1、 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 平方根、立方根和开立方 知识网络知识网络 重难突破重难突破 知识点一知识点一 平方根平方根 算术平方根概念：算术平方根概念：一般的如果一个正数 x 的平方等于 a，即 算术平方根的表示方法：算术平方根的表示方法：非负数 a 的算术平方根记作 平方根概念：平方根概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫做 的平方根或二次方根，即，那么 x 叫做 a 的平方根。 平方根的性质与表示：平方根的性质与表示： 表示：表示：正数 a 的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做
2、 a 的负平方根。 性质：性质：一个正数有两个平方根： （根指数 2 省略）且他们互为相反数且他们互为相反数。 0 有一个平方根，为 0，记作 负数没有平方根负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系：平方根与算术平方根的区别与联系： 【典型例题】【典型例题】 1 （2019 迁安市期末）25 的算术平方根是( ) A5 B5 C5 D25 2 （2018 大石桥市石佛中学初一期末）9的值是( ) A 3 B3 C9 D81 3 （2020 灯塔市期末）估计 6+1的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到 6 之间 4 （2020 沈阳市第七中学初
3、二期末）9 的平方根是（ ） A 3 B3 C 4.5 D4.5 5 （2020 东营市期末）16 的平方根是（ ） A 4 B 2 C4 D4 6 （2020 沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（ ） A （3）2的平方根是 3 B16 4 C1 的平方根是 1 D4 的算术平方根是 2 7 （2019 石家庄市期末）如果 2 x =4，那么 x 等于（ ） A2 B2 C4 D4 8 （2020 河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为35a和7a,则这个正数的立方 根是( ) A4 B3 C2 D1 9 （2020 宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是21a与
4、2a ，则 a 的值为( ) A-1 B1 C-2 D2 10 （2020 南京市期末）面积为13的正方形的边长是（ ） A13的平方根 B13的算术平方根 C13开平方的结果 D13的立方根 11 （2019 恩施市期末）已知(x 1)2 16 ，则 x 的值是（ ） A3 B7 C3 或5 D7 或8 12 （2020 银川市期末）“ 16 25 的算术平方根是 4 5 ”，用式子表示为( ) A 16 25 4 5 B 16 25 4 5 C 16 25 4 5 D 16 25 4 5 13 （2020 陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（ ） 164, 366 497 ，
5、 2 33 ， 2 3 3 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 14 （2020 沈阳市第二十三中学初一期中）若 x 是 9 的算术平方根，则 x 是（ ） A3 B3 C9 D81 15 （2020 贵港市期末）若 a24，b29，且 ab0，则 ab 的值为（ ） A2 B 5 C5 D5 知识点二知识点二 立方根和开立方立方根和开立方 立方根概念：立方根概念：如果一个数的立方等于 ，即那么 x 叫做 的立方根或三次方根， 表示方法：表示方法：数 a 的立方根记作，读作三次根号 a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个
6、正数。负数的立方根是一个负数。 的立方根是. 开立方概念：开立方概念：求一个数的立方根的运算。 开平方的表示：开平方的表示： （a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 注意注意: :的平方根和立方根都是本身。 次方根次方根( (扩展扩展) ) 概念：如果一个数的 次方（ 是大于的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。 当 为奇数时，这个数叫做 的奇次方根。 当 为偶数时，这个数叫做 的偶次方根。 性质：性质： 正数的偶次方根有两个：；的偶次方根为：；负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。的奇次方根为。负数的奇次方根为负。 【典型例题】【典型例题】 1 （2019 唐山市期中
7、）下列等式正确的是（ ） A 497 144 12 B 3 273 82 C 93 D 2 3 ( 8)4 2 （2018 成都市武侯区西蜀实验学校初二期末）下列计算正确的是（ ） A B C D 3 （2019 昌平区期中）下列各式中，正确的是（ ） A9=3 B 2 (3)9 C 3 93 D 2 22() 4 （2019 宜宾市期中）下列说法正确的是（ ） A1 的平方根是 1 B2 没有立方根 C 6 是 36 的算术平方根 D27 的立方根是 3 5 （2018 福建省厦门第六中学初一期中）下列各式中，正确的是( ) A366 B 497 93 C 3 273 D 2 4 =-4 6
8、 （2019 湖南广益实验中学初一期末） 3 8的算术平方根是（ ） A2 B 2 C 2 D 2 7 （2018 泉州市北峰中学初二期中）下列说法正确的是（ ）. A1 的立方根是 B164 C164 D0 没有平方根； 8 （2018 邯郸市期中） （- 9） 2 的平方根是 x，64 的立方根是 y，则 x+y 的值为（ ） A3 B7 C3 或 7 D1 或 7 9 （2019 萍乡市期中）下列各组数中互为相反数的是（ ） A2 与 2 （-2) B2 与 3 8 C2 与（- 2） 2 D|- 2|与2 25 （2019 赣州市期末）已知x y， 为实数，且 2 320xy，则 x
9、y的立方根是（ ） A3 6 B8 C2 D2 、 巩巩固训练固训练 一、一、 选择题（共选择题（共 1010 小题）小题） 1 （2019 丹东市期中） 4的算术平方根为（ ） A 2 B 2 C2 D2 2 （2018 武邑县期末）2 的算术平方根是（ ） A 2 B 2 C 2 D2 3 （2018 贵阳市期末）下列结果错误的是( ) A 2 (-2)2 B16的算术平方根是 4 C12 1 4 的算术平方根是 7 2 D()2的算术平方根是 4 （2019 运城市期末） 4的算术平方根是（ ） A4 B2 C 2 D2 5 （2017 张家港市期中）(6)2的平方根是( ) A6 B3
10、6 C 6 D 6 6 （2020 盐城市期末）下列说法正确的是（ ） A4 的平方根是 2 B8 的立方根是 2 C 42 D 2 22（） 7 （2018 南昌市期中）一个正数的平方根是 x5 和 x1，则 x 的值为( ) A2 B2 C0 D无法确定 8 （2018 南京市期末）64 的立方根与64的平方根之和为( ) A2 或 2 B2 或6 C42 2或422 D0 9 （2016 深圳市高级中学初二期中）比较 3 257， ，的大小，正确的是( ) A 3 725 B 3 257 C 3 275 D 3 572 10 （2018 龙岩市期中）若 a 是(3)2的平方根，则 3 a
11、等于( ) A3 B 3 3 C 3 3或 3 3 D3 或3 二、二、 填空题（共填空题（共 5 5 小题）小题） 11 （2018 嘉兴市期末）64的算术平方根是_ 12 （2019 嘉兴市期末）已知 a、b 满足（a1）2+2b=0，则 a+b=_ 13 （2019 杭州市期中）16的算术平方根是 _ 14 （2020 郑州市期末）64立方根是_ 15 （2019 从江县期中）16的平方根是_，64的立方根是_ 三、三、 解答题（共解答题（共 2 2 小题）小题） 16 （2019 朝阳市期中）已知-17a+17a=b+8. (1)求 a 的值; (2)求 a2-b2的平方根. 17 （
12、2017 张家港市期中） （1）已知21a的平方根是3，39ab 的立方根是 2，c是17的整数部分， 求2abc的值； （2）已知3xy与|26|xy互为相反数，求（x+y）2的平方根 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 平方根、立方根和开立方 知识网络知识网络 重难突破重难突破 知识点一知识点一 平方根平方根 算术平方根概念：算术平方根概念：一般的如果一个正数 x 的平方等于 a，即 算术平方根的表示方法：算术平方根的表示方法：非负数 a 的算术平方根记作 平方根概念：平方根概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个
13、数就叫做 的平方根或二次方根，即，那么 x 叫做 a 的平方根。 平方根的性质与表示平方根的性质与表示： 表示：表示：正数 a 的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做 a 的负平方根。 性质：性质：一个正数有两个平方根： （根指数 2 省略）且他们互为相反数且他们互为相反数。 0 有一个平方根，为 0，记作 负数没有平方根负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系：平方根与算术平方根的区别与联系： 【典型例题】【典型例题】 1 （2019 迁安市期末）25 的算术平方根是( ) A5 B5 C5 D25 【答案】A 【解析】 2 525， 25的算术平方根是 5. 故选
14、A. 2 （2018 大石桥市石佛中学初一期末）9的值是( ) A 3 B3 C9 D81 【答案】C 【解析】 试题解析：93 9的值是 3 故选 C. 3 （2020 灯塔市期末）估计6+1的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到 6 之间 【答案】B 【详解】 4 6 9 ， 469，即263， 36+14， 故选 B. 4 （2020 沈阳市第七中学初二期末）9 的平方根是（ ） A 3 B3 C 4.5 D4.5 【答案】A 【详解】 （ 3）2=9 9 的平方根是 3 故选 A. 5 （2020 东营市期末）16 的平方根是（ ） A 4
15、B 2 C4 D4 【答案】A 【详解】 2 ( 4)16, 16 的平方根是 4. 故选 A. 6 （2020 沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（ ） A （3）2的平方根是 3 B16 4 C1 的平方根是 1 D4 的算术平方根是 2 【答案】D 【详解】 A、 （3）2的平方根是 3，故该项错误；B、164，故该项错误；C、1 的平方根是 1，故该项错误；D、 4 的算术平方根是 2，故该项正确.故选 D. 7 （2019 石家庄市期末）如果 2 x =4，那么 x 等于（ ） A2 B2 C4 D4 【答案】D 【详解】 解： 2 x =4， 2 16x x= 4 故选
16、：D 8 （2020 河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为35a和7a,则这个正数的立方 根是( ) A4 B3 C2 D1 【答案】A 【详解】 解：一个正数的两个平方根分别为 3a-5 和 7-a， 3a-5+7-a=0， 解得：a=-1， 3a-5=-8， 这个数是(-8)2=64， 64 的立方根为 4， 故选：A 9 （2020 宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是21a与2a ，则 a 的值为( ) A-1 B1 C-2 D2 【答案】A 【详解】 一个正数的两个平方根分别是 2a1 与a+2， (21)(2)0aa ，解得：1a. 故选 A. 10 （2020
17、 南京市期末）面积为13的正方形的边长是（ ） A13的平方根 B13的算术平方根 C13开平方的结果 D13的立方根 【答案】B 【详解】 解：因为正方形的边长的平方等于面积，且正方形的边长为正数， A 选项13的平方根有两个，其中一个为负数，故 A 错误； B 选项，一个正数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的算术平方根，所以面积为13的正方形的边长是13的 算术平方根，故 B 正确； C 选项13开平方的结果即为13的平方根，故 C 错误； D 选项13的立方根是求一个数的立方等于 13，故 D 错误. 故选：B 11 （2019 恩施市期末）已知(x 1)2 16 ，则 x 的值是（
18、 ） A3 B7 C3 或5 D7 或8 【答案】C 【详解】 根据题意得 x+1= 4， x=-1 4， 得 x=3 或-5 故选 C 12 （2020 银川市期末）“ 16 25 的算术平方根是 4 5 ”，用式子表示为( ) A 16 25 4 5 B 16 25 4 5 C 16 25 4 5 D 16 25 4 5 【答案】C 【解析】 16 25 的算术平方根是 4 5 , 用式子表示为 164 255 . 故选 C. 13 （2020 陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（ ） 164, 366 497 ， 2 33 ， 2 3 3 A4 个 B3 个 C2 个 D1
19、 个 【答案】B 【详解】 16 4，故 A 正确； 36 49 6 7 ，故 B 错误； 2 3 ，无法开方，故 C 错误； 2 3 3，故 D 错误 错误的有 3 个 故选 B 14 （2020 沈阳市第二十三中学初一期中）若 x 是 9 的算术平方根，则 x 是（ ） A3 B3 C9 D81 【答案】A 【解析】 试题解析：32=9， 9=3， 故选 A 15 （2020 贵港市期末）若 a24，b29，且 ab0，则 ab 的值为（ ） A2 B 5 C5 D5 【答案】B 【解析】 a2=4,b2=9， a= 2，b= 3， ab0， a=2 时,b=3,ab=2(3)=2+3=5
20、， a=2 时，b=3，ab=23=5， 所以，ab 的值为 5 或5. 故选：B. 知识点二知识点二 立方根和开立方立方根和开立方 立方根立方根概念：概念：如果一个数的立方等于 ，即那么 x 叫做 的立方根或三次方根， 表示方法：表示方法：数 a 的立方根记作，读作三次根号 a 立方根立方根的性质的性质：任何实数都有唯一确定的立方根任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。 的立方根是. 开开立方立方概念概念：求一个数的立方根的运算。 开平方的表示：开平方的表示： （a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 注意注意: :的平方根和立方根都是
21、本身。 次方根次方根( (扩展扩展) ) 概念：如果一个数的 次方（ 是大于的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。 当 为奇数时，这个数叫做 的奇次方根。 当 为偶数时，这个数叫做 的偶次方根。 性质：性质： 正数的偶次方根有两个：；的偶次方根为：；负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。的奇次方根为。负数的奇次方根为负。 【典型例题】【典型例题】 1 （2019 唐山市期中）下列等式正确的是（ ） A 497 144 12 B 3 273 82 C 93 D 2 3 ( 8)4 【答案】D 【详解】 A、原式= 7 12 ，错误； B、原式=-（- 3 2 ）= 3 2 ，错误； C、原
22、式没有意义，错误； D、原式= 3 64=4，正确， 故选 D 217 （2018 成都市武侯区西蜀实验学校初二期末）下列计算正确的是（ ） A B C D 【答案】A 【详解】 解：A、=-2，故本选项正确； B、-=-0.6，故本选项错误； C、 =13，故本选项错误； D、=5，故本选项错误； 故选：A 3 （2019 昌平区期中）下列各式中，正确的是（ ） A9=3 B 2 (3)9 C 3 93 D 2 22() 【答案】A 【详解】 试题分析：A93 ；该选项正确； B 2 3=39，故该选项错误； C 3 9 =3，该选项错误； D 2 2 =22，该选项错误. 故选 A. 4
23、（2019 宜宾市期中）下列说法正确的是（ ） A1 的平方根是 1 B2 没有立方根 C 6 是 36 的算术平方根 D27 的立方根是 3 【答案】D 【详解】 A、1 的平方根是 1，故选项错误； B、2 的立方根是 3 2 ，故选项错误； C、6 是 36 的算术平方根，故选项错误； D、27 的立方根是 3，故选项正确 故选：D 5 （2018 福建省厦门第六中学初一期中）下列各式中，正确的是( ) A366 B 497 93 C 3 273 D 2 4 =-4 【答案】C 【详解】 A、366，故 A 错误； B、 497 93 ，故 B 错误； C、 3 273 ，故 C 正确；
24、 D、 2 4 =4，故 D 错误， 故选 C 6 （2019 湖南广益实验中学初一期末） 3 8的算术平方根是（ ） A2 B 2 C 2 D 2 【答案】C 【详解】 3 8=2， 而 2 的算术平方根是 2， 3 8的算术平方根是2， 故选 C 7 （2018 泉州市北峰中学初二期中）下列说法正确的是（ ）. A1 的立方根是 B164 C164 D0 没有平方根； 【答案】C 【解析】 试题解析：A. 1 的立方根是 1，故错误. B. 164. 故错误. C.正确. D. 0 有平方根.故错误. 故选 C. 8 （2018 邯郸市期中） （- 9） 2 的平方根是 x，64 的立方根
25、是 y，则 x+y 的值为（ ） A3 B7 C3 或 7 D1 或 7 【答案】D 【详解】 （- 9） 2=9，9 的平方根 x= 3，y=4， x+y=7 或 1 故答案为 7 或 1 9 （2019 萍乡市期中）下列各组数中互为相反数的是（ ） A2 与 2 （-2) B2 与 3 8 C2 与（- 2） 2 D|- 2|与2 【答案】A 【解析】 选项 A. 2 与 2 2)（ =2， 选项 B. 2 与 3 8 =-2， 选项 C. 2 与（- 2） 2=2, 选项 D. |- 2|=2与2, 故选 A. 25 （2019 赣州市期末）已知x y， 为实数，且 2 320xy，则
26、x y的立方根是（ ） A3 6 B8 C2 D2 【答案】C 【详解】 2 320xy， x3=0，y+2=0， 解得：x=3，y=2， 则 yx=(2)3=8 的立方根是：2. 故选：C. 巩固训练巩固训练 四、四、 选择题（共选择题（共 1010 小题）小题） 1 （2019 丹东市期中） 4的算术平方根为（ ） A 2 B 2 C2 D2 【答案】B 【解析】 4=2， 而 2 的算术平方根是 2， 4的算术平方根是2， 故选 B 2 （2018 武邑县期末）2 的算术平方根是（ ） A 2 B 2 C 2 D2 【答案】B 【解析】 解：2 的算术平方根是 2，故选 B 3 （201
27、8 贵阳市期末）下列结果错误的是( ) A 2 (-2)2 B16的算术平方根是 4 C12 1 4 的算术平方根是 7 2 D()2的算术平方根是 【答案】B 【解析】 A. 原式= 4=2，故 A 正确，与要求不符； B. 16 4，4 的算术平方根是 2，故 B 错误，与要求相符； C.12 1 4 = 49 4 ,它的算术平方根是 7 2 ，故 C 正确，与要求不符； D.()2=2,2的算术平方根是 ，故 D 正确，与要求不符. 故选：B. 4 （2019 运城市期末） 4的算术平方根是（ ） A4 B2 C 2 D2 【答案】C 【解析】 解： 4=2，4的算术平方根是2故选 C
28、5 （2017 张家港市期中）(6)2的平方根是( ) A6 B36 C 6 D 6 【答案】C 【解析】 试题解析： 2 636. 36的平方根是6. 故选 C. 6 （2020 盐城市期末）下列说法正确的是（ ） A4 的平方根是 2 B8 的立方根是 2 C 42 D 2 22（） 【答案】A 【解析】 解：A4 的平方根是 2，故本选项正确； B8 的立方根是 2，故本选项错误； C 4 =2，故本选项错误； D 2 ( 2) =2，故本选项错误； 故选 A 7 （2018 南昌市期中）一个正数的平方根是 x5 和 x1，则 x 的值为( ) A2 B2 C0 D无法确定 【答案】A
29、【解析】试题解析：由题意得，x5+x+1=0， 解得：x=2. 故选 A. 8 （2018 南京市期末）64 的立方根与64的平方根之和为( ) A2 或 2 B2 或6 C42 2或422 D0 【答案】B 【详解】 解：-64 的立方根是-4 16=4，4 的平方根是 2， 所以-4+2=-2，-4+（-2）=-6 故选：B 9 （2016 深圳市高级中学初二期中）比较 3 257， ， 的大小，正确的是( ) A 3 725 B 3 257 C 3 275 D 3 572 【答案】A 【详解】 2 45 ，2 5 ； 33 782 ， 3 72， 3 725 故选 A 10 （2018
30、龙岩市期中）若 a 是(3)2的平方根，则 3 a等于( ) A3 B 3 3 C 3 3或 3 3 D3 或3 【答案】C 【解析】 详解：a 是（3）2的平方根，a= 3， 3 a等于 3 3或 3 3故选 C 五、五、 填空题（共填空题（共 5 5 小题）小题） 11 （2018 嘉兴市期末）64的算术平方根是_ 【答案】2 2 【解析】 64=8， （2 2） 2=8， 64的算术平方根是2 2. 故答案为：2 2. 12 （2019 嘉兴市期末）已知 a、b 满足（a1）2+2b=0，则 a+b=_ 【答案】1 【详解】 （a1）2+b2=0， a=1，b=2， a+b=1， 故答案
31、为1 13 （2019 杭州市期中）16的算术平方根是 _ 【答案】2 【详解】 16=4，4的算术平方根是 2， 16的算术平方根是 2. 14 （2020 郑州市期末）64立方根是_ 【答案】2； 【详解】 64=8， 3 8=2， 64的立方根是 2. 故答案为：2. 15 （2019 从江县期中）16的平方根是_，64的立方根是_ 【答案】 2 -2 【详解】 16=4，所以16的平方根是 2， - 64=-8，所以64的立方根是-2， 故答案为： 2，-2. 六、六、 解答题（共解答题（共 2 2 小题）小题） 16 （2019 朝阳市期中）已知-17a+17a=b+8. (1)求
32、a 的值; (2)求 a2-b2的平方根. 【答案】 （1）17； （2） 15. 【解析】 根据题意得: 170 170 a a , 解得:a=17, （2）b+8=0, 解得:b=8, 则 a2b2=172（8）2=225, 则平方根是: 15. 17 （2017 张家港市期中） （1）已知21a的平方根是3，39ab 的立方根是 2，c是17的整数部分， 求2abc的值； （2）已知3xy与|26|xy互为相反数，求（x+y）2的平方根 【答案】详见解析. 【解析】 1根据题意，可得 2a1=9，3a+b9=8； 故 a=5，b=2； 又有4175 ， 可得4.c 则213.abc 2根据题意得：3260xyxy ， 可得 3 26 xy xy ， 解得： 1 4 x y， 则 2 ()25xy， 25的平方根是5.
