1、 1 / 26 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 解一元一次不等式组 知识网络知识网络 重难突破重难突破 知识点一知识点一 解一元一次不等式组解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的 解集。 不等式组解集的确定方法：不等式组解集的确定方法： 2 / 26 【注意】【注意】 1.在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集。 2.利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤：解一元一次不等式组的一
2、般步骤： 1.求出不等式组中各不等式的解集 2.将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】【考查题型汇总】 考查题型一考查题型一 求不等式组的解集求不等式组的解集 典例典例1 （2019 洛阳市期中） 已知关于x的不等式3xm+10的最小整数解为2， 则实数m的取值范围是 （ ） A4m7 B4m7 C4m7 D4m7 【答案】A 【详解】 解:解不等式 3xm+10，得：x 1 3 m ， 不等式有最小整数解 2， 1 1 3 m 2， 解得：4m7， 故选 A 变式变式 1-1（2020 和平县期中）不等式
3、组 20 240 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3 / 26 A B C D 【答案】C 【解析】 解不等式 x+20，得：x-2， 解不等式 2x-40，得：x2， 则不等式组的解集为-2x2， 将解集表示在数轴上如下： 故选 C 变式变式 1-2（2020 沈阳市期中）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ） A 2 3 x x B 2 3 x x C 2 3 x x D 2 3 x x 【答案】D 【详解】 由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 2 3 x x ， 故选 D 变式变式 1-3（2019 南通市期中）已知点 P（1a，2a+6）在第四象限，则 a
4、 的取值范围是（ ） Aa3 B3a1 Ca3 Da1 【答案】A 【详解】 解：点 P（1a，2a+6）在第四象限， 10 260 a a 4 / 26 解得 a3 故选 A 变式变式 1-4 （2019 长沙市期中） 已知三个非负数 a、b、c满足325,231,abcabc若37mabc ， 则m的最小值为（ ） A 1 11 B 5 7 C 7 8 D1 【答案】B 【详解】 解：联立 325 231 abc abc ，得 37 7 11 , ac bc . 由题意知：a，b，c 均是非负数， 则 370 7 110 ac bc ， 解得 37 711 c， m=3a+b7c=3(3+
5、7c)+(711c)7c=2+3c， 当 3 7 c 时,m有最小值,即 35 23 77 m ； 当 7 11 c 时,m有最大值,即 71 23. 1111 m 故选 B. 考查题型二考查题型二 解特殊不等式组解特殊不等式组 典例典例 2（2019 遂宁市期末）已知 0ab1且 1a+b4，则 a 的取值范围是( ) A1a2 B2a3 C 1 2 a 5 2 D 3 2 a 5 2 【答案】C 【详解】 解：0ab1， 1ab4， ，得 12a5， 解得： 1 2 a 5 2 . 故选 C. 5 / 26 变式变式 2-1（2018 许昌市期末）若关于 x的不等式组式 0 20 xa x
6、b 的整数解为 x=1 和 x=2，则满足这个不等 式组的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有（ ）对 A0 B1 C3 D2 【答案】D 【详解】 0 20 xa xb 由得：xa 由得： 2 b x 不等式组的解集为： 2 b ax 整数解为为 x=1 和 x=2 01a，23 2 b 解得：01a，46b a=1，b=6,5 整数 a、b组成的有序数对（a,b）共有 2 个 故选 D 变式变式 2-2（2019 北京市期中）三角形的三个内角分别为 x,y,z，且x yz ，3zx，则 y的取值范围是 _ 【答案】36y 540 7 【解析】 三角形的三个内角分别为 x，y，z， x
7、+y+z=180 ， x yz ，3zx， 3xyx， y最小=x，y最大=3x， 当 y最小=x时，有 x+x+3x=180，解得：x=36，此时 y 最小=36 ； 6 / 26 当 y最大=3x时，有 x+3x+3x=180，解得：x=180 7 ，此时 y最大= 540 7 ； y的取值范围是： 540 36 7 y. 故答案为： 540 36 7 y. 考查题型三考查题型三 求一元一次不等式组的整数解求一元一次不等式组的整数解 典例典例 3（2018 泉州市期中）若关于 x 的不等式 0 721 xm x 的整数解共有 4 个，则 m的取值范围是（ ） A6m7 B6m7 C6m7
8、D6m7 【答案】D 【详解】 解： 0(1) 721(2) xm x 由（1）得，xm， 由（2）得，x3， 故原不等式组的解集为：3xm， 不等式的正整数解有 4个， 其整数解应为：3、4、5、6， m 的取值范围是 6m7 故选：D 变式变式 3-1（2019 泉州市期中）不等式组 22 314 xx x 的最小整数解是（ ） A-1 B0 C1 D2 【答案】B 【详解】 22 314 xx x ， 解不等式得，x2， 解不等式得，x-1， 7 / 26 所以不等式组的解集是：-13， 不等式组无解， m3， 故选：D 变式变式 4-1（2020 洛阳市期中）关于 x 的不等式组 31
9、4(1) xx xm 的解集为 x3，那么 m 的取值范围为（ ） Am=3 Bm3 Cm3 Dm3 【答案】D 【详解】 解不等式组得： 3 x xm ， 不等式组的解集为 x3 m的范围为 m3， 故选 D 变式变式 4-2（2019 安陆市期末）若不等式组 1 1 32 4 xx xm 无解，则m的取值范围为（ ） A2m B2m C2m D2m 【答案】A 【详解】 解不等式 1 1 32 xx ，得：x8， 不等式组无解， 4m8， 解得 m2， 故选 A 变式变式 4-3（2019 石家庄市期末）不等式组 551 1 xx xm 的解集是 x1，则 m的取值范围是（ ） 9 / 2
10、6 Am1 Bm1 Cm0 Dm0 【答案】D 【详解】 解：不等式整理得： 1 1 x xm ，由不等式组的解集为 x1，得到 m+11，解得：m0. 故选 D. 考查题型五考查题型五 不等式组与方程组相结合的问题不等式组与方程组相结合的问题 典例典例 5（2019 南阳市期末）在关于 x、y的方程组 27 28 xym xym 中，未知数满足 x0，y0，那么 m 的 取值范围在数轴上应表示为( ) A B C D 【答案】C 【解析】 27 28 xym xym ，解方程组得： 2 3 xm ym ， x0，y0， 20 30 m m ， 2m3. 故选 C. 变式变式 5-1（2019
11、 洛阳市期中）已知方程组 21 3 21 xym xym 的解满足x+y-1 Bm 1 Cm 7 m 1 3 变式变式 5-4（2018 合肥市期中）若关于x y、 的二元一次方程组 31 31 xya xy 的解满足 505xy ,则a 的 取值范围是( ) A2018a B2018a C505a D505a 11 / 26 【答案】B 【详解】 两式相加得4( )2xya ， 2 4 a xy ， x+y0, 故 m3 3x4 x40x4 变式变式 6-1（2019 青岛市期末）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值 13 / 26 范围，在数轴上可表示为（
12、 ） A B C D 【答案】A 【解析】 由图可知，1gm2g， 在数轴上表示为： 。 故选 A. 变式变式 6-2（2019 成都市期中）若干个苹果分给 x个小孩，如果每人分 3 个，那么余 7个；如果每人分 5 个， 那么最后一人分到的苹果不足 5 个，则 x满足的不等式组为（ ） A0（3x+7）5（x1）5 B0（3x+7）5（x1）5 C0（3x+7）5（x1）5 D0（3x+7）5（x1）5 【答案】C 【详解】 若干个苹果分给 x个小孩， 0(3x+7)5(x1)5. 故答案选 C. 变式变式 6-3（2018 深圳市期末）如果点 P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限
13、内，那么 x的取值范围在数 轴上可表示为( ) A B C D 14 / 26 【答案】C 【详解】 解：点 P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内， 40 30 x x ， 解得：-3x4， 在数轴上表示为：， 故选 C 变式变式 6-4（2020 深圳市期末）如图，按下面的程序进行运算.规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一 次运算.若运算进行了 次停止，则 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【详解】 依题意，得： ，解得： 故选：A 考查题型考查题型七七 用不等式组解决实际问题用不等式组解决实际问题 典例典例 7（2019 石家庄市期末）“绿水青山就是金山银山”
14、，为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所属区 域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表： 村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元 15 / 26 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元； （2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要 使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？ 【答案】 （1）清理养鱼网箱的人均费用为 2000 元，清理捕鱼
15、网箱的人均费用为 3000 元； （2）分配清理人 员方案有两种：方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱；方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清 理捕鱼网箱 【分析】 （1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 y元，根据 A、B两村庄总支出列出 关于 x、y的方程组，解之可得； （2）设 m人清理养鱼网箱，则（40m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过 102000元，且清理养鱼网 箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得 【详解】 （1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 y元， 根据题意，得： 15957000 101
16、668000 xy xy ， 解得： 2000 3000 x y ， 答：清理养鱼网箱的人均费用为 2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元； （2）设 m人清理养鱼网箱，则（40m）人清理捕鱼网箱， 根据题意，得： 20003000 40102000 40 mm mm ， 解得：18m20， m为整数， m=18或 m=19， 则分配清理人员方案有两种： 方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱； 16 / 26 方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱 变式变式 7-1（2020 渠县期末）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过
17、 市场考察得知，购买 1 台电脑和 2 台电子白板需要 3.5 万元，购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5 万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共 30 台，总费用不超过 30 万元，但不低于 28 万元，请你通 过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 【答案】 （1）每台电脑 0.5 万元，每台电子白板 1.5 万元（2）见解析 【解析】 解： （1）设每台电脑 x 万元，每台电子白板 y 万元，根据题意得： x2y3.5 2x y2.5 ，解得： x0.5 y 1.5 。 答：每台电脑 0.5 万元，每台电子白板 1.
18、5 万元。 （2）设需购进电脑 a 台，则购进电子白板（30a）台， 则 0.5a1.5(30a)28 0.5a 1.5(30a)30 ，解得：15a17，即 a=15，16，17。 故共有三种方案： 方案一：购进电脑 15 台，电子白板 15 台.总费用为0.5 15 1.5 1530万元； 方案二：购进电脑 16 台，电子白板 14 台.总费用为0.5 16 1.5 1429万元； 方案三：购进电脑 17 台，电子白板 13 台总费用为0.5 17 1.5 1328万元。 方案三费用最低。 （1）设电脑、电子白板的价格分别为 x,y 元，根据等量关系：“1 台电脑+2 台电子白板=3.5
19、万元”，“2 台电 脑+1 台电子白板=2.5 万元”，列方程组求解即可。 （2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解。设购进电脑 x 台，电子白板有(30 x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过 30 万元，但不低于 28 万元”列不等式组解答。 变式变式 7-2（2019 长沙市期中）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾 分类的温馨提示牌和垃圾箱， 若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550元， 且垃圾箱的单价是温馨提示 牌单价的 3 倍 （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放 48 个垃
20、圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000元， 17 / 26 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】 （1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元； （2）答案见解析 【分析】 （1）根据“购买 2个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550元”，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过 10000 元和至少需要安放 48 个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论 【详解】 （1）设温情提示牌的单价为 x元，则垃圾箱的单价为 3x元， 根据题意得，2x+3 3x=550， x=50， 经检验，符合题意， 3x=
21、150 元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元； （2）设购买温情提示牌 y个（y 为正整数） ，则垃圾箱为（100y）个， 根据题意得，意， 10048 50150 10010000. y yy 5052y， y为正整数， y为 50，51，52，共 3中方案； 有三种方案：温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50个， 温馨提示牌 51个，垃圾箱 49 个， 温馨提示牌 52个，垃圾箱 48 个， 设总费用为 w元 W=50y+150（100y）=100y+15000， k=-1000，w随 y的增大而减小 当 y=52 时，所需资金最少，最少是 9800元 变式变式 7-
22、3（2019 佛山市期中）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣已知购买 甲型机器人 1台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元 （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000件，该公司计划购买这两种型号的 18 / 26 机器人共 8 台，总费用不超过 41万元，并且使这 8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300件，则该 公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【答案】 （1）甲、乙两种型号的机器人
23、每台价格分别是 6 万元、4 万元（2）该公司购买甲型机器人 2台， 乙型机器人 6台这个方案费用最低，最低费用是 36万元 【分析】 （1）利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值 【详解】 解： （1）设甲型机器人每台价格是 x 万元，乙型机器人每台价格是 y万元，根据题意得 214 2324 xy xy 解这个方程组得： 6 4 x y 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6万元、4 万元； （2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8-a）台，根据题意得 64 841 12001000 88300 aa aa 解这个不等式组得 3
24、 2 a 9 2 a为正整数 a的取值为 2，3，4， 该公司有 3种购买方案，分别是 购买甲型机器人 2台，乙型机器人 6 台 购买甲型机器人 3台，乙型机器人 5 台 购买甲型机器人 4台，乙型机器人 4 台 设该公司的购买费用为 w万元，则 w=6a+4（8-a）=2a+32 k=20 w随 a 的增大而增大 19 / 26 当 a=2时，w最小，w最小=2 2+32=36（万元） 该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台这个方案费用最低，最低费用是 36 万元 巩固训练巩固训练 一、一、 选择题（共选择题（共 1010 小题）小题） 1 （2019 盐城市期末）关于 x的不等式
25、组 1 xa x 的解集为 x1，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 【答案】C 【详解】不等式组的解集为 x1，根据大大取大可得：a1，故选 C 点睛：本题主要考查的是求不等式组的解集，属于基础题型理解不等式组的解集与不等式的解之间的关 系是解决这个问题的关键 2 （2020 德州市期中）已知点 M（12m，m1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围在数轴 上表示正确的是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 由题意得，点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为： （12m，1m） ， 又M（12m，m1）关于 x 轴的对称点在第一象限， ， 20 /
26、26 解得：， 在数轴上表示为： 故选 A 3 （2019 泰安市期末）若关于 x 的一元一次不等式组 60 0 x xa 无解，则 a的取值范围是（ ） Aa6 Ba6 Ca6 Da6 【答案】A 【详解】 解：由 x60 知 x6， 由 xa0 知 xa， 不等式组无解， a6， 故选：A 4 （2019 邯郸市期末）不等式组 15 13 x x 的整数解的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【详解】 不等式组 x-15 x+13 解得：2x6， 则不等式组的整数解为 3，4，5，共 3个， 故选 C 5 （2018 天水市期末）如果关于 x 的一元一次不等式
27、组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组 的解集为（ ） Ax1 Bx2 C1x2 D1x2 21 / 26 【答案】D 【解析】 由数轴可知，该不等式组的解集为1x2 ，故选 D. 6 （2018 静宁县期末）若不等式组 3xa 的整数解恰有 4 个，则 a的取值范围是（ ） Aa7 B7a8 C7a8 D7a8 【答案】C 【详解】 解：不等式组 3xa 的整数解恰有 4 个，则整数解是： 4，5，6，7 故 7a8 故选：C 7 （2018 长沙市期末）不等式组 12 1 x x 的解集是( ) A1x3 Bx3 Cx1 Dx1 【答案】B 【详解】 解不等式得：x3， 解不等式得
28、：x1，在数轴上表示两个不等式的解集得： ， 原不等式组的解集为 x3 故选 B 8 （2018 大连市期末）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 【答案】D 【详解】 22 / 26 解： 解不等式得：x-1， 解不等式得：x1， 所以不等组的解集为：-1x1， 在数轴上表示为： ， 故选 D. 9 （2017 无锡市期中）晓明家到学校的路程是 3 500 米，晓明每天早上 730 离家步行去上学，在 810 （含 810）至 820（含 820）之间到达学校。如果设晓明步行的速度为 x 米/分，则晓明步行的速度范 围是（ ） A70x87.5 Bx70 或 x87.
29、5 Cx70 D. x87.5 【答案】A 【解析】依题意得：晓明到学校所用的时间为 40 分到 50 分之间，路程为 3500 米，设晓明步行的速度为 x 米/分， 35003500 5040 x ，解得：70x87.5； 故选 A。 10 （2018 池州市期中）某学校组织员工去公园划船，报名人数不足 50人，在安排乘船时发现，每只船坐 6 人，剩下 18 人无船可乘；每只船坐 10人，那么其余的船坐满后，有一只船不空也不满，参加划船的员工 共有（ ） A48人 B45人 C44人 D42人 【答案】A 【分析】 假设共安排 x艘船根据报名人数不足 50人，在安排乘船时发现，每只船坐 6
30、人，就剩下 18人无船可乘， 则可知划船报名人数是 6x18且 6x1850； 若每只船坐 10 人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，则 10（x1）16x1810x，解得 x 代 入 6x18 即是划船的员工数 【详解】 23 / 26 设共安排 x 艘船 根据题意得 6x1850 10（x1）16x1810x 由得 x16 3 由得 9 2 x 27 4 由得 x5 划船人数为 48 故选：A 二、二、 填空题（共填空题（共 5 5 小题）小题） 11 （2018 长沙市期末）已知不等式组 12 1 xa xb 的解集是 2x3，则 a+b的值是_ 【答案】3 【分析】 根据不等式组
31、的解集即可得出关于 a、b而愿意方程组，解方程组即可得出 a、b 值，将其代入计算可得 【详解】 解不等式 x+12a，得：x2a-1， 解不等式 x-b1，得：xb+1， 所以不等式组的解集为 b+1x2a-1， 不等式组的解集为 2x3， b+1=2、2a-1=3， 解得：a=2、b=1， a+b=3， 故答案为 3 12 （2019 北京市期中）在平面直角坐标系中，点(-7+m,2m+1) 在第三象限，则 m 的取值范围是_. 【答案】-0.5m7. 【详解】 解：点在第三象限， 点的横坐标是负数，纵坐标也是负数， 24 / 26 即 70 21 0 m m ， 解得-0.5m2, 由得：x6, 所以不等式组的解集为 2x6; 故答案是 2x5 （） 解得 5y7， 因为 y 是整数， 所以 y=6 或 y=7 则乙种笔记本购买 14 本或 13 本， 所以，方案有 2 种： 方案一：购买甲种笔记本 6 本，乙种笔记本 14 本，丙种笔记本 20 本； 方案二：购买甲种笔记本 7 本，乙种笔记本 13 本，丙种笔记本 20 本
