1、十年高考真题分类汇编（20102019）数学专题12圆锥曲线1.(2019全国理T 10文T 12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1【答案】B【解析】如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a
2、,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b). kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.2.(2019全国1文T 10)双曲线C: x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C
3、.1sin50D.1cos50【答案】D【解析】由已知可得-ba=tan 130=-tan 50,则e=ca=1+ba2=1+tan250=1+sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50.故选D.3.(2019北京文T 5)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12【答案】D【解析】双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,a2+1a=5,【解析】得a=12,故选D.4.(2019天津理T 5文T 6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A
4、和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.5.(2018全国1理T 11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4【答案】B【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=
5、33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090. 不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.6.(2018全国2理T 5文T 6)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x【答案】A【解析】e2=c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3,ba=2.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.7.(2018全国3理T 11)设F1,F2是双曲线C: x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐
6、标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2【答案】C【解析】如图,过点F1作OP的反向延长线的垂线,垂足为P,连接PF2,由题意可知,四边形PF1PF2为平行四边形,且PPF2是直角三角形.因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.又|PF1|=6a=|F2P|,|PP|=2a,所以|F2P|=2a=b,所以c=a2+b2=3a,所以e=ca=3.8.(2018浙江T2)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),
7、(0,2)【答案】B【解析】c2=a2+b2=3+1=4,c=2.又焦点在x轴上,焦点坐标为(-2,0),(2,0).9.(2018全国2理T12)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14【答案】D【解析】A(-a,0),PF1F2为等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PEx轴,F1F2P=120,PF2E=60.F2E=c,PE=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所在直线方程为y=36(x+a).3
8、c=36(2c+a).e=ca=14.10.(2018全国2文T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1【答案】D【解析】不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),F2PF1=90,PF2F1=60,|PF2|=c,|PF1|=3c,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.11.(2018上海T13)设P是椭圆x25+y23=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.22B.23C.25D.42【答案】
9、C【解析】由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和为2a=25,故选C.12.(2018天津理T 7文T 7)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1【答案】C【解析】由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线, 所以|EF|=12
10、(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选C.13.(2018全国1理T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8 【答案】D【解析】易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以F
11、M=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.14.(2017全国1理T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14 C.12D.10【答案】A【解析】由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可
12、知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.15.(2017全国3理T 5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1【答案】B【解析】由题意得ba=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-y25=1.16.(2017全国1文
13、T 5)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【答案】D【解析】由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为123(2-1)=32.故选D.17.(2017天津理T5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24
14、-y28=1D.x28-y24=1【答案】B【解析】e2=1+b2a2=2,ba=1,a=b.F(-c,0),P(0,4),kPF=4c=ba=1.c=4.又a2+b2=c2=16,a2=b2=8.所求双曲线的方程为x28-y28=1.18.(2017全国3理T10文T11)已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13【答案】A【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切, 所以圆心到该
15、直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.19.(2017全国1文T12)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0, 9,+)C.(0,14,+)D.(0, 4,+)【答案】A【解析】由题意,可知当点M为短轴的端点时,AMB最大.当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan 60=3,即3m3,解得03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则a
16、btan 60=3,即m33,解得m9.综上m的取值范围为(0,19,+).故选A.20.(2017浙江理T2文T2)椭圆x29+y24=1的离心率是()A.133B.53C.23D.59【答案】B【解析】e=9-43=53,故选B.21.(2017全国2理T9)若双曲线C: x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233【答案】A【解析】可知双曲线C的渐近线方程为bxay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba2+b2=22-12=3,即2bc=3,所以
17、c=2a,所以e=2.故选A.22.(2017全国2文T5)若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)【答案】C【解析】由题意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因为a1,所以11+1a22.所以1e0),圆的方程为x2+y2=R2. 因为|AB|=42,所以可设A(m,22).又因为|DE|=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,【解析】得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4. 24.(2016全国2文T5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴
18、,则k=()A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】因为F为抛物线y2=4x的焦点,所以F(1,0).又因为曲线y=kx(k0)与抛物线交于点P,PFx轴,如图所示,可知P(1,2),故k1=2,解得k=2,故选D.25.(2016全国1理T 5)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)【答案】A【解析】因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长
19、为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1 C.x24-y24=1D.x24-y212=1【答案】D【解析】x2+y2=4y=b2xx=4b2+4,y=4b2+4b2,则xy=16b2+4b2=b2b2=12.故所求双曲线的方程为x24-y212=1.故选D.27.(2016全国2理T11)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=13,则E的离心率为()A.2B.32C.3D.2【答案】A【解析】如图,因为MF1与
20、x轴垂直,所以|MF1|=b2a.又sinMF2F1=13,所以|MF1|MF2|=13,即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=2b2a,所以b2=a2,则c2=b2+a2=2a2,得离心率e=ca=2.28.(2016全国3理T11文T12)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】由题意,不妨设直线l的方程为y=k(
21、x+a),k0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由OBGFBM,得12|OE|FM|=|OB|BF|,即ka2k(a-c)=aa+c,整理,得ca=13,故椭圆的离心率e=13,故选A.29.(2016全国1文T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得bcb2+c2=142b,与b2+c2=a2联立
22、得a=2c,故e=12.30.(2015福建文T11)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34 C.32,1D.34,1【答案】A【解析】如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.a=2.不妨设M(0,b),则|30-4b|32+4245,b1.e=ca=1-ba21-122=32.又0e1,00,b0
23、)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l平行,因此ba=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x25-y220=1.故选A.57.(2014大纲全国理T6文T9)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为(
24、)A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1【答案】A【解析】x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,e2=1-b2a2=13.b2=23a2.又过F2的直线l交椭圆于A,B两点,AF1B的周长为43,4a=43,a=3.b=2,椭圆方程为x23+y22=1,选A.58.（2014福建高考理科T9）设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆心M，设椭圆上的点为，则，当时，所以59.（2014重庆高考文科T8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）A. B.
25、 C. D.【答案】D【解析】由双曲线的定义知，又所以等号两边同除，化简得，解得或（舍去）故离心率60.（2014天津文T6理T5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的一个焦点在直线上，所以即又因为渐近线平行于直线故有结合得所以双曲线的标准方程为61.（2014湖北高考理科T9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，所
26、以，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.62.(2014广东高考理科T10)若实数k满足0k9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等【答案】A【解析】因为0k9,所以曲线-=1与曲线-=1都表示焦点在x轴上的双曲线,且2525-k,9-k9,但a2+b2=34-k,故两双曲线的焦距相等.63.（2014山东高考理科T10）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）A、B、C、D、【答案】A【解析】椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，所以，所以.
27、所以.双曲线的渐近线方程为，即，故选A.64.(2014江西高考文科T9)过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为 ()A. B. C. D.【答案】A【解析】设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为.65.（2014安徽高考文科T3）抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以抛物线的准线方程是y=-1.66. (2014新课标全国卷高考文科数学T10
28、) (2014新课标全国卷高考文科数学T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则=()A. B.6C.12D.【答案】C【解析】设AF=2m,BF=2n,F.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2+m,2n=2-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.67. (2014新课标全国卷高考理科数学T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.B. C. D.【答案】D【解析】选D.设点A,B分别在第一和第四象限,
29、AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2+m,2n=2-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.所以SOAB=(m+n)=.故选D.68. （2014四川高考理科T10）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D.【答案】 B【解析】选B. 可设直线AB的方程为：，点，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是3.69. （2014四川文T10理T10）已知F为抛物线
30、的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D.【答案】 B【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是.70. （2014辽宁高考理科T10）已知点在抛物线的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为【答案】D【解析】根据已知条件得，所以从而抛物线方程为，其焦点设切点，由题意，在第一象限内由导数的几何意义可知切线的斜率为，而切线的斜率也可以为又因为切点在曲线上，所以由上述条件解得即从而直线的斜率为71. (2014湖北高考文科T8)设a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为()A.0 B.1C.2 D.3【答案】A【解析】由于a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,所以a+b=-,ab=0,过A(a,a2),B(b
