1、3.3.3函数的最大（小）值与导数一、选择题1函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是()A12；8 B1；8C12；15 D5；16答案A解析y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时y1，x1时y12，x1时y8.ymax12，ymin8.故选A2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案D解析f (x)3x233(x1)(x1)，x(1,1)，f (x)0，即函数在(1,1)上是减少的，既无最大值，也无最小值3函数f(x)3xx3(x3)的最大值为()A18 B2C0 D18答
2、案B解析f (x)33x2，令f (x)0，得x1，x1时，f (x)0，1x0,1x3时，f (x)0可知0x，由y0可知x，所以函数在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，故yx2cosx在x时取得最大值二、填空题7函数yx42x25在区间2,2上的最大值为_ _.答案13解析y4x34x，令y0，即4x34x0，解得x11，x20，x31，又f(2)13，f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，故最大值为13.8若函数f(x)3xx3a，x3的最小值为8，则a的值是_ _.答案26解析f (x)33x2，令f (x)0，得x1.f(1)2a，f(1)2a.又f()a，f(3)
3、18a.f(x)min18a.由18a8.得a26.9(2014三亚市一中月考)曲线y在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_ _.答案21解析y|x1|x11，切线方程为y1(x1)，即xy20，圆心(2,0)到直线的距离d2，圆的半径r1，所求最近距离为21.三、解答题10(2015淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)x3ax2bx5，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)求a、b的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值解析(1)依题意可知点P(1，f(1)为切点，代入切线方程y3x1可得，f(1)3114，f(1)
4、1ab54，即ab2，又由f(x)x3ax2bx5得，f (x)3x22axb，而由切线方程y3x1的斜率可知f (1)3，32ab3，即2ab0，由解得a2，b4.(2)由(1)知f(x)x32x24x5，f (x)3x24x4(3x2)(x2)，令f (x)0，得x或x2.当x变化时，f(x)，f (x)的变化情况如下表：x3(3，2)2(2，)(，1)1f (x)00f(x)8增极大值减极小值增4f(x)的极大值为f(2)13，极小值为f()，又f(3)8，f(1)4，f(x)在3,1上的最大值为13.一、选择题1函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为()A BC D答案A解析f
5、(x)13x20，得x0,1，f，f(0)f(1)0.f(x)max.2已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上图象连续不断且f (x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)答案A解析令u(x)f(x)g(x)，则u(x)f (x)g(x)0，u(x)在a，b上为单调减少的，u(x)的最大值为u(a)f(a)g(a)3设在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间a，b上存在导数，有下列三个命题：若f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值必是a，b上的极大值；若f(x)在a，
6、b上有最小值，则这个最小值必是a，b上的极小值；若f(x)在a，b上有最值，则最值必在xa或xb处取得其中正确的命题个数是()A0B1C2D3答案A解析由于函数的最值可能在区间a，b的端点处取得，也可能在区间a，b内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题4当x0,5时，函数f(x)3x24xc的值域为()Af(0)，f(5) Bf(0)，f()Cf()，f(5) Dc，f(5)答案C解析f (x)6x4，令f (x)0，则x，0x时，f (x)时，f (x)0，得f()为极小值，再比较f(0)和f(5)与f()的大小即可二、填空题5函数f(x)2x33x21
7、2x5在0,3上的最大值和最小值的和是_ _.答案10解析f (x)6x26x12，令f (x)0，解得x1或x2.但x0,3，x1舍去，x2.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f (x)12024f(x)5减少15增加4由上表，知f(x)max5，f(x)min15，所以f(x)maxf(x)min10.6函数f(x)ax44ax3b(a0)，x1,4，f(x)的最大值为3，最小值为6，则ab_ _.答案解析f (x)4ax312ax2.令f (x)0，得x0(舍去)，或x3.1x3时，f (x)0,3x0，故x3为极小值点f(3)b27a，f(1
8、)b3a，f(4)b，f(x)的最小值为f(3)b27a，最大值为f(4)b.解得ab.三、解答题7(2015全国卷文)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f (x)a，若a0，则f (x)0，f(x)在(0，)单调递增；若a0，则当x时f (x)0，当x时f (x)0时f(x)在x取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2ln aa10，令g(a)ln aa1.则g(a)在(0，)是增函数，且g(1)0，于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)8设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，得a.所以当a时，f(x)在(，)上存在递增区间即f(x)在(，)上存在递增区间时，a的取值范围为(，)(2)令f (x)0，得两根x1，x2，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).
