1、1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时夹角问题课程标准课程标准学法解读学法解读1会用向量法求线线、线面、面面夹角2能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系1理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角(空间想象，数学运算)2理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角(空间想象，数学计算)3理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小(空间想象，数学计算)平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中_的二面角称为平面与平面
2、的夹角不大于90知识点1两个平面的夹角知识点2空间角的向量法解法|cosu，n|题型探究题型探究题型一利用向量方法求两异面直线所成角 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角分析建立空间直角坐标系，求出直线EF和BC1的方向向量的坐标，求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角典例 1规律方法1利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线
3、所成角C解析如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z轴，建立空间直角坐标系令ACBCC1C2，则A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)令为AN，BM所在直线成的角，题型二利用向量方法求直线与平面所成角 如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值典例 2分析(1)线面平行的判定定理MN平面PAB(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角直线AN与平面PMN所成角的正弦值规律方法若直线l与平
4、面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：【对点训练】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值解析(1)取AB中点O，连接CO、A1B、A1O，ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形，A1OAB，CACB，COAB，COA1OO，AB平面COA1，ABA1C题型三利用向量方法求两个平面的夹角 如图，在正方体ABEFDCEF中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值典例 3分析有两种思路，一是先根据二面角平面角及两个平面
5、夹角的定义，在图形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出向量夹角从而得到两平面夹角的大小；另一种是直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得两平面夹角的大小E为PC的中点，M为CD的中点，EMPD又EM 平面PAD，PD平面PAD，EM平面PADEMBMM，EM，BM平面BEM平面BEM平面PADBE平面BEM，BE平面PAD(2)连接AC，交BD于点O，连接PO，由对称性知，O为BD的中点，且ACBD平面PBD平面ABCD，POBD，PO平面ABCD，POAO1，CO3易错警示易错警示正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图)在图中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值典例 4错解CDAD，CDBD，ADBD，取D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系辨析错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负，二是计算粗心正解解法一：由已知CDAD，CDBD，ADB就是直二面角ACDB的平面角，ADBD
