式 4-5（2020 单县期中）已知 ab，下列关系式中一定正确的是( ) Aa2b2 B2a2b Ca+2b+2 Dab 变式变式 4-6（2018 成都市期中）下列不等式变形正确的是（ ） A由ab，得22ab B由ab，得22ab C由ab，得a b D由ab，得 22 ab 变式变式 4-7（2020 诸城市期中）数 a，b，c，d 所对应的点 A、B、C、D 在数轴上的位置如图所示，那么ac 与bd的大小关系是（
10、 ） Aacbd Bacbd Cacbd D不能确定 变式变式 4-8（2019 郑州市期中）下列不等式的变形：由 ab,得 acbc;由 ab,得 ac2bc2; 由acbc，得 ab；由ab，得 22 11a cb c；由 22 acbc，得a b；由 ab cc ，得 acbc.其中正确的 有（ ） A B C D 巩固训练巩固训练 一、一、 选择题（共选择题（共 10 小题）小题） 6 / 23 1 （2019 宿州市期中）下列说法中，错误的是( ) A不等式 x5 的整数解有无数多个 B不等式 x5 的负整数解集有有限个 C不等式2x8 的解集是 x4 D40 是不等式 2x8 的一
11、个解 2 （2018 长春市期中）式子：20；4xy1；x30；y7；m2.53.其中不等式有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （2019 江油市期末）以下说法中正确的是（ ） A若 a|b|，则 a2b2 B若 ab，则 1 a 1 b C若 ab，则 ac2bc2 D若 ab，cd，则 acbd 4 （2020 邯郸市期中）若mn，下列不等式不一定成立的是（ ） A33mn B33mn C 33 mn D 22 mn 5 （2019 资阳市期中）如果(a+1)xa+1 的解集是 x1，那么 a 的取值范围是( ) Aa0 Ba1 Ca1 Da 是任意有理数 6 （2019
12、 赤峰市期中）若01m，m、 2 m、 1 m 的大小关系是（ ） A 2 1 mm m B 2 1 mm m C 2 1 mm m D 2 1 mm m 7 （2019 宁波市期末）若x y ，且(3)(3)axay，则a的值可能是（ ） A0 B3 C4 D5 8 （2020 宁波市期末）实数 a、b、c 满足 ab 且 acbc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A B C D 9 （2019 石家庄市期末）下面列出的不等式中，正确的是（ ） A“m 不是正数”表示为 m0 B“m 不大于 3”表示为 m3 C“n 与 4 的差是负数”表示为 n40 D“n 不等于 6”表示为 n
13、6 10 （2019 太原市期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ） 7 / 23 Ax-2 Bx-2 Cx-2 Dx-2 二、二、 填空题（共填空题（共 5 小题）小题） 11 （2020 达州市期末）用一组a，b，c的值说明命题“若ab，则acbc”是错误的，这组值可以是 a_，b_，c_ 12 （2018 开封市期末）若不等式（a-2）x1，两边除以 a-2 后变成 x 1 a2 ，则 a 的取值范围是_ 13 （2019 淮南市期末）若 26 mn ，则3m_n.（填“、或”号） 14 （2018 杭州市期末）“5 与 m 的 2 倍的和是负数”可以用不等式表示为_ 15 （2
14、018 青岛市期末） 不等号填空： 若 ab0， 则 5 a _ 5 b ；1 a _ 1 b ； 2a1_ 2b 1 三、三、 解答题（共解答题（共 2 小题）小题） 16 （2019 济南市期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变不等 式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题 （1）完成下列填空： 已知 用“”或“”填空 53 21 5+2 3+1 35 12 31 52 14 21 12 4+1 （2）一般地，如果 ab cd 那么 a+c b+d（用“”或“”填空） 请你说明上述性质的正确性 17 （2019 杭州市期中）(1)若 xy，比较3x5
15、与3y5 的大小，并说明理由 (2)若 xy，且(a3)x(a3)y，求 a 的取值范围 8 / 23 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 不等式的有关概念和性质 知识网络知识网络 重难突破重难突破 知识点一知识点一 不等式的有关概念和性质不等式的有关概念和性质 不等式的定义：不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a3 这样用符号“”表示不等关系 的式子也是不等式。 【注意】【注意】 1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“, , , , ”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示
16、左右两边的大小； “”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于） ，后者表示“不大于”(小于或等于） ；“”表示左 右两边不相等。 3.在不等式 ab 或 ab，则 a+cb+c，a-cb-c。 基本性质基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即 若 ab,c0，则 acbc（或） 基本性质基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即 若 ab,cc，则 ac。 基本性质基本性质 6：如果ab，cd，那么acbd . 【注意】【注意】 1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性
17、质 3 的区别，当不等式两边乘（或 除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。 2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 不等式性质与等式性质的相同和不同点：不等式性质与等式性质的相同和不同点： 相同点相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点不同点： 3、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数） ，结果依然成立 4、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向 发生改变； 解不解不等式的概念：等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【典型例题】【典型例题】 考查题型一考查题型一 不等式的定义不等式的定义
18、典例典例 1（2019 临川市期中）在下列式子中20 ；a=3；x+2x+1；2a+3；x2；4x+50， 是不等式的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 10 / 23 【详解】 解：-2x+1 是不等式； 2a+3 不是不等式； x-2 是不等式； 4x+50 是不等式； 所以不等式有，共 4 个. 故选 C. 变式变式 1-1（2019 重庆市期中）下面4个式子中，其中( )是不等式. A3x B1x C30 D47x 【答案】C 【详解】 A 中含有等号，是等式； B、D 不含不等符号，不是不等式； C 中含有“”，是不等式 故选：C 变式变式 1-2（2020
19、 毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：x11；20；x3；x2；x 1 2 y 0；x2y0，其中不等式有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 【详解】 因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：，所以属于不等式的是： 故选 C 变式变式 1-3 （2018 成都市期末） 根据天气预报， 2018 年 6 月 20 日双流区最高气温是30 C ， 最低气温是23 C ， 则双流区气温tC 的变化范围是( ) A30t B23t C2330t D2330t 11 / 23 【答案】D 【详解】 解：由于最高气温是 30，最低气温是 23， 23t30， 故选：D
20、 典例典例 2（2020 杭州市期末）用不等式表示：“a的 1 2 与b的和为正数”，正确的是（ ） A 1 0 2 ab B 1 0 2 ab C 1 0 2 ab D 1 0 2 ab 【答案】A 【详解】 由题意得 1 0 2 ab. 故选 A. 变式变式 2-1（2019 丹江口市期中）a与-x2的和的一半是非负数，用不等式表示为（ ） A 2 1 0 2 ax B 2 1 0 2 x C 2 1 0 2 ax D 2 1 0 2 ax 【答案】D 【详解】 a 与-x2的和的一半是非负数，先求和再求和的一半，故用不等式表示为： 2 1 0 2 ax. 故本题答案为：D. 变式变式 2
21、-2（2019 南阳市期中）a的一半与b的差是负数，用不等式表示为( ) A 1 0 2 ab B 1 0 2 ab C 1 0 2 ab D 1 0 2 ab 【答案】D 【详解】 解：根据题意得 1 0 2 ab 故选 D 考查题型二考查题型二 不等式的解集不等式的解集 典例典例 3（2018 成都市期末）已知21x，则下列结论正确的是( ) 12 / 23 A 1 2 x B 1 2 x C 1 2 x D 2 1 x 【答案】D 【详解】 解：不等式两边都除以 2， 得： 2 1 x ， 故选：D 变式变式 3-1（2019 深圳市期末）下列各数中，能使不等式 1 20 2 x成立的是
22、（ ） A6 B5 C4 D2 【答案】D 【详解】 解：当6x时， 1 2 2 x=10， 当 x=5 时， 1 2 2 x=0.50， 当 x=4 时， 1 2 2 x=0， 当 x=2 时， 1 2 2 x=-10， 由此可知，2x可以使不等式 1 20 2 x成立 故选 D 变式变式 3-2（2019 泉州市期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，由这两个不等式组成的不等式组的 解集为（ ） A1x B1x C31x D3x 【答案】A 【详解】 解：由两个不等式的解集在数轴上的表示可知，这两个不等式是：x1 与 x3，其公共部分是 x1， 13 / 23 即不等式组 1 3 x
23、x 的解集是 x1.故选 A. 变式变式 3-3 （2019 北京市期末） 如图,天平左盘中物体 A 的质量为mg，,天平右盘中每个砝码的质量都是 1g,则m 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A B C D 【答案】D 【详解】 解：根据题意得： 1 2 m m ， 解得：1m2， 故选：D 变式变式 3-4（2019 晋中市期末）下列实数中，能够满足不等式30x 的正整数是（ ） A-2 B3 C4 D2 【答案】D 【详解】 A 选项，-2 不是正整数，不符合题意； B 选项，3 30 ，不符合题意； C 选项，4 3 0 ，不符合题意； D 选项，2 3 0 ，符合题意； 故选：D.
24、变式变式 3-5（2019 大庆市期末）若不等式（a+1）xa+1 的解集是 x1，则 a 必满足（ ） Aa1 Ba1 Ca0 Da1 【答案】A 【详解】 14 / 23 不等式(a+1)xa+1 的解集是 xb 的两边同时除以 5，不等式仍成立，即 55 ab .故本选项变形正确； C、在不等式 ab 的两边同时乘以 2 再加 1，不等式仍成立，即2121ab .故本选项变形正确； D、在不等式 ab 的两边同时乘以3 再加 5，不等号方向改变，即 53abc;由 ab,得 ac2bc2; 由acbc，得 ab；由ab，得 22 11a cb c；由 22 acbc，得a b；由 ab
25、cc ，得 acbc.其中正确的 有（ ） A B C D 【答案】A 【详解】 解：当 c0 时，由 ab，不能得出 acbc，此结论错误； 当 c=0 时，由 ab 不能得出 ac2bc2，此结论错误； 当 c0 时，由 acbc，不能得出 ab，此结论错误； 由 ab，得 a（c2+1）b（c2+1） ，此结论正确； 由 ac2bc2得 ab，此结论正确； 由 a c b c ，得 acbc，此结论正确； 故选：A 巩固训练巩固训练 四、四、 选择题（共选择题（共 10 小题）小题） 18 / 23 1 （2019 宿州市期中）下列说法中，错误的是( ) A不等式 x5 的整数解有无数多
26、个 B不等式 x5 的负整数解集有有限个 C不等式2x8 的解集是 x4 D40 是不等式 2x8 的一个解 【答案】C 【详解】 A. 由 x5，可知该不等式的整数解有 4，3，2，1，-1，-2，-3，-4 等，有无数个，所以 A 选项正确，不符 合题意； B. 不等式 x5 的负整数解集有4，3，2，1.故正确,不符合题意； C. 不等式2x4,故错误. D. 不等式 2x0， 不等式 ab 两边同时队以 ab，不等号方向不变，即 ab abab ， 1 a 1 b ； ； 再根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变和不等式两边加（或减）同一个数（或式 子） ，不等号的方向
27、不变可得：2a12b1, 故答案为 ， . 23 / 23 六、六、 解答题（共解答题（共 2 小题）小题） 16 （2019 济南市期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变不等 式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题 （1）完成下列填空： 已知 用“”或“”填空 53 21 5+2 3+1 35 12 31 52 14 21 12 4+1 （2）一般地，如果 ab cd 那么 a+c b+d（用“”或“”填空） 请你说明上述性质的正确性 【答案】 （1），； （2）结论：a+cb+d理由见解析 【详解】 （1）5+23+1，3152，124+1 故答案为，； （2）结论：a+cb+d 理由：因为 ab，所以 a+cb+c，因为 cd，所以 b+cb+d，所以 a+cb+d 故答案为 17 （2019 杭州市期中）(1)若 xy，比较3x5 与3y5 的大小，并说明理由 (2)若 xy，且(a3)x(a3)y，求 a 的取值范围 【答案】 （1）3x+53y+5； （2）ay，3x3y，3x+53y+5； (2)x(a3)y， a30，a3
