1、13.1 三角形中的边角关系第13章 三角形中的边角关系、命题与证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结3.三角形中几条重要线段1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高;（重点）2.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力;（难点）学习目标复习回顾导入新课导入新课 定义 图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 这里有一块三角
2、形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？情境引入三角形的角平分线一问题1 如图，若OC是AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBOAOC=BOC 问题2 2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?A AB BC CD想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?相同点是：BAD=CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.讲授新课讲授新课BAC用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的A的平分线.ABC问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三角形的三条角平分线交于一点ABC
3、DEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3称之为三角形的内心思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？三角形的三条角平分线交于一点称之为三角形的内心（后面学到）例1：如图，DC平分ACB，DEBC,AED=80，求ECD的度数.解：DC平分ACB,又DEBC,典例精析AED=ACB=80.ECD=40.ECD=BCD=ACB.12视频：平均分蛋糕 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).AE是BC边上的中线.三角形的“中线”BACABE=ECE三角形的中线二(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线
4、？它们有怎样的 位置关系?议一议三条中线，交于一点(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.要点归纳典例精析例2 在ABC中，AC5cm，AD是ABC的中线，若ABD的周长比ADC的周长大2cm，则BA_.提示：将ABD与ADC的周长之差转化为边长的差.7cm三角形的高三三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图,线段AD是BC边上的高.和垂足的字母.注意!标明垂直的记号0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1
5、2 3 4 50 1 2 3 4 5思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示；直角边BC边上的高是 ;直角边AB边上的高是 ;(2)AC边上的高是 ;直角三角形的三条高ABC(1)画出直角三角形的三条高,ABBC它们有怎样的位置关系？D直角三角形的三条高交于直角顶点.BD钝角三角形的三条高ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEAD(3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？(4)它们所
6、在的直线交于 一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.视频：画钝角三角形的高例3 作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上D例4 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”245例5 如图，已知AD是ABC的角平分线，CE是ABC的高，BAC60，BCE40，求ADB的度数解：AD是ABC的角平分线，
7、BAC60，DACBAD30.CE是ABC的高，BCE40，B50，ADB180BBAD1803050100.例6 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，若ABC的周长为35cm，BC=11cm，且ABD与ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解:AD是ABC的中线，CD=BD.ABC的周长为35cm，BC=11cm，AC+AB=35-11=24（cm）.又ABD与ACD的周长差为3cm,AB-AC=3cm，AB=13.5cm,AC=10.5cm.有关三角形的高、角平分线、中线的计算四例7：如图，在ABC中，E是BC上的一点，EC2BE，点D是AC的中点，SABC12，求SADFS
8、BEF的值.SABDSABE(SADFSABF)(SABFSBEF)SADFSBEF，即SADFSBEFSABDSABE642.解：点D是AC的中点，AD AC.12SABC12，SABD SABC 126.1212EC2BE，SABC12，SABE SABC4.13 D C B A D C B A 2 1 D C B A三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段AD是ABC的高线.ADBCADB=ADC=90.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 AD是ABC的BC上的中线.BD=CD=BC.三角形的角平分线三角
9、形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段.AD是ABC的BAC的平分线 1=2=BAC 知识归纳知识归纳定义五观察下列语句：1.无限不循环小数称为无理数；2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；3.三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义请你举出你所熟知的一些定义例子.例如:1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;2.“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义;3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数
10、是1,这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.当堂练习当堂练习1下列说法正确的是 （）A三角形三条高都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点C三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外D三角形的角平分线是射线B2在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：BAD=CAD；ABE=CBE；BD=DC；AE=EC其中正确的是 （）A B C DD3.如图，ABC中C=90，CDAB，图中线段中可以作为ABC的高的有 （）A2条 B3条 C4条 D5条BD5.填空：（1）如图，AD,BE,CF是ABC的三条中线，则 AB=2,BD=，AE=(2)如图，AD,BE
11、,CF是ABC的三条角平分线，则1=，3=_，ACB=2_.图图AFDC224AC12ABC126.在ABC中,CD是中线,已知BCAC=5cm,DBC 的周长为25cm,求ADC的周长.ADBC解：CD是ABC的中线，BDAD，DBC的周长BCBDCD25cm，则BD+CD25BC.ADC的周长ADCDAC BDCDAC 25-BCAC 25(BCAC)25520cm.7.如图,AE是 ABC的角平分线.已知B=45,C=60,求BAE和AEB的度数.A AB BC CE E解：E是ABC的角平分线，BAC+B+C=180,BAC=180BC=1804560=75，BAE=37.5.AEB=CAE+CAEB=CAE+C，CAE=BAE=37.5CAE=BAE=37.5，AEB=37.5+60=97.5.CAE=BAE=BAC.12 8.如图，在ABC中，AD是ABC的高，AE是 ABC的角平分线，已知BAC=82，C=40，求DAE的大小.解：AD是ABC的高，ADC90.ADC+C+DAC=180，DAC=180(ADC+C)=1809040=50.AE是ABC的角平分线，且BAC=82，CAE=41，DAE=DACCAE=5041=9.BACD E同学们,加油！2005年11月7日7时33分
