1、17.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理提问这个命题的条件和结论分别是什么？这个命题的条件和结论分别是什么？命题命题1 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2条件：直角三角形的两直角边长为条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜，斜边长为边长为c.结论：结论：a2+b2=c2 如果将条件和结论反过来，这个命题还如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？成立吗？答案就藏在课本中，我们一起来看一看！答案就藏在课本中，我们一起来看一看！思考 据说据说，古埃及人曾用古埃及人曾用如图所示的方法画直角如图所示的方法画直角.这种
2、方法对吗？这种方法对吗？345三边分别为三边分别为3，4，5，满足关系：满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形则该三角形是直角三角形 画一画：画一画：下列各组数中的两数平方和等于第下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形形(单位：单位：cm).2.5，6，6.5；6，8，10；4，7.5，8.5 探究用量角器量一量，它们是什么三角形？用量角器量一量，它们是什么三角形？提问直角三角形直角三角形由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，
3、c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形命题命题1 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2命题命题2 如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形观察这两个命题有什么不同？这两个命题有什么不同？题设题设结论结论结论结论题设题设 我们把像这样，题设和结论正好相反我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做的两个命题叫做互逆命题互逆命题.如果把其中一个如果把其中一个叫做叫做原命题原命题，那么
4、另一个叫做它的，那么另一个叫做它的逆命题逆命题.练习说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（1）内错角相等，两直线平行；）内错角相等，两直线平行；成立成立（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；数相等；不成立不成立说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？（3）全等三角形的对应角相等；）全等三角形的对应角相等；（4）在角的
5、内部，到角两边距离相等的点）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上在角的平分线上.（3）对应角相等的两个三角形全等；不成立）对应角相等的两个三角形全等；不成立（4）角平分线上的点到角两边的距离相等；）角平分线上的点到角两边的距离相等；成立成立 命题命题2正确吗？如何证明呢？正确吗？如何证明呢？思考ABC？三角形全等三角形全等 C是直角是直角ABC是直角三角形是直角三角形ABCa b c baABCa b c ABC ba证明证明:画一个画一个ABC，使，使 C=90，BC=a，CA=b.C=90，AB2=a2+b2=c2，AB=c.ABC ABC（SSS）.C=C=90.BC=a=BC
6、，CA=b=CA，AB=c=AB.在在ABC和和ABC中中勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形作用：作用：判定一个三角形三边满足什么条件时判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形为直角三角形 例例1判断由线段判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直组成的三角形是不是直角三角形：角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.分析：分析：只要看两条较小边长的平方和是否等只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方于最大边长的平方
7、解：解：(1)152+82=225+64=289，172=289，152+82=172.以以15,8,17为边长的三角形是直角三角形为边长的三角形是直角三角形 像像15，17，8 这样，能够成为直角三角这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为形三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数 解：解：(2)132+142=169+196=365，152=225，132+142 152.这个这个三角形不是直角三角三角形不是直角三角形形 练习如果三条线段长如果三条线段长a,b,c满足满足a2=c2-b2，这三条线段，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？组成的三角形是不是直角三角形？为什
8、么？解：这三条线段组成的三角形是直角三角形解：这三条线段组成的三角形是直角三角形.因为由因为由 a2=c2-b2，所以有所以有a2+b2=c2，由勾股定由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形理的逆定理知这个三角形是直角三角形.例例2如图，某港口如图，某港口P位于东西方向的海岸线上位于东西方向的海岸线上.“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行16n mile，“海海天天”号每小时航行号每小时航行12n mile.它们离开它们离开港口一个半小时后分别位于点港口一个半小时后分别位于点
9、Q、R处，且相距处，且相距30n mile.如果知道如果知道“远航远航”号沿东北方向航行，能知道号沿东北方向航行，能知道“海天海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？分析：1.求求“海天海天”号的航向就是求号的航向就是求 的的角度角度.22.已知已知1的角度，则求出的角度，则求出RPQ的的角度即可角度即可.3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断理判断RPQ是否为直角是否为直角.解：解：根据题意，根据题意，PQ=161.5=24,PR=121.5=18,QR=30.因为因为242+182=302，即即PQ2+PR2=QR2，所以，所以
10、QPR=90.1=45.因此因此2=45，即，即“海天海天”号号沿西北方向航行沿西北方向航行.练习A,B,C三地的两两距离如图所示，三地的两两距离如图所示，A地在地在B地的正东地的正东方向，方向，C地在地在B地的什么方向？地的什么方向？解：解：AB2+BC2122+52 =144+25=169，AC2=132=169，所以，所以AB2+BC2=AC2，ABC为直角三角形，且为直角三角形，且B=90，由于，由于A地在地在B地的正东方向，所以地的正东方向，所以C地在地在B地的正北方向地的正北方向.基础巩固1.下列各组数能否作为一个直角三角形的下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长三边长?为什么？
11、为什么？(1)5，12，13(2)6，8，10(3)15，20，252.写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上分线上.(3)如果如果 ，那么那么a0.22()aa解：解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角如果两个角相等，那么这两个角是直角.假假 命题命题.(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等距离相等.真命题真命题.(3)如果如
12、果a0，那么，那么 .真命题真命题.22()aa综合应用解：由题意得：解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，a-b=0或或a2+b2-c2=0.5.已知已知a、b、c是是ABC的三边长，且满足的三边长，且满足 ，试判断试判断ABC的形状的形状.224422a cbab c当当a=b时，时，ABC为等腰三角形为等腰三角形;当当ab时，时，ABC为直角三角形为直角三角形.在在ABC中中，a:b:c=9:15:12，试判断试判断ABC是直角三角形是直角三角形.错解：错解：依题意依题意，设设 a=9k,b=15k,c=12k(k0)，a2+b2=(9k)2+(15k)2=306k
13、2,c2=(12k)2=144k2,a2+b2c2，ABC不是直角三角形不是直角三角形.错在没有弄清楚哪条边是最长边错在没有弄清楚哪条边是最长边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理，的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误从而导致错误.依题意知依题意知b是最长边是最长边，设设a=9k，b=15k，c=12k(k0)，a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2,b2=(15k)2=225k2,a2+c2=b2，ABC是直角三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理逆命题和逆定理逆命题和逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股数勾股数拓展延伸一个零件的形状如图所示，工人师一个零件的形状
14、如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下傅量得这个零件各边尺寸如下(单单位：位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且且DAB=90.你能求出这你能求出这个零件的面积吗？个零件的面积吗？解：如图，连接解：如图，连接BD.在在RtABD中，中，在在BCD中，中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.2222345.BDABADBCD为直角三角形，为直角三角形，DBC=90.ABCDRt ABDRt BCDSSSAD ABBD BC 21122114 35 1236 dm.22四四边边形形1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时
15、的习题。复习巩固复习巩固（1）（）（2）（）（3）是；（）是；（4）不是）不是.1.判断由线段判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三组成的三角形是不是直角三角形角形:（1）a=7,b=24,c=25;（2）a=,b=4,c=5;（3）a=,b=1,c=;（4）a=40,b=50,c=60.4154342.下列各命题都成立，写出它们的逆命题下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；）全等三角形的对应边
16、相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方）如果两个实数相等，那么它们的平方相等相等.解：（解：（1）这个命题的逆命题是）这个命题的逆命题是“两直线平行，同两直线平行，同旁内角互补旁内角互补”；成立；成立.（2）这个命题的逆命题是）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那如果两个角相等，那么它们都是直角么它们都是直角”，不成立，不成立.（3）这个命题的逆命题是）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形对应边相等的三角形全等全等”；成立；成立.（4）这个命题的逆命题是）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等相等，那么这两个实数相等”；不成立；不成立.3.小
17、明向东走小明向东走80 m后，沿另一方向又走了后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走再沿第三个方向走100 m回到原地回到原地.小明向东走小明向东走80m后是向哪个方向走的？后是向哪个方向走的？解解:小明的行走路线恰好构成三角形小明的行走路线恰好构成三角形.因为因为602+802=3600+6400=10000=1002，所以这个三角形是直角三，所以这个三角形是直角三角形，角形，因为小明向东走因为小明向东走80m，因此小明又向北或南走，因此小明又向北或南走60m.4.在在ABC中，中，AB=13，BC=10，BC边上的中线边上的中线AD=12.求求AC.综合应用综合应用因为因为BD2+
18、AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，所以所以BD2+AD2=AB2，所以，所以ABD是直角三角形且是直角三角形且ADB=90.因此因此ADC中，中，ADC=90，由勾股，由勾股定理得：定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以，所以AC=13.解：在解：在ABD中，中，BD=BC=5，AD=12，AB=13，125.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90.求四边形求四边形ABCD的面积的面积.解：如图，连接解：如图，连接BD.在在RtABD中，中，在在BCD中，中，BD2+BC2=52+1
19、22=132=CD2.2222345.BDABADBCD为直角三角形，为直角三角形，DBC=90.ABCDRt ABDRt BCDSSSAD ABBD BC 21122114 35 1236 dm.22四四边边形形6.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E是是BC的中点，的中点，F是是CD上一点，上一点，且且CF=CD.求证求证AEF=90.14证明：设证明：设CF=x，则，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.由勾股定理得：由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20 x2，AF2=AD2+DF2=25x2，EF2+AE2=25x2=AF2.
20、由勾股定理的逆定理知，由勾股定理的逆定理知，AEF=90.7.我们知道我们知道3,4,5是一组勾股数，那么是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组是一组勾股数，那么勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数是正整数）也是一组勾股数吗？吗？解：（解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数也是一组勾股数.拓广探索拓广探索因为（因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.（2）如果）如果a,b,c是一组勾股数，那么是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一也是一组勾股数组勾股数.因为因为a,b,c是勾股数，则是勾股数，则a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以所以ak,bk,ck也是也是一组勾股数一组勾股数.
